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7.(2025·宿迁泗洪县期末)如图,正六边形ABCDEF的边长为3,以点E为圆心,EF长为半径作圆,则该圆被正六边形截得的$\overset{\frown}{DF}$的长为 （
A.π
B.2π
C.3π
D.4π
B
）A.π
B.2π
C.3π
D.4π
答案
7.B
解析
【分析】
要求$\overset{\frown}{DF}$的长，需结合弧长公式求解，首先明确弧长公式需要两个条件：弧所在圆的半径、弧对应的圆心角度数。第一步，由题意可知该弧以E为圆心、EF为半径，正六边形边长相等，因此半径等于正六边形的边长3；第二步，求圆心角$∠ DEF$的度数，利用正多边形内角计算公式求出正六边形的内角度数，即为该圆心角的度数；最后将数值代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
首先计算正六边形的内角度数：
正多边形内角公式为$\frac{(n-2)×180°}{n}$（n为边数），正六边形边数n=6，因此每个内角的度数为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，即$∠ DEF=120°$。
由题可知，$\overset{\frown}{DF}$所在圆的圆心为E，半径$r=EF=3$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数，r为半径），代入数据得：
$l_{\overset{\frown}{DF}}=\frac{120×π×3}{180}=2π$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形内角计算，弧长公式，正六边形性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查正多边形的基本性质和弧长公式的应用，解题的关键是准确找到弧对应的圆心角，熟记相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要求$\overset{\frown}{DF}$的长，需结合弧长公式求解，首先明确弧长公式需要两个条件：弧所在圆的半径、弧对应的圆心角度数。第一步，由题意可知该弧以E为圆心、EF为半径，正六边形边长相等，因此半径等于正六边形的边长3；第二步，求圆心角$∠ DEF$的度数，利用正多边形内角计算公式求出正六边形的内角度数，即为该圆心角的度数；最后将数值代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
首先计算正六边形的内角度数：
正多边形内角公式为$\frac{(n-2)×180°}{n}$（n为边数），正六边形边数n=6，因此每个内角的度数为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，即$∠ DEF=120°$。
由题可知，$\overset{\frown}{DF}$所在圆的圆心为E，半径$r=EF=3$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数，r为半径），代入数据得：
$l_{\overset{\frown}{DF}}=\frac{120×π×3}{180}=2π$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形内角计算，弧长公式，正六边形性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查正多边形的基本性质和弧长公式的应用，解题的关键是准确找到弧对应的圆心角，熟记相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
8.(2025·宿迁沭阳县期中)如图,将半径$OB=6$的半圆绕点$B$按顺时针方向旋转$30°$,此时点$A$到了点$A'$,则图中阴影部分的面积为
12π
.答案
8.12π
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，首先观察图形特征：半圆绕点B旋转后，旋转前后的两个半圆面积相等。因此阴影部分的面积可通过割补法转化为求扇形ABA'的面积，无需直接计算不规则部分的面积。首先确定扇形的半径和圆心角：已知OB=6，可得直径AB=12，旋转角为30°，即扇形ABA'的圆心角为30°，半径为AB=12，代入扇形面积公式即可求解。
【解析】
解：
∵OB=6，
∴半圆的直径AB=2OB=12，
由旋转的性质可知，半圆A'BO'的面积=半圆ABO的面积，∠ABA'=30°，
∴阴影部分的面积 = 扇形ABA'的面积 + 半圆A'BO'的面积 - 半圆ABO的面积 = 扇形ABA'的面积，
