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一、选择题
1.如果a的相反数是2 026，那么a的值为()
A.2 026
B.±2 026
C.$-\dfrac{1}{2026}$
D.−2 026
1.如果a的相反数是2 026，那么a的值为()
A.2 026
B.±2 026
C.$-\dfrac{1}{2026}$
D.−2 026
答案
D
解析
【分析】
解题时首先回忆相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，且互为相反数的两个数绝对值相等。题目明确a的相反数是2026，说明a就是2026的相反数，我们只需要求出2026的相反数即可得到a的值。
【解析】
解：根据相反数的定义，若两个数互为相反数，则这两个数符号相反、绝对值相等。
已知a的相反数是2026，因此a是2026的相反数，即a = -2026。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
相反数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要熟练掌握相反数的相关性质，即可快速得出答案，解题时注意不要混淆相反数和倒数的概念。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，且互为相反数的两个数绝对值相等。题目明确a的相反数是2026，说明a就是2026的相反数，我们只需要求出2026的相反数即可得到a的值。
【解析】
解：根据相反数的定义，若两个数互为相反数，则这两个数符号相反、绝对值相等。
已知a的相反数是2026，因此a是2026的相反数，即a = -2026。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
相反数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要熟练掌握相反数的相关性质，即可快速得出答案，解题时注意不要混淆相反数和倒数的概念。
【难度系数】
0.9
2.观察下列实物模型，其形状可以抽象为圆锥的是（）
答案
B
解析
【分析】
解题时首先要明确圆锥的特征：圆锥有1个圆形的底面，1个曲面的侧面，只有1个顶点，整体呈现一端尖、一端为圆形平面的形态。接下来我们将每个选项的实物对应到学过的立体图形，逐一判断是否符合圆锥特征即可得到答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：足球的形状是球体，不符合圆锥的特征，排除；
选项B：冰淇淋甜筒有圆形的顶面，侧面是曲面，底部为尖的顶点，符合圆锥的特征；
选项C：垃圾桶的形状近似圆柱，上下两个面都是大小相近的圆形，不符合圆锥特征，排除；
选项D：盒子的形状是长方体，属于棱柱类，不符合圆锥特征，排除。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
圆锥的特征、立体图形识别
【点评】
本题考查生活中实物对应的立体图形的判断，解题关键是熟练掌握各类常见立体图形的特征，结合实物形态进行匹配即可。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确圆锥的特征：圆锥有1个圆形的底面，1个曲面的侧面，只有1个顶点，整体呈现一端尖、一端为圆形平面的形态。接下来我们将每个选项的实物对应到学过的立体图形，逐一判断是否符合圆锥特征即可得到答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：足球的形状是球体，不符合圆锥的特征，排除；
选项B：冰淇淋甜筒有圆形的顶面，侧面是曲面，底部为尖的顶点，符合圆锥的特征；
选项C：垃圾桶的形状近似圆柱，上下两个面都是大小相近的圆形，不符合圆锥特征，排除；
选项D：盒子的形状是长方体，属于棱柱类，不符合圆锥特征，排除。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
圆锥的特征、立体图形识别
【点评】
本题考查生活中实物对应的立体图形的判断，解题关键是熟练掌握各类常见立体图形的特征，结合实物形态进行匹配即可。
【难度系数】
0.9
3. 中国信息通信研究院测算，2020—2025年，中国5G商用带动的新兴消费规模超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元.其中数据10.6万亿用科学记数法表示为
（）
A.$10.6× 10^{4}$
B.$10.6× 10^{13}$
C.$1.06× 10^{13}$
D.$1.06× 10^{8}$
（）
A.$10.6× 10^{4}$
B.$10.6× 10^{13}$
C.$1.06× 10^{13}$
