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9. 如图,已知AB是$\odot O$的直径,C是圆上一点,弦$AD// OC$。
(1)求证:$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$。
(2)若$\overset{\frown}{AD}$的度数为$56°$,求$∠ AOC$的度数。
(1)求证:$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$。
(2)若$\overset{\frown}{AD}$的度数为$56°$,求$∠ AOC$的度数。
答案
9. 解:(1)证明:如图,连结 OD。
因为 $OA = OD$, 所以 $∠OAD = ∠ADO$。
因为 $AD// OC$,
所以 $∠OAD = ∠BOC$, $∠COD = ∠ADO$,
所以$∠BOC=∠COD$,所以$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$。
(2)因为$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$,
所以$∠DOC=\frac{1}{2}∠BOD=\frac{1}{2}(180°-56°)=62°$,
所以$∠AOC=56°+62°=118°$。
解析
【分析】
(1)要证明$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，根据圆心角定理，同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此只需证明两个弧对应的圆心角$∠ BOC=∠ COD$即可。已知$AD// OC$，且$OA$、$OD$均为圆的半径，可通过等腰三角形等边对等角的性质、平行线的同位角和内错角相等的性质推导两角相等，需先连接$OD$构造等腰三角形和圆心角$∠ COD$。
(2)弧的度数等于它所对圆心角的度数，因此$\overset{\frown}{AD}$的度数为$56°$即对应的圆心角$∠ AOD=56°$。结合平角为$180°$可求出$∠ BOD$的度数，再利用(1)中$∠ BOC=∠ COD$的结论求出$∠ COD$的度数，最后相加即可得到$∠ AOC$的度数。
【解析】
(1)要证弧相等，先连接辅助线$OD$构造对应圆心角。由同圆半径相等得到$△ OAD$为等腰三角形，两底角相等；再结合平行线的角的性质，通过等量代换得到$∠ BOC=∠ COD$，根据圆心角定理即可推出弧相等。
(2)先根据弧的度数与对应圆心角度数相等，得到$∠ AOD=56°$，结合平角性质算出$∠ BOD$的度数，再利用(1)的结论得到$∠ DOC$的度数，最终$∠ AOC$为$∠ AOD$与$∠ DOC$的和，计算即可得到结果。
【答案】
(1)证明:如图,连结 OD。
因为 $OA = OD$, 所以 $∠OAD = ∠ADO$。
因为 $AD// OC$,
所以 $∠OAD = ∠BOC$, $∠COD = ∠ADO$,
所以$∠BOC=∠COD$,所以$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$。
(2)因为$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$,
所以$∠DOC=\frac{1}{2}∠BOD=\frac{1}{2}(180°-56°)=62°$,
所以$∠AOC=56°+62°=118°$。
【知识点】
圆心角定理，平行线的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆心角相关的基础题，解题核心是掌握弧的度数与对应圆心角度数相等、同圆中等圆心角对等弧的性质，通过连接半径构造等腰三角形，结合平行线的角的关系即可求解，对基础辅助线的构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
(1)要证明$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，根据圆心角定理，同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此只需证明两个弧对应的圆心角$∠ BOC=∠ COD$即可。已知$AD// OC$，且$OA$、$OD$均为圆的半径，可通过等腰三角形等边对等角的性质、平行线的同位角和内错角相等的性质推导两角相等，需先连接$OD$构造等腰三角形和圆心角$∠ COD$。
