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1.(2025·云南)若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为$90°$，母线长为40 cm，则该圆锥的底面圆的半径为（
A.9 cm
B.10 cm
C.11 cm
D.12 cm
B
）A.9 cm
B.10 cm
C.11 cm
D.12 cm
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确圆锥侧面展开图的性质：圆锥侧面展开后是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。解题时先根据弧长公式算出侧面展开扇形的弧长，再利用弧长等于底面周长的关系列等式，即可求出底面圆的半径。
【解析】
设该圆锥的底面圆半径为$ r $ cm。
1. 计算侧面展开扇形的弧长：
弧长公式为$ l=\frac{nπ R}{180} $（其中$ n $为圆心角度数，$ R $为扇形半径即圆锥母线长），代入已知条件$ n=90° $，$ R=40\mathrm{cm} $，得：
$ l=\frac{90π × 40}{180}=20π \, \mathrm{cm} $
2. 根据圆锥侧面展开扇形弧长等于底面圆周长列方程：
底面圆周长公式为$ C=2π r $，因此有：
$ 2π r=20π $
两边同时除以$ 2π $，解得$ r=10 $。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面展开图特征；弧长计算；圆的周长计算
【点评】
本题属于圆锥相关的基础常规题，解题的核心是抓住圆锥侧面展开扇形与底面圆的对应关系，熟记弧长、圆周长公式即可快速作答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确圆锥侧面展开图的性质：圆锥侧面展开后是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。解题时先根据弧长公式算出侧面展开扇形的弧长，再利用弧长等于底面周长的关系列等式，即可求出底面圆的半径。
【解析】
设该圆锥的底面圆半径为$ r $ cm。
1. 计算侧面展开扇形的弧长：
弧长公式为$ l=\frac{nπ R}{180} $（其中$ n $为圆心角度数，$ R $为扇形半径即圆锥母线长），代入已知条件$ n=90° $，$ R=40\mathrm{cm} $，得：
$ l=\frac{90π × 40}{180}=20π \, \mathrm{cm} $
2. 根据圆锥侧面展开扇形弧长等于底面圆周长列方程：
底面圆周长公式为$ C=2π r $，因此有：
$ 2π r=20π $
两边同时除以$ 2π $，解得$ r=10 $。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面展开图特征；弧长计算；圆的周长计算
【点评】
本题属于圆锥相关的基础常规题，解题的核心是抓住圆锥侧面展开扇形与底面圆的对应关系，熟记弧长、圆周长公式即可快速作答。
【难度系数】
0.8
2.(2025·宿迁宿城区期末)若一个圆锥的母线长为4，它的侧面展开图的圆心角为$90°$，则这个圆锥的底面圆面积为
π
。答案
2.π
解析
【分析】
解决本题的核心是利用圆锥侧面展开图的等量关系：圆锥侧面展开得到的扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。解题思路可分为三步：第一步根据已知的母线长（即扇形半径）和侧面展开图的圆心角，利用扇形弧长公式计算弧长；第二步将弧长等价为圆锥底面圆的周长，计算底面圆的半径；第三步利用圆的面积公式计算底面圆的面积。
【解析】
解：设圆锥的底面圆半径为$ r $。
∵ 圆锥的母线长为4，即侧面展开扇形的半径$ R=4 $，侧面展开图的圆心角为$ 90° $
∴ 扇形的弧长为：
$ l=\frac{nπ R}{180}=\frac{90π × 4}{180}=2π $
∵ 圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长
∴ $ 2π r = 2π $
解得：$ r=1 $
∴ 圆锥的底面圆面积为：
$ S=π r^2=π × 1^2=π $
【答案】
$π$
【知识点】
圆锥侧面展开图的性质；弧长计算公式；圆的面积计算
