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4. 如图，已知：点A和A₁、B和B₁、C和C₁分别在射线PM、PN、PT上，AB//A₁B₁，BC//B₁C₁. 求证：△ABC∽A₁B₁C₁.
答案
由$AB// A_1B_1$，知$\dfrac{AB}{A_1B_1}=\dfrac{PB}{PB_1}$，$∠ ABN=∠ A_1B_1N$.
同理，$\dfrac{BC}{B_1C_1}=\dfrac{PB}{PB_1}$，$∠ CBN=∠ C_1B_1N$，从而$\dfrac{AB}{A_1B_1}=\dfrac{BC}{B_1C_1}$，$∠ ABN+∠ CBN=∠ A_1B_1N+∠ C_1B_1N$，即$∠ ABC=∠ A_1B_1C_1$，所以$△ ABC∽△ A_1B_1C_1$.
同理，$\dfrac{BC}{B_1C_1}=\dfrac{PB}{PB_1}$，$∠ CBN=∠ C_1B_1N$，从而$\dfrac{AB}{A_1B_1}=\dfrac{BC}{B_1C_1}$，$∠ ABN+∠ CBN=∠ A_1B_1N+∠ C_1B_1N$，即$∠ ABC=∠ A_1B_1C_1$，所以$△ ABC∽△ A_1B_1C_1$.
5. 如图，在正方形网格中，利用以上第3题中得到的结论，证明：$∠1+∠2+∠3=90°$。
拓展与思考
拓展与思考
答案
设正方形网格中每个小方格的边长为1个单位长度，则$BC=1$，$BD=2$，$BE=\sqrt{2}$，从而$\dfrac{BC}{BE}=\dfrac{BE}{BD}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，而$∠ EBC$为公共角，所以$△ EBC∽△ DBE$，从而$∠ 3=∠ BEC$. 由$AB=AE$及$∠ A=90°$，知$∠ 1=45°$. 因为$∠ 2+∠ BEC=∠ 1$，所以$∠ 2+∠ 3=∠ 1$，进而$∠ 1+∠ 2+∠ 3=2∠ 1=90°$.
