2. 如图5，已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E点，使CE=CD。求:(1)∠E的度数;(2)CE的长.

解：
(1) ∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ACB=60°，
∵ CE=CD，
∴ ∠E=∠CDE，
∵ ∠ACB是△DCE的外角，
∴ ∠ACB=∠E+∠CDE=2∠E，
即2∠E=60°，
∴ ∠E=30°。
(2) ∵ △ABC是等边三角形，
∴ AC=6 cm，
∵ BD是AC边上的高，由等腰三角形三线合一可得D是AC的中点，
∴ CD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×6=3 cm，
又∵ CE=CD，
∴ CE=3 cm。

【分析】
解题时可分两小问逐步推导：
(1)求∠E的度数：首先利用等边三角形的内角性质得到∠ACB的度数，再由CE=CD可知△CDE是等腰三角形，可得∠E=∠CDE，最后结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，建立∠ACB和∠E的数量关系，即可求出∠E的度数。
(2)求CE的长度：已知CE=CD，因此只需先求出CD的长度。BD是等边三角形AC边上的高，根据等腰（等边）三角形三线合一的性质，可得D是AC的中点，结合AC的边长即可求出CD，进而得到CE的长度。
【解析】
(1)
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ACB=60°，
∵ CE=CD，
∴ ∠E=∠CDE，
∵ ∠ACB是△DCE的外角，
∴ ∠ACB=∠E+∠CDE=2∠E，
即2∠E=60°，
∴ ∠E=30°。
(2)
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AC=6 cm，
∵ BD是AC边上的高，由等腰三角形三线合一可得D是AC的中点，
∴ CD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×6=3 cm，
又
∵ CE=CD，
∴ CE=3 cm。
【答案】
(1) $\boldsymbol{30°}$；(2) $\boldsymbol{3\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题属于三角形性质的基础应用题型，解题的核心是理清角、线段之间的数量关系，熟练掌握等边三角形的特征、三线合一、等腰三角形等边对等角以及三角形外角的性质，就能快速求解。
【难度系数】
0.8

3. 如图6,在△ABC中,AB=AC=10厘米,BC=8厘米,D为AB的中点,如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由点B向点C运动,同时,点Q在线段CA上由点C向点A运动.
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等?说明理由;
(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少厘米/秒时,能够使△BPD与△CQP全等?

解：
(1) $△ BPD ≌ △ CQP$，理由如下：
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ B = ∠ C$。
当$t=1$秒时，$BP=3 × 1 = 3$厘米，$CQ=3 × 1 = 3$厘米，
$\therefore BP=CQ$。
$\because BC=8$厘米，
$\therefore PC=BC - BP = 8 - 3 = 5$厘米。
又$\because D$为$AB$的中点，$AB=10$厘米，
$\therefore BD=\frac{1}{2}AB=5$厘米，
$\therefore BD=PC$。
在$△ BPD$和$△ CQP$中，
$\begin{cases}BP=CQ \\∠ B = ∠ C \\BD=CP\end{cases}$
$\therefore △ BPD ≌ △ CQP(\mathrm{SAS})$。
(2) $\because$ 点$Q$的运动速度与点$P$的运动速度不相等，
$\therefore BP ≠ CQ$。
又$\because ∠ B = ∠ C$，若$△ BPD$与$△ CQP$全等，
则只能满足$BP=CP$，$BD=CQ$。
$\because BP + CP = BC = 8$厘米，
$\therefore BP=CP=4$厘米，
$\therefore$ 运动时间$t = \frac{BP}{3} = \frac{4}{3}$秒。
$\because BD=5$厘米，
$\therefore CQ=BD=5$厘米，
$\therefore$ 点$Q$的运动速度为$\frac{CQ}{t} = 5 ÷ \frac{4}{3} = \frac{15}{4}$厘米/秒。
答：当点$Q$的运动速度为$\frac{15}{4}$厘米/秒时，$△ BPD$与$△ CQP$全等。

【分析】
(1) 要判断t=1秒时△BPD与△CQP是否全等，首先由等腰三角形AB=AC可得∠B=∠C，先计算t=1时BP、CQ的长度，再求出PC的长度，结合D是AB中点得到BD的长度，最后验证是否满足全等三角形的SAS判定条件即可。
(2) 因为Q和P的运动速度不相等，所以BP≠CQ，结合∠B=∠C，若两个三角形全等，只能是BP对应CP、BD对应CQ，先根据BC的长度求出BP的长度，进而得到运动时间t，再根据CQ=BD求出Q的运动速度即可。
【解析】
(1) $△ BPD ≌ △ CQP$，理由如下：
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ B = ∠ C$。
当$t=1$秒时，$BP=3 × 1 = 3$厘米，$CQ=3 × 1 = 3$厘米，
$\therefore BP=CQ$。
$\because BC=8$厘米，
$\therefore PC=BC - BP = 8 - 3 = 5$厘米。
又$\because D$为$AB$的中点，$AB=10$厘米，
$\therefore BD=\frac{1}{2}AB=5$厘米，
$\therefore BD=PC$。
在$△ BPD$和$△ CQP$中，
$\begin{cases}BP=CQ \\∠ B = ∠ C \\BD=CP\end{cases}$
$\therefore △ BPD ≌ △ CQP(\mathrm{SAS})$。
(2) $\because$ 点$Q$的运动速度与点$P$的运动速度不相等，
$\therefore BP ≠ CQ$。
又$\because ∠ B = ∠ C$，若$△ BPD$与$△ CQP$全等，
则只能满足$BP=CP$，$BD=CQ$。
$\because BP + CP = BC = 8$厘米，
$\therefore BP=CP=4$厘米，
$\therefore$ 运动时间$t = \frac{BP}{3} = \frac{4}{3}$秒。
$\because BD=5$厘米，
$\therefore CQ=BD=5$厘米，
$\therefore$ 点$Q$的运动速度为$\frac{CQ}{t} = 5 ÷ \frac{4}{3} = \frac{15}{4}$厘米/秒。
【答案】
(1) $△ BPD ≌ △ CQP$，理由见解析；
(2) $\frac{15}{4}$厘米/秒
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定，动点问题计算
【点评】
本题是等腰三角形与全等三角形结合的动点类题型，解题核心是结合全等的判定条件对对应边进行分类讨论，第二问需要根据速度不等的限制排除不符合的对应情况，考查分类讨论思想和基础运算能力。
【难度系数】
0.65