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础常考题型，解题的关键是牢记圆锥侧面展开图与圆锥各部分的对应等量关系，熟练运用相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是利用圆锥侧面展开图的等量关系：圆锥侧面展开得到的扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。解题思路可分为三步：第一步根据已知的母线长（即扇形半径）和侧面展开图的圆心角，利用扇形弧长公式计算弧长；第二步将弧长等价为圆锥底面圆的周长，计算底面圆的半径；第三步利用圆的面积公式计算底面圆的面积。
【解析】
解：设圆锥的底面圆半径为$ r $。
∵ 圆锥的母线长为4，即侧面展开扇形的半径$ R=4 $，侧面展开图的圆心角为$ 90° $
∴ 扇形的弧长为：
$ l=\frac{nπ R}{180}=\frac{90π × 4}{180}=2π $
∵ 圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长
∴ $ 2π r = 2π $
解得：$ r=1 $
∴ 圆锥的底面圆面积为：
$ S=π r^2=π × 1^2=π $
【答案】
$π$
【知识点】
圆锥侧面展开图的性质；弧长计算公式；圆的面积计算
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础常考题型，解题的关键是牢记圆锥侧面展开图与圆锥各部分的对应等量关系，熟练运用相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3.(2025·宿迁)已知圆锥的底面半径为3，高为4，则其侧面积为
15π
。答案
3.15π
解析
【分析】
要计算圆锥的侧面积，首先回忆圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π rl$，其中$r$是底面半径，$l$是圆锥的母线长。题目已经给出底面半径$r=3$，缺少母线长$l$；而圆锥的母线、底面半径、高恰好构成直角三角形，母线为斜边，因此可以先用勾股定理求出母线长，再代入侧面积公式即可得到结果。
【解析】
步骤1：求圆锥的母线长
已知圆锥底面半径$r=3$，高$h=4$，由勾股定理可得母线长：
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$
步骤2：计算圆锥侧面积
根据圆锥侧面积公式$S_{侧}=π rl$，代入$r=3$，$l=5$得：
$S_{侧}=π×3×5=15π$
【答案】
$15π$
【知识点】
1. 圆锥侧面积公式
2. 勾股定理
3. 圆锥结构特征
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础题型，核心考查圆锥各参数之间的关联，只要熟练掌握圆锥母线、底面半径、高的直角三角形关系，以及侧面积计算公式，就能顺利解题，是圆锥侧面积模块的常规考法。
【难度系数】
0.8
要计算圆锥的侧面积，首先回忆圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π rl$，其中$r$是底面半径，$l$是圆锥的母线长。题目已经给出底面半径$r=3$，缺少母线长$l$；而圆锥的母线、底面半径、高恰好构成直角三角形，母线为斜边，因此可以先用勾股定理求出母线长，再代入侧面积公式即可得到结果。
【解析】
步骤1：求圆锥的母线长
已知圆锥底面半径$r=3$，高$h=4$，由勾股定理可得母线长：
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$
步骤2：计算圆锥侧面积
根据圆锥侧面积公式$S_{侧}=π rl$，代入$r=3$，$l=5$得：
$S_{侧}=π×3×5=15π$
【答案】
$15π$
【知识点】
1. 圆锥侧面积公式
2. 勾股定理
3. 圆锥结构特征
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础题型，核心考查圆锥各参数之间的关联，只要熟练掌握圆锥母线、底面半径、高的直角三角形关系，以及侧面积计算公式，就能顺利解题，是圆锥侧面积模块的常规考法。
【难度系数】
0.8
4.(2025·宿迁沭阳县期末)用一个圆心角为$120°$,半径为12的扇形作一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面半径为
4
.答案
4.4
解析
【分析】要解决这个问题，首先要明确圆锥侧面展开图的特征：圆锥的侧面展开为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。解题时先利用弧长公式算出扇形的弧长，再根据弧长和底面周长相等的等量关系，列方程求解圆锥的底面半径即可。
【解析】
第一步：计算扇形的弧长，弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径）。
