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1. 已知一个三角形两个角分别为$40°$和$70°$,则这个三角形是()
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.钝角三角形
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.钝角三角形
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和定理，已知三角形两个内角的度数，可先求出第三个内角的度数；再根据三个内角的特征，结合三角形按边、按角分类的判定规则，逐一匹配选项即可得出答案。
【解析】
根据三角形内角和为$180°$，可得第三个角的度数为：
$180° - 40° - 70° = 70°$
因此该三角形的三个内角度数分别为$40°$、$70°$、$70°$，有两个内角相等。
根据“等角对等边”的判定规则，有两个角相等的三角形是等腰三角形。
逐一排除其他选项：A选项直角三角形需有一个内角为$90°$，不符合；C选项等边三角形三个内角均为$60°$，不符合；D选项钝角三角形需有一个内角大于$90°$，不符合。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形内角和的计算应用以及等腰三角形的判定方法，熟练掌握基础定理即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形内角和定理，已知三角形两个内角的度数，可先求出第三个内角的度数；再根据三个内角的特征，结合三角形按边、按角分类的判定规则，逐一匹配选项即可得出答案。
【解析】
根据三角形内角和为$180°$，可得第三个角的度数为：
$180° - 40° - 70° = 70°$
因此该三角形的三个内角度数分别为$40°$、$70°$、$70°$，有两个内角相等。
根据“等角对等边”的判定规则，有两个角相等的三角形是等腰三角形。
逐一排除其他选项：A选项直角三角形需有一个内角为$90°$，不符合；C选项等边三角形三个内角均为$60°$，不符合；D选项钝角三角形需有一个内角大于$90°$，不符合。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形内角和的计算应用以及等腰三角形的判定方法，熟练掌握基础定理即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 如图1，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处.若∠A=48°，则∠APD等于()
A.42°
B.48°
C.52°
D.58°
A.42°
B.48°
C.52°
D.58°
答案
B
解析
【分析】
解题可从等腰三角形的知识点切入：首先根据折叠的性质，折叠前后对应边相等，可得CD=PD；再结合D是AC中点，得到AD=CD，等量代换后可知AD=PD，即△APD为等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质，即可直接求出∠APD的度数。也可通过三角形中位线定理结合平行线性质求解。
【解析】
方法一：
∵D是AC边的中点，
∴AD = CD，
∵将△CDE沿DE折叠后点C落在点P处，根据折叠的性质可得CD = PD，
∴AD = PD，即△APD为等腰三角形，
∴∠APD = ∠A = 48°。
方法二：
∵D、E分别是AC、BC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AB，
∴∠CDE = ∠A = 48°（两直线平行，同位角相等），
由折叠的性质可得∠PDE = ∠CDE = 48°，
又
∵DE//AB，
∴∠APD = ∠PDE = 48°（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质、折叠的性质、三角形中位线定理
【点评】
本题是三角形章节的基础常考题，解法灵活，既可以用等腰三角形性质快速求解，也可以结合中位线、平行线的性质推导，核心是抓住折叠前后边、角对应相等的性质进行转化。
【难度系数】
0.75
解题可从等腰三角形的知识点切入：首先根据折叠的性质，折叠前后对应边相等，可得CD=PD；再结合D是AC中点，得到AD=CD，等量代换后可知AD=PD，即△APD为等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质，即可直接求出∠APD的度数。也可通过三角形中位线定理结合平行线性质求解。
【解析】
方法一：
∵D是AC边的中点，
∴AD = CD，
∵将△CDE沿DE折叠后点C落在点P处，根据折叠的性质可得CD = PD，
∴AD = PD，即△APD为等腰三角形，
∴∠APD = ∠A = 48°。
方法二：
∵D、E分别是AC、BC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AB，
∴∠CDE = ∠A = 48°（两直线平行，同位角相等），
由折叠的性质可得∠PDE = ∠CDE = 48°，
又
∵DE//AB，
∴∠APD = ∠PDE = 48°（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质、折叠的性质、三角形中位线定理