D.$1.06× 10^{8}$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆科学记数法的表示规则：科学记数法的形式为$a×10^n$，其中要求$1≤ |a|＜10$，$n$为正整数。第一步先将“10.6万亿”的单位换算为对应的10的幂次，第二步调整$a$的大小使其满足取值要求，同时对应调整$n$的数值，最终得到结果后匹配选项即可。
【解析】
1. 明确科学记数法的定义：把大于10的数表示为$a×10^n$（$1≤ a＜10$，$n$为正整数）的形式叫做科学记数法。
2. 进行单位换算：$1万=10^4$，$1亿=10^8$，因此$1万亿=10^4×10^8=10^{12}$。
3. 代入得：$10.6万亿=10.6×10^{12}$。
4. 调整$a$的取值：将10.6的小数点向左移动1位得到符合要求的$a=1.06$，此时$10$的指数需要加1，即$n=12+1=13$。
5. 因此$10.6万亿=1.06×10^{13}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
科学记数法；大数单位换算
【点评】
本题考查科学记数法的实际应用，解题核心是准确确定$a$的取值和$n$的数值，需注意“万亿”这类复合单位的换算，属于基础题型，掌握规则即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆科学记数法的表示规则：科学记数法的形式为$a×10^n$，其中要求$1≤ |a|＜10$，$n$为正整数。第一步先将“10.6万亿”的单位换算为对应的10的幂次，第二步调整$a$的大小使其满足取值要求，同时对应调整$n$的数值，最终得到结果后匹配选项即可。
【解析】
1. 明确科学记数法的定义：把大于10的数表示为$a×10^n$（$1≤ a＜10$，$n$为正整数）的形式叫做科学记数法。
2. 进行单位换算：$1万=10^4$，$1亿=10^8$，因此$1万亿=10^4×10^8=10^{12}$。
3. 代入得：$10.6万亿=10.6×10^{12}$。
4. 调整$a$的取值：将10.6的小数点向左移动1位得到符合要求的$a=1.06$，此时$10$的指数需要加1，即$n=12+1=13$。
5. 因此$10.6万亿=1.06×10^{13}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
科学记数法；大数单位换算
【点评】
本题考查科学记数法的实际应用，解题核心是准确确定$a$的取值和$n$的数值，需注意“万亿”这类复合单位的换算，属于基础题型，掌握规则即可快速作答。
【难度系数】
0.8
4.当$x=-1$时,多项式$3x+1$的值是（）
A.$-4$
B.$-2$
C.$2$
D.$4$
A.$-4$
B.$-2$
C.$2$
D.$4$
答案
B
解析
【分析】
这道题是代数式求值类基础题，解题思路很清晰：先将题目给出的x的取值代入到多项式中，再按照有理数的运算顺序先算乘法、再算加法即可得到结果，计算时要重点注意负数参与运算的符号规则，避免符号出错。
【解析】
解：把$x=-1$代入多项式$3x+1$中：
$\begin{aligned}3x+1&=3×(-1)+1\\&=-3+1\\&=-2\end{aligned}$
因此计算结果为$-2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题是基础题型，核心考查代数式代入求值的基本方法，只要代入数值准确、计算时注意符号变化，就可以轻松得分。
【难度系数】
0.9
这道题是代数式求值类基础题，解题思路很清晰：先将题目给出的x的取值代入到多项式中，再按照有理数的运算顺序先算乘法、再算加法即可得到结果，计算时要重点注意负数参与运算的符号规则，避免符号出错。
【解析】
解：把$x=-1$代入多项式$3x+1$中：
$\begin{aligned}3x+1&=3×(-1)+1\\&=-3+1\\&=-2\end{aligned}$
因此计算结果为$-2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题是基础题型，核心考查代数式代入求值的基本方法，只要代入数值准确、计算时注意符号变化，就可以轻松得分。
【难度系数】
0.9
5.如图，棋盘上有黑、白两色棋子若干，
找出所有“三颗颜色相同的棋子在同一直线上”的直线，这样的直线共有
（）
A.2条
B.3条
C.4条
D.5条
找出所有“三颗颜色相同的棋子在同一直线上”的直线，这样的直线共有
（）
A.2条
B.3条
C.4条
D.5条
答案
C
解析
【分析】
解题时可以按照有序枚举的思路，先分黑色、白色两类棋子分别排查，再按水平行、竖直列、斜向三个方向逐一寻找三颗同色棋子共线的情况，每找到一条就做好标记，避免出现漏数或者重复计数的问题。
【解析】
我们按固定顺序逐一排查符合要求的直线：
1. 黑色棋子斜向共线：第一行左数第4个黑棋、第二行左数第3个黑棋、第三行左数第2个黑棋在同一条直线上，为第1条符合要求的直线；
