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10. 已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，当自变量$x$的值从3增加到6时，函数值减少了1，则函数的表达式为（
A.$y=\frac{6}{x}$
B.$y=\frac{3}{x}$
C.$y=\frac{2}{x}$
D.$y=\frac{1}{2x}$
A
）A.$y=\frac{6}{x}$
B.$y=\frac{3}{x}$
C.$y=\frac{2}{x}$
D.$y=\frac{1}{2x}$
答案
10. A
解析
【分析】
解题时首先根据反比例函数表达式，分别求出x=3和x=6时对应的函数值，再结合“自变量x从3增加到6时，函数值减少1”的条件，得到两个函数值的等量关系，列出关于k的一元一次方程，解出k的值即可得到反比例函数的表达式。
【解析】
解：当x=3时，对应的函数值为$y_1=\frac{k}{3}$；
当x=6时，对应的函数值为$y_2=\frac{k}{6}$；
由题意可知x从3增加到6时函数值减少1，因此$y_1 - y_2 = 1$，
代入得：$\frac{k}{3} - \frac{k}{6} = 1$，
通分计算得：$\frac{2k - k}{6} = 1$，即$\frac{k}{6}=1$，
解得$k=6$，
因此反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数性质，待定系数法，一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查待定系数法求反比例函数表达式，解题的关键是准确根据函数值的变化关系列方程，熟练掌握反比例函数的基本性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据反比例函数表达式，分别求出x=3和x=6时对应的函数值，再结合“自变量x从3增加到6时，函数值减少1”的条件，得到两个函数值的等量关系，列出关于k的一元一次方程，解出k的值即可得到反比例函数的表达式。
【解析】
解：当x=3时，对应的函数值为$y_1=\frac{k}{3}$；
当x=6时，对应的函数值为$y_2=\frac{k}{6}$；
由题意可知x从3增加到6时函数值减少1，因此$y_1 - y_2 = 1$，
代入得：$\frac{k}{3} - \frac{k}{6} = 1$，
通分计算得：$\frac{2k - k}{6} = 1$，即$\frac{k}{6}=1$，
解得$k=6$，
因此反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数性质，待定系数法，一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查待定系数法求反比例函数表达式，解题的关键是准确根据函数值的变化关系列方程，熟练掌握反比例函数的基本性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
11. 已知$y$与$2x+1$成反比例，且当$x=1$时，$y=3$，那么当$x=4$时，$y=$
1
。答案
11. 1
解析
【分析】
解题思路如下：首先，根据“y与2x+1成反比例”的条件，结合反比例的定义，设出含待定系数k的函数表达式；其次，将已知的x=1、y=3代入表达式，求出k的值，确定y与x的完整函数解析式；最后将x=4代入已求出的解析式，计算得到对应的y值即可。
【解析】
解：
∵ y与2x+1成反比例，
∴ 设函数表达式为 $y = \frac{k}{2x+1}$（$k ≠ 0$，k为常数）。
将$x=1$，$y=3$代入表达式，得：
$3 = \frac{k}{2×1 + 1}$，
即$3 = \frac{k}{3}$，解得$k=9$。
∴ 函数解析式为 $y = \frac{9}{2x+1}$。
当$x=4$时，代入解析式得：
$y = \frac{9}{2×4 + 1} = \frac{9}{9} = 1$。
【答案】
1
【知识点】
反比例的定义、待定系数法求解析式、函数值计算
【点评】
本题属于反比例函数的基础题型，核心考查对成反比例关系的理解，以及待定系数法的应用，解题的关键是正确理解“y与2x+1成反比例”的含义，将2x+1看作整体设出函数表达式。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先，根据“y与2x+1成反比例”的条件，结合反比例的定义，设出含待定系数k的函数表达式；其次，将已知的x=1、y=3代入表达式，求出k的值，确定y与x的完整函数解析式；最后将x=4代入已求出的解析式，计算得到对应的y值即可。