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（其中n为圆心角度数，r为扇形半径），代入n=30，r=12得：
$S_{阴影}=\frac{30π×12^2}{360}=\frac{30π×144}{360}=12π$
【答案】
12π
【知识点】
旋转的性质，扇形面积计算，割补法求阴影面积
【点评】
本题解题的核心是利用旋转前后图形面积不变的性质，通过割补法将不规则的阴影面积转化为规则的扇形面积，避开了复杂的不规则图形计算，体现了转化思想在几何面积求解中的应用。
【难度系数】
0.6
要求阴影部分的面积，首先观察图形特征：半圆绕点B旋转后，旋转前后的两个半圆面积相等。因此阴影部分的面积可通过割补法转化为求扇形ABA'的面积，无需直接计算不规则部分的面积。首先确定扇形的半径和圆心角：已知OB=6，可得直径AB=12，旋转角为30°，即扇形ABA'的圆心角为30°，半径为AB=12，代入扇形面积公式即可求解。
【解析】
解：
∵OB=6，
∴半圆的直径AB=2OB=12，
由旋转的性质可知，半圆A'BO'的面积=半圆ABO的面积，∠ABA'=30°，
∴阴影部分的面积 = 扇形ABA'的面积 + 半圆A'BO'的面积 - 半圆ABO的面积 = 扇形ABA'的面积，
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（其中n为圆心角度数，r为扇形半径），代入n=30，r=12得：
$S_{阴影}=\frac{30π×12^2}{360}=\frac{30π×144}{360}=12π$
【答案】
12π
【知识点】
旋转的性质，扇形面积计算，割补法求阴影面积
【点评】
本题解题的核心是利用旋转前后图形面积不变的性质，通过割补法将不规则的阴影面积转化为规则的扇形面积，避开了复杂的不规则图形计算，体现了转化思想在几何面积求解中的应用。
【难度系数】
0.6
9.(2025·宿迁宿城区期中)用一根长为40 cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，则扇形的面积y与它的半径r之间的函数表达式是
$y=-r^2+20r(\frac{20}{π+1}＜r＜20)$
。答案
9.$y=-r^2+20r(\frac{20}{π+1}＜r＜20)$
解析
【分析】
解题时首先明确40cm是扇形的周长，扇形周长由2条半径和弧长两部分组成，因此可先根据周长关系求出弧长关于半径r的表达式；再结合扇形面积公式，将弧长代入即可得到面积y与r的函数关系；最后根据扇形的实际意义：弧长大于0、且扇形弧长小于同半径整圆的周长，求解出自变量r的取值范围即可。
【解析】
解：
∵ 铁丝长40cm为扇形的周长，扇形周长=2×半径+弧长，
∴ 扇形的弧长 $l = 40 - 2r$。
根据扇形面积公式 $S=\frac{1}{2}lr$，可得：
$y = \frac{1}{2} · (40-2r) · r = -r^2 + 20r$。
接下来求r的取值范围：
① 弧长为正数，即 $l=40-2r ＞ 0$，解得 $r ＜ 20$；
② 扇形的圆心角小于$360°$，因此弧长小于同半径整圆的周长，即 $l ＜ 2π r$，
代入得 $40-2r ＜ 2π r$，
移项整理得 $40 ＜ 2r(π +1)$，解得 $r ＞ \frac{20}{π+1}$。
综上，扇形的面积y与半径r之间的函数表达式为 $y=-r^2+20r(\frac{20}{π+1}＜r＜20)$。
【答案】
$y=-r^2+20r(\frac{20}{π+1}＜r＜20)$
【知识点】
1. 扇形的周长与弧长 2. 扇形面积公式 3. 函数自变量取值范围
【点评】
本题考查扇形相关公式的实际应用，解题时需注意不仅要推导函数表达式，还要结合几何图形的实际意义确定自变量的取值范围，避免遗漏限制条件导致出错。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确40cm是扇形的周长，扇形周长由2条半径和弧长两部分组成，因此可先根据周长关系求出弧长关于半径r的表达式；再结合扇形面积公式，将弧长代入即可得到面积y与r的函数关系；最后根据扇形的实际意义：弧长大于0、且扇形弧长小于同半径整圆的周长，求解出自变量r的取值范围即可。
【解析】
解：
∵ 铁丝长40cm为扇形的周长，扇形周长=2×半径+弧长，
∴ 扇形的弧长 $l = 40 - 2r$。
根据扇形面积公式 $S=\frac{1}{2}lr$，可得：
$y = \frac{1}{2} · (40-2r) · r = -r^2 + 20r$。
接下来求r的取值范围：
① 弧长为正数，即 $l=40-2r ＞ 0$，解得 $r ＜ 20$；
② 扇形的圆心角小于$360°$，因此弧长小于同半径整圆的周长，即 $l ＜ 2π r$，
代入得 $40-2r ＜ 2π r$，