【点评】
本题是三角形章节的基础常考题，解法灵活，既可以用等腰三角形性质快速求解，也可以结合中位线、平行线的性质推导，核心是抓住折叠前后边、角对应相等的性质进行转化。
【难度系数】
0.75
3. 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，DE//BC，则图形中共有等腰三角形()
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
D
解析
【分析】
解题时先明确等腰三角形的判定依据是“等角对等边”，第一步先利用等腰△ABC的已知条件算出各内角的度数，第二步结合角平分线的性质得到相等的角，第三步利用平行线的性质推导同位角、内错角相等，逐一排查所有三角形，判断是否存在两个内角相等，即可统计出等腰三角形的总个数。
【解析】
1. 判断△ABC：
已知AB=AC，故△ABC是等腰三角形，$∠ ABC=∠ ACB=(180°-∠ A)÷2=(180°-36°)÷2=72°$。
2. 判断△ADE：
$\because DE// BC$，$\therefore ∠ ADE=∠ ABC=72°$，$∠ AED=∠ ACB=72°$，即$∠ ADE=∠ AED$，$\therefore AD=AE$，△ADE是等腰三角形。
3. 判断△ABD：
$\because BD$平分$∠ ABC$，$\therefore ∠ ABD=∠ DBC=72°÷2=36°$，又$∠ A=36°$，即$∠ A=∠ ABD$，$\therefore AD=BD$，△ABD是等腰三角形。
4. 判断△BDE：
$\because DE// BC$，$\therefore ∠ EDB=∠ DBC=36°$，又$∠ ABD=36°$，即$∠ EDB=∠ ABD$，$\therefore EB=ED$，△BDE是等腰三角形。
5. 判断△BDC：
在△BDC中，$∠ DBC=36°$，$∠ C=72°$，$\therefore ∠ BDC=180°-36°-72°=72°$，即$∠ BDC=∠ C$，$\therefore BD=BC$，△BDC是等腰三角形。
综上，共有5个等腰三角形。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的性质
【点评】
本题需要结合多个几何性质推导角的等量关系，解题时要按照顺序逐一排查三角形，避免漏数，掌握“等角对等边”的判定方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先明确等腰三角形的判定依据是“等角对等边”，第一步先利用等腰△ABC的已知条件算出各内角的度数，第二步结合角平分线的性质得到相等的角，第三步利用平行线的性质推导同位角、内错角相等，逐一排查所有三角形，判断是否存在两个内角相等，即可统计出等腰三角形的总个数。
【解析】
1. 判断△ABC：
已知AB=AC，故△ABC是等腰三角形，$∠ ABC=∠ ACB=(180°-∠ A)÷2=(180°-36°)÷2=72°$。
2. 判断△ADE：
$\because DE// BC$，$\therefore ∠ ADE=∠ ABC=72°$，$∠ AED=∠ ACB=72°$，即$∠ ADE=∠ AED$，$\therefore AD=AE$，△ADE是等腰三角形。
3. 判断△ABD：
$\because BD$平分$∠ ABC$，$\therefore ∠ ABD=∠ DBC=72°÷2=36°$，又$∠ A=36°$，即$∠ A=∠ ABD$，$\therefore AD=BD$，△ABD是等腰三角形。
4. 判断△BDE：
$\because DE// BC$，$\therefore ∠ EDB=∠ DBC=36°$，又$∠ ABD=36°$，即$∠ EDB=∠ ABD$，$\therefore EB=ED$，△BDE是等腰三角形。
5. 判断△BDC：
在△BDC中，$∠ DBC=36°$，$∠ C=72°$，$\therefore ∠ BDC=180°-36°-72°=72°$，即$∠ BDC=∠ C$，$\therefore BD=BC$，△BDC是等腰三角形。
综上，共有5个等腰三角形。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的性质
【点评】
本题需要结合多个几何性质推导角的等量关系，解题时要按照顺序逐一排查三角形，避免漏数，掌握“等角对等边”的判定方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
1. $△ ABC$中，若$∠ A=80°$，$∠ B=50°$，$AC=5$，则$AB=$。
答案
$\boldsymbol{5}$
解析
【分析】
解题时首先利用三角形内角和定理求出第三个角的度数，再观察角的相等关系，结合等腰三角形“等角对等边”的判定即可得到对应边的长度。第一步：回忆三角形内角和为180°，用180°减去已知的两个角的度数得到∠C的度数；第二步：对比∠B和∠C的度数，发现二者相等，根据等角对等边可知AB与AC相等，代入AC的长度即可得到AB的长度。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 80° - 50° = 50°$
$\therefore ∠ B = ∠ C = 50°$