【解析】
解：
∵ y与2x+1成反比例，
∴ 设函数表达式为 $y = \frac{k}{2x+1}$（$k ≠ 0$，k为常数）。
将$x=1$，$y=3$代入表达式，得：
$3 = \frac{k}{2×1 + 1}$，
即$3 = \frac{k}{3}$，解得$k=9$。
∴ 函数解析式为 $y = \frac{9}{2x+1}$。
当$x=4$时，代入解析式得：
$y = \frac{9}{2×4 + 1} = \frac{9}{9} = 1$。
【答案】
1
【知识点】
反比例的定义、待定系数法求解析式、函数值计算
【点评】
本题属于反比例函数的基础题型，核心考查对成反比例关系的理解，以及待定系数法的应用，解题的关键是正确理解“y与2x+1成反比例”的含义，将2x+1看作整体设出函数表达式。
【难度系数】
0.8
12. 已知水池的容量一定，当每小时的灌水量$q$为$3\ \mathrm{m}^3$时，灌满水池所需的时间$t$为$12\ \mathrm{h}$。
(1)写出每小时灌水量$q$与灌满水池所需时间$t$之间的函数表达式及$t$的取值范围。
(2)当灌满水池需要$8\ \mathrm{h}$时，求每小时的灌水量。
(1)写出每小时灌水量$q$与灌满水池所需时间$t$之间的函数表达式及$t$的取值范围。
(2)当灌满水池需要$8\ \mathrm{h}$时，求每小时的灌水量。
答案
12. 解:(1)函数表达式为 $q=\frac{36}{t}$,$t$ 的取值范围为 $t＞0$。
(2)每小时的灌水量为 $4.5\ \mathrm{m}^3$。
(2)每小时的灌水量为 $4.5\ \mathrm{m}^3$。
解析
【分析】
首先明确水池总容量是固定不变的，总容量等于每小时灌水量乘灌满所需时间，因此q和t成反比例函数关系。解题思路为：第(1)问先根据已知的q、t数值计算出水池总容量，再根据反比例函数定义写出q与t的函数表达式，结合t的实际意义确定取值范围；第(2)问将给定的t值代入函数表达式，计算即可得到对应的每小时灌水量。
【解析】
(1) 计算水池总容量：
已知当$q=3\ \mathrm{m}^3$时，$t=12\ \mathrm{h}$，总容量$V=q· t=3×12=36\ \mathrm{m}^3$。
因为总容量固定，因此$q· t=36$，整理得函数表达式为$q=\frac{36}{t}$。
由于t表示灌水时间，为正数，因此t的取值范围是$t＞0$。
(2) 将$t=8\ \mathrm{h}$代入$q=\frac{36}{t}$得：
$q=\frac{36}{8}=4.5\ \mathrm{m}^3$。
【答案】
(1) 函数表达式为$q=\frac{36}{t}$，$t$的取值范围为$t＞0$；(2) 每小时的灌水量为$4.5\ \mathrm{m}^3$
【知识点】
反比例函数的应用，待定系数法求解析式，自变量取值范围确定
【点评】
本题是反比例函数在实际问题中的基础应用，解题核心是抓住"总容量不变"这一不变量建立反比例函数关系，再代入数值求解，侧重考察对反比例函数基本概念和实际意义的理解，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
首先明确水池总容量是固定不变的，总容量等于每小时灌水量乘灌满所需时间，因此q和t成反比例函数关系。解题思路为：第(1)问先根据已知的q、t数值计算出水池总容量，再根据反比例函数定义写出q与t的函数表达式，结合t的实际意义确定取值范围；第(2)问将给定的t值代入函数表达式，计算即可得到对应的每小时灌水量。
【解析】
(1) 计算水池总容量：
已知当$q=3\ \mathrm{m}^3$时，$t=12\ \mathrm{h}$，总容量$V=q· t=3×12=36\ \mathrm{m}^3$。
因为总容量固定，因此$q· t=36$，整理得函数表达式为$q=\frac{36}{t}$。
由于t表示灌水时间，为正数，因此t的取值范围是$t＞0$。
(2) 将$t=8\ \mathrm{h}$代入$q=\frac{36}{t}$得：
$q=\frac{36}{8}=4.5\ \mathrm{m}^3$。
【答案】
(1) 函数表达式为$q=\frac{36}{t}$，$t$的取值范围为$t＞0$；(2) 每小时的灌水量为$4.5\ \mathrm{m}^3$
【知识点】
反比例函数的应用，待定系数法求解析式，自变量取值范围确定
【点评】
本题是反比例函数在实际问题中的基础应用，解题核心是抓住"总容量不变"这一不变量建立反比例函数关系，再代入数值求解，侧重考察对反比例函数基本概念和实际意义的理解，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