(2)弧的度数等于它所对圆心角的度数，因此$\overset{\frown}{AD}$的度数为$56°$即对应的圆心角$∠ AOD=56°$。结合平角为$180°$可求出$∠ BOD$的度数，再利用(1)中$∠ BOC=∠ COD$的结论求出$∠ COD$的度数，最后相加即可得到$∠ AOC$的度数。
【解析】
(1)要证弧相等，先连接辅助线$OD$构造对应圆心角。由同圆半径相等得到$△ OAD$为等腰三角形，两底角相等；再结合平行线的角的性质，通过等量代换得到$∠ BOC=∠ COD$，根据圆心角定理即可推出弧相等。
(2)先根据弧的度数与对应圆心角度数相等，得到$∠ AOD=56°$，结合平角性质算出$∠ BOD$的度数，再利用(1)的结论得到$∠ DOC$的度数，最终$∠ AOC$为$∠ AOD$与$∠ DOC$的和，计算即可得到结果。
【答案】
(1)证明:如图,连结 OD。
因为 $OA = OD$, 所以 $∠OAD = ∠ADO$。
因为 $AD// OC$,
所以 $∠OAD = ∠BOC$, $∠COD = ∠ADO$,
所以$∠BOC=∠COD$,所以$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$。
(2)因为$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$,
所以$∠DOC=\frac{1}{2}∠BOD=\frac{1}{2}(180°-56°)=62°$,
所以$∠AOC=56°+62°=118°$。
【知识点】
圆心角定理，平行线的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆心角相关的基础题，解题核心是掌握弧的度数与对应圆心角度数相等、同圆中等圆心角对等弧的性质，通过连接半径构造等腰三角形，结合平行线的角的关系即可求解，对基础辅助线的构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
10. 如图，C是$\odot O$直径AB上的一点，过点C作弦DE，使$CD=CO$，若$\overset{\frown}{AD}$所对圆心角的度数为$40°$，则$\overset{\frown}{BE}$所对圆心角的度数为（
A.$40°$
B.$80°$
C.$150°$
D.$120°$
D
）A.$40°$
B.$80°$
C.$150°$
D.$120°$
答案
10. D
解析
【分析】
要计算$\overset{\frown}{BE}$对应的圆心角度数，本质是求$∠ BOE$的度数。解题思路如下：首先连接辅助线OD、OE，根据弧的度数等于对应圆心角的度数，由$\overset{\frown}{AD}$的度数为$40°$可得$∠ AOD=40°$；再结合$CD=CO$，利用等腰三角形等边对等角的性质得到$∠ ODC=∠ COD=40°$；又因为OD、OE都是圆的半径，所以$△ ODE$也是等腰三角形，可得$∠ OED=∠ ODC=40°$；接着利用三角形外角的性质求出$∠ OCE$的度数，再在$△ OCE$中用内角和定理求出$∠ COE$的度数，最后根据平角的性质即可算出$∠ BOE$的度数。
【解析】
解：连接OD、OE。
$\because \overset{\frown}{AD}$所对圆心角的度数为$40°$，
$\therefore ∠ AOD=40°$。
$\because CD=CO$，
$\therefore ∠ ODC=∠ COD=40°$。
$\because OD、OE$都是$\odot O$的半径，即$OD=OE$，
$\therefore ∠ OED=∠ ODC=40°$。
$\because ∠ OCE$是$△ DCO$的外角，
$\therefore ∠ OCE=∠ ODC+∠ COD=40°+40°=80°$。
在$△ OCE$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ COE=180°-∠ OCE-∠ OED=180°-80°-40°=60°$。
$\because A、C、O、B$在同一直径$AB$上，$∠ AOE$与$∠ COE$为同一个角，