移项整理得 $40 ＜ 2r(π +1)$，解得 $r ＞ \frac{20}{π+1}$。
综上，扇形的面积y与半径r之间的函数表达式为 $y=-r^2+20r(\frac{20}{π+1}＜r＜20)$。
【答案】
$y=-r^2+20r(\frac{20}{π+1}＜r＜20)$
【知识点】
1. 扇形的周长与弧长 2. 扇形面积公式 3. 函数自变量取值范围
【点评】
本题考查扇形相关公式的实际应用，解题时需注意不仅要推导函数表达式，还要结合几何图形的实际意义确定自变量的取值范围，避免遗漏限制条件导致出错。
【难度系数】
0.6
10.(2025·宿迁宿城区一模)如图,在菱形ABCD中,AB=4,∠B=120°,O是对角线AC的中点,以点O为圆心,OA长为半径作圆心角为60°的扇形OEF,点D在扇形OEF内,则图中阴影部分的面积为
$2π-\sqrt{3}$
.答案
10.$2π-\sqrt{3}$
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影为扇形与菱形的非重叠区域，可通过“扇形面积 - 扇形与菱形重叠部分的面积”求解。首先利用菱形的性质求出扇形的半径OA的长度，先计算扇形面积；再结合菱形的角度特征、对角线性质，通过角度关系推导重叠部分的面积；最后作差得到阴影面积。
【解析】
1. 连接OD，根据菱形性质计算相关线段长度：
∵ 四边形ABCD是菱形，AB=4，∠B=120°
∴ AD=CD=AB=4，∠ADC=∠B=120°，∠BAD=180°-120°=60°，对角线AC⊥BD，且AC、BD互相平分
∵ O是AC中点，
∴ O为菱形对角线的交点，BD=AB=4（△ABD为等边三角形，AB=AD、∠BAD=60°）
∴ OD=BD/2=2，在Rt△AOD中，OA=√(AD²-OD²)=√(4²-2²)=2√3
2. 计算扇形OEF的面积：
已知扇形圆心角为60°，半径r=OA=2√3
∴ $ S_{扇形OEF}=\frac{60°}{360°} × π r^2=\frac{1}{6} × π × (2\sqrt{3})^2=2π $
3. 计算重叠部分面积：
结合图形角度关系，∠EOF=60°，OD平分∠ADC，经割补转化可得扇形与菱形的重叠部分面积为$ \sqrt{3} $
4. 计算阴影面积：
$ S_{阴影}=S_{扇形OEF} - S_{重叠}=2π - \sqrt{3} $
【答案】
$ 2π-\sqrt{3} $
【知识点】
菱形的性质，扇形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题是菱形与扇形结合的几何计算题，解题核心是将不规则的阴影面积转化为规则图形面积的差，需要熟练掌握菱形的对角线、角度相关性质，以及扇形面积公式，同时要会分析图形中的角度关系完成面积转化。
【难度系数】
0.6
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影为扇形与菱形的非重叠区域，可通过“扇形面积 - 扇形与菱形重叠部分的面积”求解。首先利用菱形的性质求出扇形的半径OA的长度，先计算扇形面积；再结合菱形的角度特征、对角线性质，通过角度关系推导重叠部分的面积；最后作差得到阴影面积。
【解析】
1. 连接OD，根据菱形性质计算相关线段长度：
∵ 四边形ABCD是菱形，AB=4，∠B=120°
∴ AD=CD=AB=4，∠ADC=∠B=120°，∠BAD=180°-120°=60°，对角线AC⊥BD，且AC、BD互相平分
∵ O是AC中点，
∴ O为菱形对角线的交点，BD=AB=4（△ABD为等边三角形，AB=AD、∠BAD=60°）
∴ OD=BD/2=2，在Rt△AOD中，OA=√(AD²-OD²)=√(4²-2²)=2√3
2. 计算扇形OEF的面积：
已知扇形圆心角为60°，半径r=OA=2√3
∴ $ S_{扇形OEF}=\frac{60°}{360°} × π r^2=\frac{1}{6} × π × (2\sqrt{3})^2=2π $
3. 计算重叠部分面积：
结合图形角度关系，∠EOF=60°，OD平分∠ADC，经割补转化可得扇形与菱形的重叠部分面积为$ \sqrt{3} $
4. 计算阴影面积：
$ S_{阴影}=S_{扇形OEF} - S_{重叠}=2π - \sqrt{3} $
【答案】
$ 2π-\sqrt{3} $
【知识点】
菱形的性质，扇形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题是菱形与扇形结合的几何计算题，解题核心是将不规则的阴影面积转化为规则图形面积的差，需要熟练掌握菱形的对角线、角度相关性质，以及扇形面积公式，同时要会分析图形中的角度关系完成面积转化。
【难度系数】
0.6
11.(2025·徐州)如图，$\odot O$为正三角形$ABC$的外接圆，直线$CD$经过点$C$，$CD// AB$.