13. 已知一次函数 $y=3x-m$ 和反比例函数 $y=\frac{m-3}{x}$，当 $y=2$ 时，两个函数自变量的值相等，求反比例函数的表达式。
答案
13. 解:因为当 $y=2$ 时,两个函数自变量的值相等,
所以 $\begin{cases}2=3x-m,\\2=\frac{m-3}{x},\end{cases}$ 解得 $m=13$。
把 $m=13$ 代入反比例函数 $y=\frac{m-3}{x}$ 中,得 $y=\frac{10}{x}$,
所以反比例函数的表达式为 $y=\frac{10}{x}$。
所以 $\begin{cases}2=3x-m,\\2=\frac{m-3}{x},\end{cases}$ 解得 $m=13$。
把 $m=13$ 代入反比例函数 $y=\frac{m-3}{x}$ 中,得 $y=\frac{10}{x}$,
所以反比例函数的表达式为 $y=\frac{10}{x}$。
解析
【分析】
解题时首先提取题干关键条件：当y=2时，两个函数的自变量值相等，即此时两个函数的函数值均为2，对应的x值完全相同。我们可以先把y=2分别代入两个函数的表达式，得到两个关于x和参数m的方程，联立得到二元一次方程组求出m的值，再将m代入反比例函数的表达式，即可得到最终的反比例函数解析式。
【解析】
解：由题意，当y=2时两个函数的自变量值相等，将y=2分别代入两个函数表达式，可得方程组：
$\begin{cases}2=3x-m\\2=\frac{m-3}{x}\end{cases}$
对第一个方程变形得$x=\frac{m+2}{3}$，对第二个方程变形得$x=\frac{m-3}{2}$，因为两个x相等，因此：
$\frac{m+2}{3}=\frac{m-3}{2}$
两边同乘6去分母得$2(m+2)=3(m-3)$，展开整理得$2m+4=3m-9$，解得$m=13$。
将$m=13$代入反比例函数$y=\frac{m-3}{x}$，得$y=\frac{13-3}{x}=\frac{10}{x}$。
【答案】
$y=\frac{10}{x}$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式、函数值与自变量的对应关系、二元一次方程组的解法
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的基础综合题，解题核心是抓住“相同函数值下自变量相等”的条件建立方程求解参数，熟练掌握函数的对应关系和解方程组的方法即可轻松解答。
【难度系数】
0.75
解题时首先提取题干关键条件：当y=2时，两个函数的自变量值相等，即此时两个函数的函数值均为2，对应的x值完全相同。我们可以先把y=2分别代入两个函数的表达式，得到两个关于x和参数m的方程，联立得到二元一次方程组求出m的值，再将m代入反比例函数的表达式，即可得到最终的反比例函数解析式。
【解析】
解：由题意，当y=2时两个函数的自变量值相等，将y=2分别代入两个函数表达式，可得方程组：
$\begin{cases}2=3x-m\\2=\frac{m-3}{x}\end{cases}$
对第一个方程变形得$x=\frac{m+2}{3}$，对第二个方程变形得$x=\frac{m-3}{2}$，因为两个x相等，因此：
$\frac{m+2}{3}=\frac{m-3}{2}$
两边同乘6去分母得$2(m+2)=3(m-3)$，展开整理得$2m+4=3m-9$，解得$m=13$。
将$m=13$代入反比例函数$y=\frac{m-3}{x}$，得$y=\frac{13-3}{x}=\frac{10}{x}$。
【答案】
$y=\frac{10}{x}$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式、函数值与自变量的对应关系、二元一次方程组的解法
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的基础综合题，解题核心是抓住“相同函数值下自变量相等”的条件建立方程求解参数，熟练掌握函数的对应关系和解方程组的方法即可轻松解答。
【难度系数】
0.75
14. 已知 $ y = y_1 + y_2 $，$ y_1 $ 与 $ x - 1 $ 成正比例，$ y_2 $ 与 $ x + 1 $ 成反比例，当 $ x = 0 $ 时，$ y = -3 $，当 $ x = 1 $ 时，$ y = -1 $。
(1)求 $ y $ 的表达式。
(2)求当 $ x = -2 $ 时 $ y $ 的值。
(1)求 $ y $ 的表达式。
(2)求当 $ x = -2 $ 时 $ y $ 的值。
答案
14. 解:(1)因为 $y_1$ 与 $x-1$ 成正比例,$y_2$ 与 $x+1$ 成反比例,
所以设 $y_1=k_1(x-1)(k_1≠0),y_2=\frac{k_2}{x+1}(k_2≠0)$。