$\therefore ∠ BOE=180°-∠ AOE=180°-60°=120°$，
即$\overset{\frown}{BE}$所对圆心角的度数为$120°$。
【答案】
D
【知识点】
圆心角定义，等腰三角形性质，三角形内外角性质
【点评】
本题是圆心角相关的典型题型，需要学生熟练结合圆的基本性质和三角形角度计算的相关知识解题，解题的关键是正确连接辅助线，逐步推导各角的度数。
【难度系数】
0.6
要计算$\overset{\frown}{BE}$对应的圆心角度数，本质是求$∠ BOE$的度数。解题思路如下：首先连接辅助线OD、OE，根据弧的度数等于对应圆心角的度数，由$\overset{\frown}{AD}$的度数为$40°$可得$∠ AOD=40°$；再结合$CD=CO$，利用等腰三角形等边对等角的性质得到$∠ ODC=∠ COD=40°$；又因为OD、OE都是圆的半径，所以$△ ODE$也是等腰三角形，可得$∠ OED=∠ ODC=40°$；接着利用三角形外角的性质求出$∠ OCE$的度数，再在$△ OCE$中用内角和定理求出$∠ COE$的度数，最后根据平角的性质即可算出$∠ BOE$的度数。
【解析】
解：连接OD、OE。
$\because \overset{\frown}{AD}$所对圆心角的度数为$40°$，
$\therefore ∠ AOD=40°$。
$\because CD=CO$，
$\therefore ∠ ODC=∠ COD=40°$。
$\because OD、OE$都是$\odot O$的半径，即$OD=OE$，
$\therefore ∠ OED=∠ ODC=40°$。
$\because ∠ OCE$是$△ DCO$的外角，
$\therefore ∠ OCE=∠ ODC+∠ COD=40°+40°=80°$。
在$△ OCE$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ COE=180°-∠ OCE-∠ OED=180°-80°-40°=60°$。
$\because A、C、O、B$在同一直径$AB$上，$∠ AOE$与$∠ COE$为同一个角，
$\therefore ∠ BOE=180°-∠ AOE=180°-60°=120°$，
即$\overset{\frown}{BE}$所对圆心角的度数为$120°$。
【答案】
D
【知识点】
圆心角定义，等腰三角形性质，三角形内外角性质
【点评】
本题是圆心角相关的典型题型，需要学生熟练结合圆的基本性质和三角形角度计算的相关知识解题，解题的关键是正确连接辅助线，逐步推导各角的度数。
【难度系数】
0.6
11. 如图，O为等腰三角形ABC的底边AB的中点，以AB为直径的半圆分别交AC，BC于点D，E，已知∠C=50°，则$\overset{\frown}{BD}$的度数为
130°
。答案
11. 130°
解析
【分析】
要计算$\overset{\frown}{BD}$的度数，首先明确弧的度数等于它所对圆心角的度数，因此只需先求出$\overset{\frown}{BD}$对应的圆心角$∠ BOD$的度数即可。解题步骤可分为三步：第一步利用等腰三角形ABC的顶角度数求出底角$∠ A$的度数；第二步根据同圆半径相等，得到$△ OAD$为等腰三角形，求出$∠ AOD$的度数；第三步利用平角的性质计算$∠ BOD$的度数，即可得到弧的度数。
【解析】
解：$\because △ ABC$是等腰三角形，AB为底边，$∠ C=50°$
$\therefore ∠ A=\frac{1}{2}×(180°-∠ C)=\frac{1}{2}×(180°-50°)=65°$
$\because OA、OD$都是半圆O的半径
$\therefore OA=OD$，即$△ OAD$为等腰三角形
$\therefore ∠ ODA=∠ A=65°$
在$△ OAD$中，$∠ AOD=180°-∠ A-∠ ODA=180°-65°-65°=50°$
$\because ∠ AOD+∠ BOD=180°$（平角的定义）
$\therefore ∠ BOD=180°-50°=130°$
$\because$ 弧的度数等于它所对圆心角的度数
$\therefore \overset{\frown}{BD}$的度数为$130°$
【答案】
$130°$
【知识点】
等腰三角形的性质、圆心角与弧的关系、圆的基本性质
【点评】