2. 白色棋子斜向共线：第一行左数第2个白棋、第三行左数第3个白棋、第四行左数第5个白棋在同一条直线上，为第2条符合要求的直线；
3. 白色棋子斜向共线：第一行左数第5个白棋、第三行左数第3个白棋、第四行左数第2个白棋在同一条直线上，为第3条符合要求的直线；
4. 白色棋子斜向共线：第三行左数第1个白棋、第二行中间空白点的对称位置、第四行左数第3个白棋在同一条直线上，为第4条符合要求的直线。
综上，符合要求的直线共有4条。
【答案】
C
【知识点】
有序枚举，直线判定，图形观察
【点评】
本题主要考查观察图形和有序计数的能力，按照固定方向、分类排查的方法解题，能有效避免漏数、重复数的错误。
【难度系数】
0.7
解题时可以按照有序枚举的思路，先分黑色、白色两类棋子分别排查，再按水平行、竖直列、斜向三个方向逐一寻找三颗同色棋子共线的情况，每找到一条就做好标记，避免出现漏数或者重复计数的问题。
【解析】
我们按固定顺序逐一排查符合要求的直线：
1. 黑色棋子斜向共线：第一行左数第4个黑棋、第二行左数第3个黑棋、第三行左数第2个黑棋在同一条直线上，为第1条符合要求的直线；
2. 白色棋子斜向共线：第一行左数第2个白棋、第三行左数第3个白棋、第四行左数第5个白棋在同一条直线上，为第2条符合要求的直线；
3. 白色棋子斜向共线：第一行左数第5个白棋、第三行左数第3个白棋、第四行左数第2个白棋在同一条直线上，为第3条符合要求的直线；
4. 白色棋子斜向共线：第三行左数第1个白棋、第二行中间空白点的对称位置、第四行左数第3个白棋在同一条直线上，为第4条符合要求的直线。
综上，符合要求的直线共有4条。
【答案】
C
【知识点】
有序枚举，直线判定，图形观察
【点评】
本题主要考查观察图形和有序计数的能力，按照固定方向、分类排查的方法解题，能有效避免漏数、重复数的错误。
【难度系数】
0.7
6.有道我国古代问题:以绳测井,若将绳三折测之,绳多四尺;若将绳四折测之,绳多一尺.绳长、井深(水面至井口)各几何?其大意是用绳子量井深,把绳折三折来量,井外余绳四尺;把绳折四折来量,井外余绳一尺.问绳长、井深各有几尺?若设绳长为$ x $尺,则可列方程为()
A.$\frac{1}{3}x - 4 = \frac{1}{4}x - 1$
B.$\frac{1}{3}x + 4 = \frac{1}{4}x - 1$
C.$\frac{1}{3}x - 4 = \frac{1}{4}x + 1$
D.$\frac{1}{3}x + 4 = \frac{1}{4}x + 1$
A.$\frac{1}{3}x - 4 = \frac{1}{4}x - 1$
B.$\frac{1}{3}x + 4 = \frac{1}{4}x - 1$
C.$\frac{1}{3}x - 4 = \frac{1}{4}x + 1$
D.$\frac{1}{3}x + 4 = \frac{1}{4}x + 1$
答案
A
解析
【分析】
解这道题的核心是找到不变的量作为等量关系，本题中无论怎么折绳子，井的深度是固定不变的。我们可以先根据绳长$x$，分别表示出两种折法下对应的井深，再利用井深相等列出方程即可。第一步，先分析三折测井的情况：绳长$x$尺，折三折后每段长度是$\frac{1}{3}x$尺，此时井外余绳4尺，说明井深 = 折后每段绳长 - 井外余绳长度，也就是$\frac{1}{3}x - 4$；第二步，分析四折测井的情况：折四折后每段长度是$\frac{1}{4}x$尺，此时井外余绳1尺，同理可得井深为$\frac{1}{4}x - 1$；第三步，因为井深相等，所以两个表示井深的式子相等，就能得到对应方程。
【解析】
已知设绳长为$x$尺，本题的等量关系为：两种测量方式下井深相等。
1. 绳三折测量时，折后每段绳长为$\frac{1}{3}x$尺，井外余4尺，因此井深可表示为：$\frac{1}{3}x - 4$；
2. 绳四折测量时，折后每段绳长为$\frac{1}{4}x$尺，井外余1尺，因此井深可表示为：$\frac{1}{4}x - 1$；
3. 由井深相等列方程得：$\frac{1}{3}x - 4 = \frac{1}{4}x - 1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的应用；利用不变量列方程
【点评】
本题是经典的古代数学应用问题，解题的关键是准确抓住井深不变这一核心等量关系，避免混淆井深和剩余绳长的数量关系，就能顺利列出正确方程。
【难度系数】
0.8
解这道题的核心是找到不变的量作为等量关系，本题中无论怎么折绳子，井的深度是固定不变的。我们可以先根据绳长$x$，分别表示出两种折法下对应的井深，再利用井深相等列出方程即可。第一步，先分析三折测井的情况：绳长$x$尺，折三折后每段长度是$\frac{1}{3}x$尺，此时井外余绳4尺，说明井深 = 折后每段绳长 - 井外余绳长度，也就是$\frac{1}{3}x - 4$；第二步，分析四折测井的情况：折四折后每段长度是$\frac{1}{4}x$尺，此时井外余绳1尺，同理可得井深为$\frac{1}{4}x - 1$；第三步，因为井深相等，所以两个表示井深的式子相等，就能得到对应方程。
