1. 已知函数$y=\frac{k}{x}$，当$x=2$时$y=1$，则y关于x的函数表达式为（）

A.$y=2x$
B.$y=2-x$
C.$y=\frac{x}{2}$
D.$y=\frac{2}{x}$

1. D

【分析】
本题考查待定系数法求反比例函数表达式，解题思路如下：首先题目已经给出函数形式为反比例函数$y=\frac{k}{x}$，仅含有1个未知系数$k$，我们只需将已知的$x=2$、$y=1$代入函数式，解出$k$的值，再代回原式即可得到最终的函数表达式，匹配对应选项即可。
【解析】
将$x=2$，$y=1$代入$y=\frac{k}{x}$，可得：
$1=\frac{k}{2}$
解得$k=2×1=2$
将$k=2$代入$y=\frac{k}{x}$，可得函数表达式为$y=\frac{2}{x}$。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题属于反比例函数基础题型，核心考查待定系数法的应用，熟练掌握代入求值的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.9

2. 若在反比例函数$y=\frac{2}{x}$中，$x$与$y$的值相等，则这个相等的值为（）

A.2
B.$\pm\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.$-\sqrt{2}$

2. B

【分析】
解题时首先抓住“x与y的值相等”这一核心条件，通过等量代换把y替换为x，代入反比例函数解析式得到只含x的方程，再求解方程，同时注意正数的平方根有正负两个，不要漏解，最后结合反比例函数自变量x≠0的要求验证解的合理性即可得到答案。
【解析】
解：已知x与y的值相等，因此$y=x$。
将$y=x$代入反比例函数$y=\frac{2}{x}$中，可得：
$x=\frac{2}{x}$
根据反比例函数定义，$x≠0$，方程两边同时乘x得：
$x^2=2$
直接开平方得：$x=\pm\sqrt{2}$，即这个相等的值为$\pm\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
1.反比例函数的概念 2.直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，考查结合等量关系代入函数解析式解方程的能力，解题时容易忽略正数有两个平方根而漏选负根，做题时要注意考虑全面。
【难度系数】
0.7

3. 已知$y$与$x$成反比例，且当$x=-1$时，$y=2$，则该反比例函数的表达式为（）

A.$y=-\frac{2}{x}$
B.$y=\frac{2}{x}$
C.$y=-\frac{1}{2x}$
D.$y=\frac{1}{2x}$

3. A

【分析】
要解决这道题，首先回忆反比例函数的一般形式，先设出含有待定系数k的反比例函数标准表达式，再将题目给出的x、y的对应值代入表达式，求出k的值，最后将k代回所设表达式得到所求函数，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：
∵ y与x成反比例，
∴ 设该反比例函数的表达式为$ y = \frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k ≠ 0 $）。
将$ x=-1 $，$ y=2 $代入表达式，得：
$ 2 = \frac{k}{-1} $
解得$ k = -2 $
将$ k=-2 $代入所设表达式，得反比例函数的表达式为$ y = -\frac{2}{x} $。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，核心考查利用待定系数法求解反比例函数表达式，熟练掌握反比例函数的一般形式是解题的前提，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9

4. 已知变量$x,y$满足下面的关系,则$x,y$之间满足的函数表达式为 （）


A.$y=\frac{3}{x}$
B.$y=-\frac{x}{3}$
C.$y=-\frac{3}{x}$
D.$y=\frac{x}{3}$

4. C

【分析】
要确定x、y的函数表达式，可先观察表格中x与y的对应关系：若为反比例函数，则x与y的乘积为定值k（即$xy=k$），我们可以先计算多组x、y的乘积验证是否为定值，得到k值后即可写出表达式；也可以将表格中的数值代入各选项逐一验证，排除错误选项得到答案。
【解析】
方法一：计算每组x与y的乘积
当$x=-3$时，$xy=-3×1=-3$；
当$x=-2$时，$xy=-2×1.5=-3$；
当$x=-1$时，$xy=-1×3=-3$；
当$x=1$时，$xy=1×(-3)=-3$；
当$x=2$时，$xy=2×(-1.5)=-3$；
当$x=3$时，$xy=3×(-1)=-3$；
可知所有组的x与y乘积均为定值-3，即$xy=-3$，变形可得$y=-\frac{3}{x}$。
方法二：代入选项验证
将$x=-3,y=1$代入各选项：
A选项：$y=\frac{3}{-3}=-1≠1$，排除；
B选项：$y=-\frac{-3}{3}=1$，再代入$x=1$，$y=-\frac{1}{3}≠-3$，排除；
C选项：$y=-\frac{3}{-3}=1$，代入其余数值均符合对应关系，正确；
D选项：$y=\frac{-3}{3}=-1≠1$，排除。
综上选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数特征，待定系数法求解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，解题时既可通过反比例函数$xy=k$的特征快速求出表达式，也可通过代入验证的方法选出正确答案，两种方法都需要熟练掌握，能提升解题效率。
【难度系数】
0.8