本题是圆的性质和等腰三角形性质的综合基础题，解题的核心是理解弧的度数和对应圆心角度数的等价关系，通过简单的角度运算即可求解，是圆相关角度计算的常见题型。
【难度系数】
0.75
要计算$\overset{\frown}{BD}$的度数，首先明确弧的度数等于它所对圆心角的度数，因此只需先求出$\overset{\frown}{BD}$对应的圆心角$∠ BOD$的度数即可。解题步骤可分为三步：第一步利用等腰三角形ABC的顶角度数求出底角$∠ A$的度数；第二步根据同圆半径相等，得到$△ OAD$为等腰三角形，求出$∠ AOD$的度数；第三步利用平角的性质计算$∠ BOD$的度数，即可得到弧的度数。
【解析】
解：$\because △ ABC$是等腰三角形，AB为底边，$∠ C=50°$
$\therefore ∠ A=\frac{1}{2}×(180°-∠ C)=\frac{1}{2}×(180°-50°)=65°$
$\because OA、OD$都是半圆O的半径
$\therefore OA=OD$，即$△ OAD$为等腰三角形
$\therefore ∠ ODA=∠ A=65°$
在$△ OAD$中，$∠ AOD=180°-∠ A-∠ ODA=180°-65°-65°=50°$
$\because ∠ AOD+∠ BOD=180°$（平角的定义）
$\therefore ∠ BOD=180°-50°=130°$
$\because$ 弧的度数等于它所对圆心角的度数
$\therefore \overset{\frown}{BD}$的度数为$130°$
【答案】
$130°$
【知识点】
等腰三角形的性质、圆心角与弧的关系、圆的基本性质
【点评】
本题是圆的性质和等腰三角形性质的综合基础题，解题的核心是理解弧的度数和对应圆心角度数的等价关系，通过简单的角度运算即可求解，是圆相关角度计算的常见题型。
【难度系数】
0.75
12. 许多图案设计都和圆有关，观察下图，请利用等分圆的方法设计一幅图案。
答案
12. 解:图案如下图所示(答案不唯一)。
解析
【分析】
本题是利用等分圆设计图案的开放性题目，解题思路可参考以下步骤：首先结合圆心角定理，明确等分圆的本质是将圆周对应的360°圆心角平均分成n份，每份圆心角为$\frac{360°}{n}$，对应相等的弧与弦；其次选择合适的等分份数（如3等分、4等分、6等分等，可借助量角器量取圆心角或用圆规直接截圆周得到等分点）；最后以得到的等分点、圆心为基础，通过画线段、圆弧等方式组合得到设计图案即可。
【解析】
我们可以参考以下方法作图：
1. 首先画一个任意大小的圆，标记圆心为$O$；
2. 以$O$为顶点，作互相垂直的两条直径，即可将圆4等分，得到圆周上的4个等分点；
3. 分别以这4个等分点为圆心，以原圆的半径为半径，在圆内画弧，或取各半径的中点为圆心、半径长的一半为直径画半圆，即可得到参考图案。也可选择将圆3等分、6等分后自主设计其他图案，只要是基于等分圆的方法绘制均符合要求。
【答案】
图案如下图所示(答案不唯一)。
【知识点】
圆心角定理，圆的等分，几何作图
【点评】
本题属于开放性操作类题目，考查对圆的基本性质的应用能力和动手作图、创意设计能力，作答灵活性强，只要设计原理符合等分圆的要求即可得分。
【难度系数】
0.8
本题是利用等分圆设计图案的开放性题目，解题思路可参考以下步骤：首先结合圆心角定理，明确等分圆的本质是将圆周对应的360°圆心角平均分成n份，每份圆心角为$\frac{360°}{n}$，对应相等的弧与弦；其次选择合适的等分份数（如3等分、4等分、6等分等，可借助量角器量取圆心角或用圆规直接截圆周得到等分点）；最后以得到的等分点、圆心为基础，通过画线段、圆弧等方式组合得到设计图案即可。
【解析】
我们可以参考以下方法作图：
1. 首先画一个任意大小的圆，标记圆心为$O$；
2. 以$O$为顶点，作互相垂直的两条直径，即可将圆4等分，得到圆周上的4个等分点；
3. 分别以这4个等分点为圆心，以原圆的半径为半径，在圆内画弧，或取各半径的中点为圆心、半径长的一半为直径画半圆，即可得到参考图案。也可选择将圆3等分、6等分后自主设计其他图案，只要是基于等分圆的方法绘制均符合要求。
【答案】
图案如下图所示(答案不唯一)。
【知识点】
圆心角定理，圆的等分，几何作图
【点评】
本题属于开放性操作类题目，考查对圆的基本性质的应用能力和动手作图、创意设计能力，作答灵活性强，只要设计原理符合等分圆的要求即可得分。
【难度系数】
0.8