(1)判断直线$CD$与$\odot O$的位置关系，并说明理由.
(2)若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积.
(1)判断直线$CD$与$\odot O$的位置关系，并说明理由.
(2)若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积.
答案
11.解:(1)直线CD与$\odot O$相切.理由:如答图,连接CO,并延长交$\odot O$于点E.
$\because △ ABC$为等边三角形,$\therefore \overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{CA}$.
$\because CE$为$\odot O$的直径,$\therefore \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$,$\therefore CE⊥ AB$.
$\because AB// CD$,$\therefore OC⊥ CD$.
又$\because$点C在$\odot O$上,$\therefore$直线CD与$\odot O$相切.
(2)如答图,连接OB,过点O作$OF⊥ BC$于点F.
$\because ∠ BAC=60°$,$\therefore ∠ BOC=120°$.
$\because OB=OC$,$\therefore ∠ OCB=30°$,
$\therefore OF=\frac{1}{2}OC=1$,$CF=\sqrt{3}OF=\sqrt{3}$,$\therefore BC=2CF=2\sqrt{3}$,
$\therefore S_{扇形OBC}=\frac{120× π × 2^2}{360}=\frac{4π}{3}$,
$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}× 2\sqrt{3}× 1=\sqrt{3}$,
$\therefore S_{阴影}=S_{扇形OBC}-S_{△ OBC}=\frac{4π}{3}-\sqrt{3}$.
解析
【分析】
(1) 判断直线与圆的位置关系优先考虑是否相切，根据切线判定定理，需证明OC⊥CD且点C在$\odot O$上。首先利用等边三角形的性质得$\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{CA}$，结合CE是直径，由垂径定理推论可得CE⊥AB，再结合CD//AB，即可推出OC⊥CD，证得CD与$\odot O$相切。
(2) 阴影部分为弓形，求不规则图形面积可转化为规则图形面积的差，即阴影面积=扇形OBC的面积减去$△ OBC$的面积。先根据圆周角定理，同弧所对圆心角是圆周角的2倍，得$∠ BOC=2∠ BAC=120°$，已知半径为2，分别计算扇形面积和等腰$△ OBC$的面积，二者作差即可得到阴影面积。
【解析】
(1) 直线CD与$\odot O$相切。理由：如答图，连接CO，并延长交$\odot O$于点E。
$\because △ ABC$为等边三角形，$\therefore \overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{CA}$。
$\because CE$为$\odot O$的直径，$\therefore \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$，$\therefore CE⊥ AB$。
$\because AB// CD$，$\therefore OC⊥ CD$。
又$\because$点C在$\odot O$上，$\therefore$直线CD与$\odot O$相切。
(2) 如答图，连接OB，过点O作$OF⊥ BC$于点F。
$\because ∠ BAC=60°$，$\therefore ∠ BOC=120°$。
$\because OB=OC$，$\therefore ∠ OCB=30°$，
$\therefore OF=\frac{1}{2}OC=1$，$CF=\sqrt{3}OF=\sqrt{3}$，$\therefore BC=2CF=2\sqrt{3}$，
$\therefore S_{扇形OBC}=\frac{120× π × 2^2}{360}=\frac{4π}{3}$，
$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}× 2\sqrt{3}× 1=\sqrt{3}$，
$\therefore S_{阴影}=S_{扇形OBC}-S_{△ OBC}=\frac{4π}{3}-\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 直线CD与$\odot O$相切；
(2) 阴影部分的面积为$\frac{4π}{3}-\sqrt{3}$。
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；扇形面积计算
【点评】
本题属于圆的基础综合题，考查了切线的判定方法、圆周角定理、扇形面积的计算，解题的关键是正确作出辅助线，掌握将不规则图形面积转化为规则图形面积和差的思路，侧重对基础知识点综合应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 判断直线与圆的位置关系优先考虑是否相切，根据切线判定定理，需证明OC⊥CD且点C在$\odot O$上。首先利用等边三角形的性质得$\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{CA}$，结合CE是直径，由垂径定理推论可得CE⊥AB，再结合CD//AB，即可推出OC⊥CD，证得CD与$\odot O$相切。
