7. 提升题 已知点 B,C 在线段 AD 上.
(1)图①中共有条线段.
(2)若 AB＞CD,
①比较线段的长短:AC(填“＞”“＜”或“=”)BD;
②如图②,若 AD=20,BC=8,M 是 AB 的中点,N 是 CD 的中点,求线段 MN 的长度.

解：
(1) 6
(2) ① ＞
② 因为点B,C在线段AD上，AD=20，BC=8，
所以 $AB + CD = AD - BC = 20 - 8 = 12$。
因为M是AB的中点，N是CD的中点，
所以 $MB = \frac{1}{2}AB$，$CN = \frac{1}{2}CD$，
所以 $MB + CN = \frac{1}{2}(AB + CD) = \frac{1}{2} × 12 = 6$，
所以 $MN = MB + BC + CN = 6 + 8 = 14$。
答：线段MN的长度为14。

【分析】
(1) 数线段可采用有序枚举法：按左端点分类计数，避免重复或遗漏。以A为左端点的线段有3条，以B为左端点的线段有2条，以C为左端点的线段有1条，求和即可得到总线段数。
(2) ① 比较AC和BD的长度，可将两条线段拆分：AC=AB+BC，BD=CD+BC，两者都包含公共部分BC，已知AB＞CD，同时加相同长度的BC，不等号方向不变，即可判断大小。
② 求MN的长度，先观察线段组成：MN=MB+BC+CN，已知BC的长度，只需计算MB+CN的和。根据中点性质，MB是AB的一半，CN是CD的一半，因此MB+CN等于AB与CD和的一半。再利用全长AD减去BC得到AB+CD的和，代入计算即可得到MN的长度。
【解析】
(1) 按左端点分类计数：$3+2+1=6$条。
(2) ① 因为$AC=AB+BC$，$BD=CD+BC$，且$AB＞CD$，所以$AB+BC＞CD+BC$，即$AC＞BD$。
② 因为点B、C在线段AD上，$AD=20$，$BC=8$，
所以 $AB + CD = AD - BC = 20 - 8 = 12$。
因为M是AB的中点，N是CD的中点，
所以 $MB = \frac{1}{2}AB$，$CN = \frac{1}{2}CD$，
所以 $MB + CN = \frac{1}{2}(AB + CD) = \frac{1}{2} × 12 = 6$，
所以 $MN = MB + BC + CN = 6 + 8 = 14$。
【答案】
(1) 6；(2) ① ＞；② 14
【知识点】
线段计数、线段和差计算、线段中点性质
【点评】
本题属于线段相关的基础提升题，考查了有序枚举计数、线段大小比较以及中点性质的应用，解题时注意将所求线段合理拆分，转化为已知条件的组合即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

8. 提升题 已知$∠ AOB=∠ COD$，射线OC在$∠ AOB$的内部，按要求解答下列问题.
(1)【尝试探究】如图①，已知$∠ AOB=90°$，$∠ AOD+∠ BOC=$.
(2)【初步应用】如图②，若$∠ AOB=45°$，求$∠ AOD+∠ BOC$的大小，并说明理由.
(3)【拓展提升】如图③，若$∠ AOB=α$ $(0°＜α＜180°)$，试判断$∠ AOD+∠ BOC$与$α$之间的数量关系.

解：
(1) $\boldsymbol{180°}$
(2) $∠ AOD + ∠ BOC = 90°$，理由如下：
$\because ∠ AOD = ∠ AOC + ∠ COD$，
$\therefore ∠ AOD + ∠ BOC = ∠ AOC + ∠ COD + ∠ BOC$
$= (∠ AOC + ∠ BOC) + ∠ COD$
$= ∠ AOB + ∠ COD$。
又$\because ∠ AOB = ∠ COD = 45°$，
$\therefore ∠ AOD + ∠ BOC = 45° + 45° = 90°$。
(3) $∠ AOD + ∠ BOC = 2α$，理由如下：
由题意知$∠ COD = ∠ AOB = α$，
同理(2)的角的和差拆分可得：
$∠ AOD + ∠ BOC = ∠ AOB + ∠ COD = α + α = 2α$。

【分析】
本题考查角的和差运算，解题思路如下：
1. 对于(1)，已知∠AOB=∠COD=90°，可将∠AOD拆分为∠AOB+∠BOD，此时∠AOD+∠BOC可转化为∠AOB+∠BOD+∠BOC，而∠BOD+∠BOC刚好是∠COD，代入已知角度计算即可。
2. 对于(2)，沿用角的拆分思路，把∠AOD拆为∠AOC+∠COD，将∠AOD+∠BOC整理后，利用∠AOB=∠COD的条件代换，即可求出结果。
3. 对于(3)，是(2)的一般化推广，把具体角度替换为α，用同样的和差推导就能得到数量关系。
【解析】
(1) 已知∠AOB=90°，且∠AOB=∠COD，故∠COD=90°。
∵∠AOD=∠AOB+∠BOD，
∴∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠BOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=90°+90°=180°。
(2) ∠AOD+∠BOC=90°，理由如下：
∵∠AOD=∠AOC+∠COD，
∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOC
=(∠AOC+∠BOC)+∠COD
=∠AOB+∠COD。
又
∵∠AOB=∠COD=45°，
∴∠AOD+∠BOC=45°+45°=90°。
(3) ∠AOD+∠BOC=2α，理由如下：
已知∠COD=∠AOB=α，由(2)的角的和差拆分规律可得：
∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=α+α=2α。
【答案】
(1) $\boldsymbol{180°}$；(2) $\boldsymbol{90°}$；(3) $\boldsymbol{∠AOD+∠BOC=2α}$
【知识点】
角的和差运算、等量代换、特殊到一般思想
【点评】
本题是角的运算的典型题型，从特殊角度到一般角度逐层递进，核心是掌握角的拆分方法，通过将所求角拆解为已知角的和差，结合相等角的等量代换即可推导得到结论，有助于培养逻辑推导能力和归纳总结能力。
【难度系数】
0.65