13. 如图，$\odot O$的半径$OA⊥ OC$，点D在$\overset{\frown}{AC}$上，且$\overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{CD}$，$OA=4$。
(1)$∠ COD=$
(2)求弦AD的长。
(3)P是半径OC上一动点，连结AP，PD，请求出$AP+PD$的最小值，并说明理由。
(解答上面各题时，请按题意，自行补足图形)
备用图
(1)$∠ COD=$
30
°。(2)求弦AD的长。
(3)P是半径OC上一动点，连结AP，PD，请求出$AP+PD$的最小值，并说明理由。
(解答上面各题时，请按题意，自行补足图形)
备用图答案
13. 解:(1)30
(2)连结 OD,AD,如图 1 所示。
因为$\overset{\frown}{AD}=2 \overset{\frown}{CD}$,所以$∠AOD=2∠COD=2×30°=60°$。
因为$OA=OD$,所以$△AOD$为等边三角形,
所以$AD=OA=4$。
(3)延长 AO 交$\odot O$于点 B,连结 BD,交 OC 于点 P,
则此时$AP+PD$的值最小,过点 O 作$OQ⊥BD$于点 Q,
如图 2 所示。
根据圆的对称性,知 B 是点 A 关于 OC 的对称点,
所以 OC 是 AB 的垂直平分线,所以$PA=PB$,
所以$AP+PD=PB+PD=BD$。
因为$AB⊥OC$,所以$∠COB=90°$。
因为$∠COD=30°$,所以$∠DOB=120°$,
所以$∠OBD=∠ODB=30°$。
因为$OQ⊥BD$,$OB=OD=OA=4$,
所以$BD=4\sqrt{3}$,
即$AP+PD$的最小值为$4\sqrt{3}$。
解析
【分析】
(1) 先由$OA⊥OC$得到$∠AOC=90°$，根据同圆中弧的度数等于对应圆心角的度数，结合$\overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{CD}$，可知$∠AOD=2∠COD$，将$90°$按$2:1$分配即可求出$∠COD$的度数。
(2) 要求弦$AD$的长，先连接$OD$，由$∠AOD=2∠COD$得$∠AOD=60°$，结合$OA=OD$（都是圆的半径），可判定$△AOD$是等边三角形，进而得到$AD$的长度。
(3) 求$AP+PD$的最小值属于最短路径问题，利用轴对称转化线段：因为$OA⊥OC$，延长$AO$交圆于$B$，可知点$A$和点$B$关于$OC$对称，因此$PA=PB$，那么$AP+PD=PB+PD$，根据两点之间线段最短，当$B、P、D$三点共线时，$PB+PD$最小，最小值为$BD$的长，再结合圆心角度数计算$BD$即可。
【解析】
(1) 因为$OA⊥OC$，所以$∠AOC=90°$，同圆中弧的比等于对应圆心角的比，又$\overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{CD}$，所以$∠AOD:∠COD=2:1$，因此$∠COD=90°×\frac{1}{2+1}=30°$。
(2) 连结$OD,AD$,如图 1 所示。
因为$\overset{\frown}{AD}=2 \overset{\frown}{CD}$,所以$∠AOD=2∠COD=2×30°=60°$。
因为$OA=OD$（都是$\odot O$的半径），所以$△AOD$为等边三角形，
所以$AD=OA=4$。
(3) 延长$AO$交$\odot O$于点$B$,连结$BD$,交$OC$于点$P$,
则此时$AP+PD$的值最小,过点$O$作$OQ⊥BD$于点$Q$，如图 2 所示。
根据圆的对称性,知$B$是点$A$关于$OC$的对称点，
所以$OC$是$AB$的垂直平分线,所以$PA=PB$，
所以$AP+PD=PB+PD=BD$。
因为$AB⊥OC$,所以$∠COB=90°$。
因为$∠COD=30°$,所以$∠DOB=∠COB+∠COD=90°+30°=120°$，
又$OB=OD$,所以$∠OBD=∠ODB=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
因为$OQ⊥BD$,$OB=OD=OA=4$，在$Rt△OBQ$中，$OQ=\frac{1}{2}OB=2$，由勾股定理得$BQ=\sqrt{OB^2-OQ^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