已知圆心角$n=120°$，扇形半径$R=12$，代入得：
$l=\frac{120×π×12}{180}=8π$
第二步：设圆锥的底面半径为$r$，圆锥底面圆的周长为$C=2π r$。
根据扇形弧长等于圆锥底面周长，可得：
$2π r=8π$
两边同时除以$2π$，解得$r=4$。
【答案】4
【知识点】圆锥侧面展开特征；弧长计算公式；圆的周长公式
【点评】本题是扇形与圆锥结合的基础题型，解题核心是抓住“扇形弧长=圆锥底面周长”这一不变的等量关系，是该模块的常考基础题型。
【难度系数】0.8
【解析】
第一步：计算扇形的弧长，弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径）。
已知圆心角$n=120°$，扇形半径$R=12$，代入得：
$l=\frac{120×π×12}{180}=8π$
第二步：设圆锥的底面半径为$r$，圆锥底面圆的周长为$C=2π r$。
根据扇形弧长等于圆锥底面周长，可得：
$2π r=8π$
两边同时除以$2π$，解得$r=4$。
【答案】4
【知识点】圆锥侧面展开特征；弧长计算公式；圆的周长公式
【点评】本题是扇形与圆锥结合的基础题型，解题核心是抓住“扇形弧长=圆锥底面周长”这一不变的等量关系，是该模块的常考基础题型。
【难度系数】0.8
5. 已知圆锥的底面圆的半径为 3，母线长为 12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为
90
°.答案
5.90
解析
【分析】
解决本题的核心是抓住圆锥侧面展开图的等量关系：圆锥底面圆的周长等于其侧面展开扇形的弧长。首先计算底面圆的周长，再结合扇形弧长公式，将已知的母线长（即展开扇形的半径）代入，建立关于圆心角度数的方程求解即可。
【解析】
设侧面展开扇形的圆心角的度数为$n°$。
1. 计算圆锥底面圆的周长：
根据圆的周长公式$C=2π r$，已知底面半径$r=3$，可得底面周长$C=2π×3=6π$。
2. 利用等量关系列方程：
圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆周长，扇形弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$R$为扇形半径，即圆锥母线长），已知母线长$R=12$，弧长$l=6π$，因此列方程：
$\frac{nπ×12}{180}=6π$
3. 解方程：
两边同时约去$π$，得$\frac{12n}{180}=6$，化简得$12n=1080$，解得$n=90$。
【答案】
90
【知识点】
圆锥侧面展开图性质、弧长公式、圆的周长计算
【点评】
本题是圆锥相关的基础题型，解题的关键是明确圆锥与侧面展开扇形各量的对应关系，牢记底面周长等于展开扇形弧长的核心等量关系，熟练掌握弧长公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是抓住圆锥侧面展开图的等量关系：圆锥底面圆的周长等于其侧面展开扇形的弧长。首先计算底面圆的周长，再结合扇形弧长公式，将已知的母线长（即展开扇形的半径）代入，建立关于圆心角度数的方程求解即可。
【解析】
设侧面展开扇形的圆心角的度数为$n°$。
1. 计算圆锥底面圆的周长：
根据圆的周长公式$C=2π r$，已知底面半径$r=3$，可得底面周长$C=2π×3=6π$。
2. 利用等量关系列方程：
圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆周长，扇形弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$R$为扇形半径，即圆锥母线长），已知母线长$R=12$，弧长$l=6π$，因此列方程：
$\frac{nπ×12}{180}=6π$
3. 解方程：
两边同时约去$π$，得$\frac{12n}{180}=6$，化简得$12n=1080$，解得$n=90$。
【答案】
90
【知识点】
圆锥侧面展开图性质、弧长公式、圆的周长计算
【点评】
本题是圆锥相关的基础题型，解题的关键是明确圆锥与侧面展开扇形各量的对应关系，牢记底面周长等于展开扇形弧长的核心等量关系，熟练掌握弧长公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
6.如图,在△ABC中,AB=4,AC=2√2,∠B=30°,0°＜∠C＜90°.
(1)求点A到直线BC的距离以及BC的长；
(2)将△ABC绕线段BC所在直线旋转一周,求所得几何体的表面积.
(1)求点A到直线BC的距离以及BC的长；
(2)将△ABC绕线段BC所在直线旋转一周,求所得几何体的表面积.
答案
6.解:(1)如答图,作$AD⊥BC$于点D.