根据等腰三角形“等角对等边”的判定，可得$AB = AC$
$\because AC = 5$
$\therefore AB = 5$
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心是对基础定理的应用，只要熟练掌握三角形内角和计算方法和等腰三角形等角对等边的判定规则，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解题时首先利用三角形内角和定理求出第三个角的度数，再观察角的相等关系，结合等腰三角形“等角对等边”的判定即可得到对应边的长度。第一步：回忆三角形内角和为180°，用180°减去已知的两个角的度数得到∠C的度数；第二步：对比∠B和∠C的度数，发现二者相等，根据等角对等边可知AB与AC相等，代入AC的长度即可得到AB的长度。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 80° - 50° = 50°$
$\therefore ∠ B = ∠ C = 50°$
根据等腰三角形“等角对等边”的判定，可得$AB = AC$
$\because AC = 5$
$\therefore AB = 5$
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心是对基础定理的应用，只要熟练掌握三角形内角和计算方法和等腰三角形等角对等边的判定规则，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
2. 如图3，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上的点，若BD=CD=5，则AD=.
答案
解：
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°，∠ACD + ∠BCD = 90°。
∵ BD=CD，
∴ ∠B = ∠BCD。
∴ ∠A + ∠BCD = 90°，
∴ ∠A = ∠ACD。
∴ AD = CD。
∵ CD=5，
∴ AD=5。
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°，∠ACD + ∠BCD = 90°。
∵ BD=CD，
∴ ∠B = ∠BCD。
∴ ∠A + ∠BCD = 90°，
∴ ∠A = ∠ACD。
∴ AD = CD。
∵ CD=5，
∴ AD=5。
解析
【分析】
拿到这道题可按以下思路推导：首先已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，可根据直角三角形的性质得到两个锐角互余，即∠A+∠B=90°，∠ACD+∠BCD=90°；再结合BD=CD的条件，根据等腰三角形等边对等角的性质，推出∠B=∠BCD；最后利用等角的余角相等，推导出∠A=∠ACD，再根据等腰三角形等角对等边的性质，得到AD与CD的等量关系，代入CD的长度即可求出AD的长。
【解析】
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°，∠ACD + ∠BCD = 90°。
∵ BD=CD，
∴ ∠B = ∠BCD。
∴ ∠A + ∠BCD = 90°，
∴ ∠A = ∠ACD。
∴ AD = CD。
∵ CD=5，
∴ AD=5。
【答案】
5
【知识点】
1.等腰三角形的性质与判定 2.直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础几何题，解题核心是灵活运用等腰三角形等边对等角、等角对等边的性质，结合直角三角形的锐角关系推导边角关系，运算量小，思路清晰直观。
【难度系数】
0.8
拿到这道题可按以下思路推导：首先已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，可根据直角三角形的性质得到两个锐角互余，即∠A+∠B=90°，∠ACD+∠BCD=90°；再结合BD=CD的条件，根据等腰三角形等边对等角的性质，推出∠B=∠BCD；最后利用等角的余角相等，推导出∠A=∠ACD，再根据等腰三角形等角对等边的性质，得到AD与CD的等量关系，代入CD的长度即可求出AD的长。
【解析】
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°，∠ACD + ∠BCD = 90°。
∵ BD=CD，
∴ ∠B = ∠BCD。
∴ ∠A + ∠BCD = 90°，
∴ ∠A = ∠ACD。
∴ AD = CD。
∵ CD=5，
∴ AD=5。
【答案】
5
【知识点】
1.等腰三角形的性质与判定 2.直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础几何题，解题核心是灵活运用等腰三角形等边对等角、等角对等边的性质，结合直角三角形的锐角关系推导边角关系，运算量小，思路清晰直观。
【难度系数】
0.8
三、解答题
1. 如图4,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD⊥ BC$于点$D$.
(1)若$∠ C=42°$,求$∠ BAD$的度数;
(2)若点$E$在边$AB$上,$EF// AC$交$AD$的延长线于点$F$,求证:$AE=FE$.