所以$BD=2BQ=4\sqrt{3}$，
即$AP+PD$的最小值为$4\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{30}$
(2) $\boxed{4}$
(3) $\boxed{4\sqrt{3}}$
【知识点】
圆心角定理、等边三角形的判定、轴对称求最短路径
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质、等边三角形的判定与性质以及最短路径的求解，前两问侧重基础性质的直接应用，第三问需要通过轴对称将两条线段的和转化为两点之间的线段长度，是圆与最短路径结合的典型题型，熟练掌握相关性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1) 先由$OA⊥OC$得到$∠AOC=90°$，根据同圆中弧的度数等于对应圆心角的度数，结合$\overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{CD}$，可知$∠AOD=2∠COD$，将$90°$按$2:1$分配即可求出$∠COD$的度数。
(2) 要求弦$AD$的长，先连接$OD$，由$∠AOD=2∠COD$得$∠AOD=60°$，结合$OA=OD$（都是圆的半径），可判定$△AOD$是等边三角形，进而得到$AD$的长度。
(3) 求$AP+PD$的最小值属于最短路径问题，利用轴对称转化线段：因为$OA⊥OC$，延长$AO$交圆于$B$，可知点$A$和点$B$关于$OC$对称，因此$PA=PB$，那么$AP+PD=PB+PD$，根据两点之间线段最短，当$B、P、D$三点共线时，$PB+PD$最小，最小值为$BD$的长，再结合圆心角度数计算$BD$即可。
【解析】
(1) 因为$OA⊥OC$，所以$∠AOC=90°$，同圆中弧的比等于对应圆心角的比，又$\overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{CD}$，所以$∠AOD:∠COD=2:1$，因此$∠COD=90°×\frac{1}{2+1}=30°$。
(2) 连结$OD,AD$,如图 1 所示。
因为$\overset{\frown}{AD}=2 \overset{\frown}{CD}$,所以$∠AOD=2∠COD=2×30°=60°$。
因为$OA=OD$（都是$\odot O$的半径），所以$△AOD$为等边三角形，
所以$AD=OA=4$。
(3) 延长$AO$交$\odot O$于点$B$,连结$BD$,交$OC$于点$P$,
则此时$AP+PD$的值最小,过点$O$作$OQ⊥BD$于点$Q$，如图 2 所示。
根据圆的对称性,知$B$是点$A$关于$OC$的对称点，
所以$OC$是$AB$的垂直平分线,所以$PA=PB$，
所以$AP+PD=PB+PD=BD$。
因为$AB⊥OC$,所以$∠COB=90°$。
因为$∠COD=30°$,所以$∠DOB=∠COB+∠COD=90°+30°=120°$，
又$OB=OD$,所以$∠OBD=∠ODB=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
因为$OQ⊥BD$,$OB=OD=OA=4$，在$Rt△OBQ$中，$OQ=\frac{1}{2}OB=2$，由勾股定理得$BQ=\sqrt{OB^2-OQ^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
所以$BD=2BQ=4\sqrt{3}$，
即$AP+PD$的最小值为$4\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{30}$
(2) $\boxed{4}$
(3) $\boxed{4\sqrt{3}}$
【知识点】
圆心角定理、等边三角形的判定、轴对称求最短路径
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质、等边三角形的判定与性质以及最短路径的求解，前两问侧重基础性质的直接应用，第三问需要通过轴对称将两条线段的和转化为两点之间的线段长度，是圆与最短路径结合的典型题型，熟练掌握相关性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