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$\because ∠ B=30°,\therefore AD=\frac{1}{2}AB=2.$
根据勾股定理,得$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=2\sqrt{3}.$
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,$CD=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-2^2}=2,$
$\therefore BC=BD+CD=2\sqrt{3}+2.$
(2)将$△ ABC$绕线段$BC$所在直线旋转一周,所得几何体的表面积为$\frac{1}{2} × 2π × 2 × 4+\frac{1}{2} × 2π × 2 × 2\sqrt{2}=8π+4\sqrt{2}π.$
解析
【分析】
(1) 求点A到直线BC的距离，首先想到过A作BC的垂线段AD构造直角三角形。已知∠B=30°、AB=4，可利用直角三角形30°角所对直角边是斜边一半的性质直接求出AD，再分别在两个直角三角形中用勾股定理计算BD、CD的长度，二者相加即可得到BC的长。
(2) △ABC绕BC旋转一周得到的是两个底面重合的圆锥，几何体的表面积为两个圆锥侧面积的和。回忆圆锥侧面积公式，确定底面半径为AD的长度，母线长分别为AB、AC，代入公式计算即可。
【解析】
(1) 如答图，作$AD⊥BC$于点D。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\because ∠ B=30°,AB=4$，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=2$。
根据勾股定理，得$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AC=2\sqrt{2},AD=2$，
$\therefore CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-2^2}=2$，
$\therefore BC=BD+CD=2\sqrt{3}+2$。
(2) 将$△ ABC$绕线段$BC$所在直线旋转一周，所得几何体为两个同底的圆锥，底面半径为AD=2，母线长分别为AB=4、$AC=2\sqrt{2}$。
根据圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，几何体的表面积为两个圆锥侧面积之和：
$S=\frac{1}{2} × 2π × 2 × 4+\frac{1}{2} × 2π × 2 × 2\sqrt{2}=8π+4\sqrt{2}π$。
【答案】
(1) 点A到直线BC的距离为2，BC的长为$2\sqrt{3}+2$；
(2) 所得几何体的表面积为$8π+4\sqrt{2}π$。
【知识点】
直角三角形30°角性质；勾股定理；圆锥侧面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，将三角形性质和旋转体表面积计算结合考查，解题的关键是正确作辅助线构造直角三角形，准确判断旋转后几何体的组成，侧重考查基础知识点的整合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求点A到直线BC的距离，首先想到过A作BC的垂线段AD构造直角三角形。已知∠B=30°、AB=4，可利用直角三角形30°角所对直角边是斜边一半的性质直接求出AD，再分别在两个直角三角形中用勾股定理计算BD、CD的长度，二者相加即可得到BC的长。
(2) △ABC绕BC旋转一周得到的是两个底面重合的圆锥，几何体的表面积为两个圆锥侧面积的和。回忆圆锥侧面积公式，确定底面半径为AD的长度，母线长分别为AB、AC，代入公式计算即可。
【解析】
(1) 如答图，作$AD⊥BC$于点D。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\because ∠ B=30°,AB=4$，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=2$。
根据勾股定理，得$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AC=2\sqrt{2},AD=2$，
$\therefore CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-2^2}=2$，
$\therefore BC=BD+CD=2\sqrt{3}+2$。
(2) 将$△ ABC$绕线段$BC$所在直线旋转一周，所得几何体为两个同底的圆锥，底面半径为AD=2，母线长分别为AB=4、$AC=2\sqrt{2}$。
根据圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，几何体的表面积为两个圆锥侧面积之和：
$S=\frac{1}{2} × 2π × 2 × 4+\frac{1}{2} × 2π × 2 × 2\sqrt{2}=8π+4\sqrt{2}π$。
【答案】
(1) 点A到直线BC的距离为2，BC的长为$2\sqrt{3}+2$；
(2) 所得几何体的表面积为$8π+4\sqrt{2}π$。
【知识点】