5. 若一个反比例函数 $y=\frac{k}{x}$，满足当 $x=m$ 时，$y=6$；当 $x=5$ 时，$y=n$，则 $m,n$ 一定满足的关系式是 （）

A.$m-n=1$
B.$\frac{m}{n}=\frac{5}{6}$
C.$\frac{m}{n}=\frac{6}{5}$
D.$mn=30$

5. B

【分析】
要解这道题，首先回忆反比例函数的核心特征：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$），系数$k$是定值，满足$k=xy$，即任意一组对应的x、y的乘积都相等。我们可以先将题目给出的两组x、y值分别代入求出$k$的表达式，再联立两个表达式，通过比例变形就能得到m和n的关系式。
【解析】
解：
∵点$(m,6)$和$(5,n)$都在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上
∴根据反比例函数$k=xy$的性质可得：
$k = 6 × m = 6m$
$k = 5 × n = 5n$
∵$k$为定值
∴$6m = 5n$
根据比例的基本性质，等式两边同时除以$6n$（反比例函数中$y≠0$，故$n≠0$），可得：
$\frac{m}{n}=\frac{5}{6}$
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
1.反比例函数的基本性质
2.比例的基本性质
【点评】
本题考查反比例函数中定值k的应用，解题关键是抓住反比例函数自变量与对应函数值的乘积为定值这一特点，再结合比例变形即可得出结果，是反比例函数部分的基础题型。
【难度系数】
0.8

6. 已知$y$与$x$成反比例，且当$x=-2$时，$y=6$，则当$y=-4$时，$x$的值是。

6. 3

【分析】
解决本题首先要明确反比例函数的形式：若y与x成反比例，则可设解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）。解题思路分三步：第一步，用待定系数法，将已知的$x=-2$、$y=6$代入解析式求出比例系数$k$；第二步，写出完整的反比例函数解析式；第三步，将$y=-4$代入解析式，求解对应的$x$值。
【解析】
设反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k\ne0$）
将$x=-2$，$y=6$代入解析式得：
$6=\frac{k}{-2}$
解得$k=6×(-2)=-12$
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{-12}{x}$
当$y=-4$时，代入解析式得：
$-4=\frac{-12}{x}$
两边同乘$x$得：$-4x=-12$
解得$x=3$
【答案】
3
【知识点】
反比例函数定义，待定系数法求解析式，反比例函数求值
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题型，解题核心是先通过已知条件求出反比例系数$k$，再代入待求量计算，掌握待定系数法是快速解题的关键。
【难度系数】
0.9

7. 某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x(元)与日销售量y(个)之间有如下关系：

则y与x之间的函数表达式为。

7. $y=\frac{60}{x}$

【分析】
首先观察表格中日销售单价x和日销售量y的对应数据，计算每组x与y的乘积，可发现乘积为固定值，符合反比例函数“两个变量的乘积为非零常数”的特征，因此判断y是x的反比例函数；接下来设反比例函数的一般形式为$ y=\frac{k}{x}(k≠0) $，代入任意一组x、y的值即可求出常数k，最后验证其余数据均满足该表达式，结合实际意义确认表达式成立即可。
【解析】
解：观察表格数据，计算每组x与y的乘积：
$ 3×20=60 $，$ 4×15=60 $，$ 5×12=60 $，$ 6×10=60 $，
可知x与y的乘积为定值60，因此y是x的反比例函数。
设y与x的函数表达式为$ y=\frac{k}{x} $（k为常数，$ k≠0 $，$ x＞0 $），
将$ x=3 $，$ y=20 $代入表达式得：$ 20=\frac{k}{3} $，
解得$ k=60 $。
将其余三组数据代入$ y=\frac{60}{x} $验证，均成立，且x为销售单价符合实际意义。
因此y与x的函数表达式为$ y=\frac{60}{x} $。
【答案】
$ y=\frac{60}{x} $
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题结合销售场景考查反比例函数的相关知识，解题的核心是通过表格数据的特征判断函数类型，再利用待定系数法求解表达式，属于基础类题目，解题时注意要结合实际意义确认自变量的取值合理性。
【难度系数】
0.8