【解析】
已知设绳长为$x$尺，本题的等量关系为：两种测量方式下井深相等。
1. 绳三折测量时，折后每段绳长为$\frac{1}{3}x$尺，井外余4尺，因此井深可表示为：$\frac{1}{3}x - 4$；
2. 绳四折测量时，折后每段绳长为$\frac{1}{4}x$尺，井外余1尺，因此井深可表示为：$\frac{1}{4}x - 1$；
3. 由井深相等列方程得：$\frac{1}{3}x - 4 = \frac{1}{4}x - 1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的应用；利用不变量列方程
【点评】
本题是经典的古代数学应用问题，解题的关键是准确抓住井深不变这一核心等量关系，避免混淆井深和剩余绳长的数量关系，就能顺利列出正确方程。
【难度系数】
0.8
7.计算：$\left| -\dfrac{1}{6} \right| = \_\_\_\_\_\_$
答案
解：根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，
$\left| -\dfrac{1}{6} \right| = \dfrac{1}{6}$
$\left| -\dfrac{1}{6} \right| = \dfrac{1}{6}$
解析
【分析】
解题时首先观察绝对值符号内的数的正负性，本题中绝对值内是$-\dfrac{1}{6}$，属于负数，再回忆绝对值的相关性质：负数的绝对值是它的相反数，因此只需要求出$-\dfrac{1}{6}$的相反数即可得到结果。
【解析】
根据绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数，可得：
$\left| -\dfrac{1}{6} \right| = -(-\dfrac{1}{6}) = \dfrac{1}{6}$
【答案】
$\dfrac{1}{6}$
【知识点】
绝对值的性质
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对绝对值运算规则的掌握，熟练记忆不同类型数的绝对值计算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察绝对值符号内的数的正负性，本题中绝对值内是$-\dfrac{1}{6}$，属于负数，再回忆绝对值的相关性质：负数的绝对值是它的相反数，因此只需要求出$-\dfrac{1}{6}$的相反数即可得到结果。
【解析】
根据绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数，可得：
$\left| -\dfrac{1}{6} \right| = -(-\dfrac{1}{6}) = \dfrac{1}{6}$
【答案】
$\dfrac{1}{6}$
【知识点】
绝对值的性质
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对绝对值运算规则的掌握，熟练记忆不同类型数的绝对值计算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.9
8.木工师傅用刨子可将木板刨平，如图，经过刨平的木板上的两个点能弹出一条墨线，而且只能弹出一条墨线.这其中的数学原理为.
答案
解：两点确定一条直线
解析
【分析】
解题时首先提取题目关键信息：木板上的两个点、只能弹出一条墨线，需要将实际操作场景和所学的直线相关性质对应。结合“经过两点、仅存在唯一一条线”的特征，即可对应到对应的数学公理。
【解析】
刨平的木板可看作一个平面，弹出的墨线本质是平面内的直线。操作中选取木板上的两个点时，只能弹出唯一一条过这两个点的墨线，符合直线的基本性质：经过两点有且只有一条直线，也就是两点确定一条直线，这就是该操作对应的数学原理。
【答案】
两点确定一条直线
【知识点】
直线的基本性质
【点评】
本题结合生活中的木工操作场景考查数学公理的应用，引导学生学会将生活现象与数学知识相结合，体会数学在实际生活中的实用性。
【难度系数】
0.9
解题时首先提取题目关键信息：木板上的两个点、只能弹出一条墨线，需要将实际操作场景和所学的直线相关性质对应。结合“经过两点、仅存在唯一一条线”的特征，即可对应到对应的数学公理。
【解析】
刨平的木板可看作一个平面，弹出的墨线本质是平面内的直线。操作中选取木板上的两个点时，只能弹出唯一一条过这两个点的墨线，符合直线的基本性质：经过两点有且只有一条直线，也就是两点确定一条直线，这就是该操作对应的数学原理。
【答案】
两点确定一条直线
【知识点】
直线的基本性质
【点评】
本题结合生活中的木工操作场景考查数学公理的应用，引导学生学会将生活现象与数学知识相结合，体会数学在实际生活中的实用性。
【难度系数】
0.9