直角三角形30°角性质；勾股定理；圆锥侧面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，将三角形性质和旋转体表面积计算结合考查，解题的关键是正确作辅助线构造直角三角形，准确判断旋转后几何体的组成，侧重考查基础知识点的整合运用能力。
【难度系数】
0.7
7.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍,则这个圆锥的母线长$l$与底面半径$r$的关系为 （
A.$l=r$
B.$l=\sqrt{2}r$
C.$l=2r$
D.$l=\sqrt{3}r$
C
）A.$l=r$
B.$l=\sqrt{2}r$
C.$l=2r$
D.$l=\sqrt{3}r$
答案
7.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆圆锥的底面积和侧面积的计算公式，再根据题目给出的“侧面积是底面积的2倍”这一数量关系，列出等式后化简，就能得到母线长$l$和底面半径$r$的关系。
【解析】
1. 写出对应面积公式：
圆锥的底面积公式为 $S_{底}=π r^2$；
圆锥的侧面积公式为 $S_{侧}=π r l$（$l$为母线长，$r$为底面半径）。
2. 根据题意列等式：
已知侧面积是底面积的2倍，可得：
$π r l = 2× π r^2$
3. 化简等式：
因为底面半径$r≠0$，等式两边同时除以$π r$，可得：
$l=2r$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 圆锥侧面积计算 2. 圆的面积计算
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查圆锥相关面积公式的掌握情况，只需结合题干给出的倍数关系列等式化简即可得出结论，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要回忆圆锥的底面积和侧面积的计算公式，再根据题目给出的“侧面积是底面积的2倍”这一数量关系，列出等式后化简，就能得到母线长$l$和底面半径$r$的关系。
【解析】
1. 写出对应面积公式：
圆锥的底面积公式为 $S_{底}=π r^2$；
圆锥的侧面积公式为 $S_{侧}=π r l$（$l$为母线长，$r$为底面半径）。
2. 根据题意列等式：
已知侧面积是底面积的2倍，可得：
$π r l = 2× π r^2$
3. 化简等式：
因为底面半径$r≠0$，等式两边同时除以$π r$，可得：
$l=2r$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 圆锥侧面积计算 2. 圆的面积计算
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查圆锥相关面积公式的掌握情况，只需结合题干给出的倍数关系列等式化简即可得出结论，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
8.(2025·宿迁宿城区二模)从一张圆形纸片上剪出一个小圆形和一个扇形分别作为圆锥的底面和侧面,其中小圆的直径是大圆的半径.下列剪法恰好能配成一个圆锥的是 (
D
)答案
8.D
解析
【分析】
要判断哪种剪法能配成圆锥，核心依据是：圆锥侧面展开图（扇形）的弧长等于圆锥底面圆的周长。我们可以先设大圆半径为R，结合“小圆直径是大圆半径”的条件，先计算出作为底面的小圆的周长，再根据弧长公式求出满足等量关系的扇形圆心角，对应选项即可。
【解析】
设大圆的半径为$ R $，由题意得小圆的直径为$ R $，因此小圆的半径$ r=\frac{R}{2} $。
1. 计算底面小圆的周长：
$ C_{\mathrm{底}}=2π r=2π×\frac{R}{2}=π R $
2. 设符合要求的扇形圆心角为$ n° $，扇形的半径等于大圆半径$ R $，根据弧长公式，扇形弧长为：
$ l_{\mathrm{扇}}=\frac{nπ R}{180} $
3. 配成圆锥需要满足扇形弧长等于底面圆周长，列等式：
$ \frac{nπ R}{180}=π R $
两边同时约去$ π R $，解得$ n=180 $，即圆心角为$ 180° $的扇形符合要求。
【答案】
D
【知识点】
圆锥展开图性质、弧长计算、圆的周长计算
【点评】
本题属于基础应用型题目，解题关键是抓住“圆锥侧面扇形弧长与底面圆周长相等”的核心等量关系，通过设参数列式即可快速求解，是圆与圆锥相关计算的典型考法。
【难度系数】
0.7
要判断哪种剪法能配成圆锥，核心依据是：圆锥侧面展开图（扇形）的弧长等于圆锥底面圆的周长。我们可以先设大圆半径为R，结合“小圆直径是大圆半径”的条件，先计算出作为底面的小圆的周长，再根据弧长公式求出满足等量关系的扇形圆心角，对应选项即可。
【解析】
设大圆的半径为$ R $，由题意得小圆的直径为$ R $，因此小圆的半径$ r=\frac{R}{2} $。
1. 计算底面小圆的周长：
$ C_{\mathrm{底}}=2π r=2π×\frac{R}{2}=π R $
2. 设符合要求的扇形圆心角为$ n° $，扇形的半径等于大圆半径$ R $，根据弧长公式，扇形弧长为：
$ l_{\mathrm{扇}}=\frac{nπ R}{180} $
3. 配成圆锥需要满足扇形弧长等于底面圆周长，列等式：
$ \frac{nπ R}{180}=π R $
两边同时约去$ π R $，解得$ n=180 $，即圆心角为$ 180° $的扇形符合要求。
【答案】
D
【知识点】
圆锥展开图性质、弧长计算、圆的周长计算
【点评】
本题属于基础应用型题目，解题关键是抓住“圆锥侧面扇形弧长与底面圆周长相等”的核心等量关系，通过设参数列式即可快速求解，是圆与圆锥相关计算的典型考法。
【难度系数】
0.7
