4. 如图，已知在△ABC中，点D、F在边AB上，点E、G在边AC上，分别平行于BC的直线DE和FG将△ABC分成面积相等的三部分，BC=15 cm. 求DE、FG的长.

4. 因为 $DE// BC$，$FG// BC$，所以$△ ADE∽△ ABC$，$△ AFG∽△ ABC$，进而$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{DE}{BC})^2$，$\frac{S_{△ AFG}}{S_{△ ABC}}=(\frac{FG}{BC})^2$. 又由 $DE$、$FG$ 将$△ ABC$分成面积相等的三部分，知$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\frac{1}{3}$，$\frac{S_{△ AFG}}{S_{△ ABC}}=\frac{2}{3}$，所以 $DE=\sqrt{\frac{1}{3}}× BC=5\sqrt{3}\ (\mathrm{cm})$，$FG=\sqrt{\frac{2}{3}}× BC=5\sqrt{6}\ (\mathrm{cm})$.

5. 如图，已知：$△ ABC ∽ △ A_1B_1C_1$，点D、$D_1$分别在边BC、$B_1C_1$上，且$BD=\frac{1}{3}DC$，$B_1D_1=\frac{1}{3}D_1C_1$。求证：$\frac{AD}{A_1D_1}=\frac{AB}{A_1B_1}$。

5. 由$△ ABC∽△ A_1B_1C_1$，知$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}$，$∠ B=∠ B_1$. 因为 $BD=\frac{1}{3}DC$，$B_1D_1=\frac{1}{3}D_1C_1$，即 $BD=\frac{1}{4}BC$，$B_1D_1=\frac{1}{4}B_1C_1$，得 $\frac{BD}{B_1D_1}=\frac{BC}{B_1C_1}$，所以 $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BD}{B_1D_1}$，因此$△ ABD∽ A_1B_1D_1$，从而 $\frac{AD}{A_1D_1}=\frac{AB}{A_1B_1}$.