因为 $y=y_1+y_2$,当 $x=0$ 时,$y=-3$,当 $x=1$ 时,$y=-1$,
所以 $\begin{cases}-3=-k_1+k_2,\\-1=\frac{1}{2}k_2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k_2=-2,\\k_1=1,\end{cases}$
所以 $y=x-1-\frac{2}{x+1}$。
(2)当 $x=-2$,$y=x-1-\frac{2}{x+1}=-2-1-\frac{2}{-2+1}=-1$。
所以设 $y_1=k_1(x-1)(k_1≠0),y_2=\frac{k_2}{x+1}(k_2≠0)$。
因为 $y=y_1+y_2$,当 $x=0$ 时,$y=-3$,当 $x=1$ 时,$y=-1$,
所以 $\begin{cases}-3=-k_1+k_2,\\-1=\frac{1}{2}k_2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k_2=-2,\\k_1=1,\end{cases}$
所以 $y=x-1-\frac{2}{x+1}$。
(2)当 $x=-2$,$y=x-1-\frac{2}{x+1}=-2-1-\frac{2}{-2+1}=-1$。
解析
【分析】
(1) 求解y的表达式时，首先根据正比例、反比例函数的定义，分别设出y₁、y₂的含参解析式，再结合y=y₁+y₂写出y的整体含参表达式；之后将题目给出的两组x、y的对应值代入表达式，得到关于参数k₁、k₂的二元一次方程组，解出参数后代入即可得到y的解析式。
(2) 第二问直接将x=-2代入第一问求出的y的表达式，按运算法则计算即可得到对应y的值。
【解析】
(1) 解：
∵$y_1$与$x-1$成正比例，$y_2$与$x+1$成反比例
∴设$y_1=k_1(x-1)(k_1≠0)$，$y_2=\frac{k_2}{x+1}(k_2≠0)$
∵$y=y_1+y_2$，当$x=0$时$y=-3$，当$x=1$时$y=-1$
∴代入得方程组：
$\begin{cases}-3=-k_1+k_2\\-1=\frac{k_2}{2}\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=-2\\k_1=1\end{cases}$
将参数代入得y的表达式：$y=x-1-\frac{2}{x+1}$
(2) 把$x=-2$代入$y=x-1-\frac{2}{x+1}$得：
$y=-2-1-\frac{2}{-2+1}=-3+2=-1$
【答案】
(1) $y=x-1-\frac{2}{x+1}$
(2) $-1$
【知识点】
正比例函数定义，反比例函数定义，待定系数法求解析式
【点评】
本题属于函数基础题型，解题关键是熟练掌握正比例、反比例函数的表达形式，通过代入已知条件建立方程组求解参数，第二问为常规代数代入求值，整体运算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.75
(1) 求解y的表达式时，首先根据正比例、反比例函数的定义，分别设出y₁、y₂的含参解析式，再结合y=y₁+y₂写出y的整体含参表达式；之后将题目给出的两组x、y的对应值代入表达式，得到关于参数k₁、k₂的二元一次方程组，解出参数后代入即可得到y的解析式。
(2) 第二问直接将x=-2代入第一问求出的y的表达式，按运算法则计算即可得到对应y的值。
【解析】
(1) 解：
∵$y_1$与$x-1$成正比例，$y_2$与$x+1$成反比例
∴设$y_1=k_1(x-1)(k_1≠0)$，$y_2=\frac{k_2}{x+1}(k_2≠0)$
∵$y=y_1+y_2$，当$x=0$时$y=-3$，当$x=1$时$y=-1$
∴代入得方程组：
$\begin{cases}-3=-k_1+k_2\\-1=\frac{k_2}{2}\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=-2\\k_1=1\end{cases}$
将参数代入得y的表达式：$y=x-1-\frac{2}{x+1}$
(2) 把$x=-2$代入$y=x-1-\frac{2}{x+1}$得：
$y=-2-1-\frac{2}{-2+1}=-3+2=-1$
【答案】
(1) $y=x-1-\frac{2}{x+1}$
(2) $-1$
【知识点】
正比例函数定义，反比例函数定义，待定系数法求解析式
【点评】
本题属于函数基础题型，解题关键是熟练掌握正比例、反比例函数的表达形式，通过代入已知条件建立方程组求解参数，第二问为常规代数代入求值，整体运算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.75