1. 如图4,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD⊥ BC$于点$D$.
(1)若$∠ C=42°$,求$∠ BAD$的度数;
(2)若点$E$在边$AB$上,$EF// AC$交$AD$的延长线于点$F$,求证:$AE=FE$.
答案
解：(1)
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B = ∠ C = 42°$，
∵ $AD⊥ BC$，
∴ $∠ ADB = 90°$，
∴ $∠ BAD = 90° - ∠ B = 90° - 42° = 48°$。
(2)证明：
∵ $EF// AC$，
∴ $∠ F = ∠ CAD$，
∵ $AB=AC$，$AD⊥ BC$，
∴ $AD$平分$∠ BAC$，即$∠ BAD = ∠ CAD$，
∴ $∠ BAD = ∠ F$，
∴ $AE=FE$。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B = ∠ C = 42°$，
∵ $AD⊥ BC$，
∴ $∠ ADB = 90°$，
∴ $∠ BAD = 90° - ∠ B = 90° - 42° = 48°$。
(2)证明：
∵ $EF// AC$，
∴ $∠ F = ∠ CAD$，
∵ $AB=AC$，$AD⊥ BC$，
∴ $AD$平分$∠ BAC$，即$∠ BAD = ∠ CAD$，
∴ $∠ BAD = ∠ F$，
∴ $AE=FE$。
解析
【分析】
(1) 求∠BAD的度数可按以下思路推导：首先根据等腰三角形等边对等角的性质，由AB=AC结合已知∠C=42°，可得∠B的度数；再由AD⊥BC可知∠ADB=90°，利用直角三角形两锐角互余，用90°减去∠B的度数即可求出∠BAD。
(2) 证明AE=FE，核心是利用等角对等边，只需证∠EAF=∠F：先由EF//AC，根据平行线内错角相等得到∠F=∠CAD；再利用等腰三角形三线合一的性质，AD是等腰△ABC底边上的高，因此AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD；等量代换可得∠BAD=∠F，即可推出AE=FE。
【解析】
(1) 解：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B = ∠ C = 42°$，
∵ $AD⊥ BC$，
∴ $∠ ADB = 90°$，
∴ $∠ BAD = 90° - ∠ B = 90° - 42° = 48°$。
(2) 证明：
∵ $EF// AC$，
∴ $∠ F = ∠ CAD$，
∵ $AB=AC$，$AD⊥ BC$，
∴ $AD$平分$∠ BAC$，即$∠ BAD = ∠ CAD$，
∴ $∠ BAD = ∠ F$，
∴ $AE=FE$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{48°}$；
(2) 证明成立，$AE=FE$。
【知识点】
等腰三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于等腰三角形的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握等腰三角形等边对等角、三线合一、等角对等边的性质，以及平行线的性质，理清角之间的等量关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
(1) 求∠BAD的度数可按以下思路推导：首先根据等腰三角形等边对等角的性质，由AB=AC结合已知∠C=42°，可得∠B的度数；再由AD⊥BC可知∠ADB=90°，利用直角三角形两锐角互余，用90°减去∠B的度数即可求出∠BAD。
(2) 证明AE=FE，核心是利用等角对等边，只需证∠EAF=∠F：先由EF//AC，根据平行线内错角相等得到∠F=∠CAD；再利用等腰三角形三线合一的性质，AD是等腰△ABC底边上的高，因此AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD；等量代换可得∠BAD=∠F，即可推出AE=FE。
【解析】
(1) 解：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B = ∠ C = 42°$，
∵ $AD⊥ BC$，
∴ $∠ ADB = 90°$，
∴ $∠ BAD = 90° - ∠ B = 90° - 42° = 48°$。
(2) 证明：
∵ $EF// AC$，
∴ $∠ F = ∠ CAD$，
∵ $AB=AC$，$AD⊥ BC$，
∴ $AD$平分$∠ BAC$，即$∠ BAD = ∠ CAD$，
∴ $∠ BAD = ∠ F$，
∴ $AE=FE$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{48°}$；
(2) 证明成立，$AE=FE$。
【知识点】
等腰三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于等腰三角形的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握等腰三角形等边对等角、三线合一、等角对等边的性质，以及平行线的性质，理清角之间的等量关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