8. 设矩形的一组邻边长分别为$ x,y $，面积是$ S(S $是常数$$$) $，当$ x=2 $时，矩形的周长为6，则$ y $关于$ x $的函数表达式是________，自变量$ x $的取值范围是________。

8. $y=\frac{2}{x}$ $x＞0$

【分析】
解题时首先利用已知的x值和对应周长求出此时的y值，再结合矩形面积公式求出常数面积S，即可推导得到y关于x的函数表达式；自变量x是矩形的边长，取值范围需符合边长为正数的实际要求。
【解析】
1. 求x=2时对应的y值：已知矩形周长公式为$C=2(x+y)$，当$x=2$，周长为6时，代入得：
$2(2+y)=6$
两边同除以2得：$2+y=3$，解得$y=1$
2. 求常数面积S：矩形面积$S=xy$，将$x=2,y=1$代入得$S=2×1=2$
3. 推导函数表达式：由$xy=S=2$，变形得$y=\frac{2}{x}$
4. 确定自变量取值范围：由于x是矩形的边长，必须为正数，因此$x＞0$
【答案】
$y=\frac{2}{x}$；$x＞0$
【知识点】
1. 矩形周长与面积公式
2. 待定系数法求反比例函数表达式
3. 函数自变量取值范围确定
【点评】
本题属于反比例函数基础应用类题目，结合几何图形性质求解函数解析式，解题时需注意实际问题中自变量的取值范围不能脱离实际意义。
【难度系数】
0.9

9. 已知变量$ y $与$ x $成反比例，并且当$ x = 4 $时，$ y = -4 $。
(1)求$ y $与$ x $之间的函数表达式。
(2)求自变量$ x $的取值范围。
(3)求当$ y = 2 $时，$ x $的值。

9. 解:(1)$y=-\frac{16}{x}$。
(2)$x≠0$。
(3)$x=-8$。

【分析】
本题考查反比例函数的基础应用，解题思路如下：(1)已知y与x成反比例，先根据反比例函数的定义写出一般形式$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\ne0$），再用待定系数法，将已知的$x=4$、$y=-4$代入表达式求出常数$k$，即可得到函数表达式；(2)反比例函数表达式为分式形式，根据分式有意义的条件，分母不能为0，即可确定自变量$x$的取值范围；(3)将$y=2$代入第(1)问求出的函数表达式，解关于$x$的方程即可得到$x$的值。
【解析】
(1)设$y$与$x$的反比例函数表达式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$），
将$x=4$，$y=-4$代入表达式得：$-4=\frac{k}{4}$，
解得$k=4×(-4)=-16$，
因此$y$与$x$的函数表达式为$y=-\frac{16}{x}$。
(2)函数表达式$y=-\frac{16}{x}$为分式，要使分式有意义，分母不能为0，即$x\ne0$，
因此自变量$x$的取值范围是$x\ne0$。
(3)将$y=2$代入$y=-\frac{16}{x}$得：$2=-\frac{16}{x}$，
方程两边同乘$x$得：$2x=-16$，
解得$x=-8$，经检验$x=-8$是原方程的解，
因此当$y=2$时，$x$的值为$-8$。
【答案】
(1)$y=-\frac{16}{x}$；(2)$x\ne0$；(3)$x=-8$
【知识点】
反比例函数的概念；待定系数法求表达式；分式有意义的条件
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，核心考查反比例函数基本性质的应用和待定系数法的使用，计算量小，解题逻辑清晰，熟练掌握反比例函数基础概念即可快速解答。
【难度系数】
0.85