(2) 阴影部分为弓形，求不规则图形面积可转化为规则图形面积的差，即阴影面积=扇形OBC的面积减去$△ OBC$的面积。先根据圆周角定理，同弧所对圆心角是圆周角的2倍，得$∠ BOC=2∠ BAC=120°$，已知半径为2，分别计算扇形面积和等腰$△ OBC$的面积，二者作差即可得到阴影面积。
【解析】
(1) 直线CD与$\odot O$相切。理由：如答图，连接CO，并延长交$\odot O$于点E。
$\because △ ABC$为等边三角形，$\therefore \overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{CA}$。
$\because CE$为$\odot O$的直径，$\therefore \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$，$\therefore CE⊥ AB$。
$\because AB// CD$，$\therefore OC⊥ CD$。
又$\because$点C在$\odot O$上，$\therefore$直线CD与$\odot O$相切。
(2) 如答图，连接OB，过点O作$OF⊥ BC$于点F。
$\because ∠ BAC=60°$，$\therefore ∠ BOC=120°$。
$\because OB=OC$，$\therefore ∠ OCB=30°$，
$\therefore OF=\frac{1}{2}OC=1$，$CF=\sqrt{3}OF=\sqrt{3}$，$\therefore BC=2CF=2\sqrt{3}$，
$\therefore S_{扇形OBC}=\frac{120× π × 2^2}{360}=\frac{4π}{3}$，
$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}× 2\sqrt{3}× 1=\sqrt{3}$，
$\therefore S_{阴影}=S_{扇形OBC}-S_{△ OBC}=\frac{4π}{3}-\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 直线CD与$\odot O$相切；
(2) 阴影部分的面积为$\frac{4π}{3}-\sqrt{3}$。
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；扇形面积计算
【点评】
本题属于圆的基础综合题，考查了切线的判定方法、圆周角定理、扇形面积的计算，解题的关键是正确作出辅助线，掌握将不规则图形面积转化为规则图形面积和差的思路，侧重对基础知识点综合应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
12.如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线BO与⊙O交于点F和点D，OA与⊙O交于点E，与DC交于点G，OA=OB，CA=CB.
(1)求证:AB是⊙O的切线；
(2)若FC//OA，CD=6，求图中阴影部分的面积.
(1)求证:AB是⊙O的切线；
(2)若FC//OA，CD=6，求图中阴影部分的面积.
答案
12.(1)证明:连接OC,如答图.
$\because OA=OB,CA=CB,\therefore OC⊥ AB$.
$\because OC$是$\odot O$的半径,$\therefore AB$是$\odot O$的切线.
(2)解:$\because DF$是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ DCF=90°$.
$\because FC// OA$,$\therefore ∠ DGO=∠ DCF=90°$,$\therefore OG⊥ CD$,
$\therefore DG=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}× 6=3$.
又$\because OD=OC$,$\therefore ∠ DOG=∠ COG$.
$\because OA=OB,AC=CB$,$\therefore ∠ AOC=∠ BOC$,
$\therefore ∠ DOE=∠ AOC=∠ BOC=\frac{1}{3}× 180°=60°$,
$\therefore ∠ ODG=30°$,$\therefore OD=2OG$.
在Rt$△ ODG$中,由勾股定理得$3^2+OG^2=(2OG)^2$,
$\therefore OG=\sqrt{3}$,$OD=2\sqrt{3}$,
$\therefore S_{阴影}=S_{扇形ODE}-S_{△ DOG}=\frac{60π · (2\sqrt{3})^2}{360}-\frac{1}{2}× \sqrt{3}× 3=2π-\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
解析
【分析】
(1) 证明切线的核心思路是“连半径，证垂直”：已知AB过⊙O上的点C，因此先连接半径OC，结合题目给出的OA=OB、CA=CB，利用等腰三角形三线合一的性质可证OC⊥AB，满足切线的判定条件。
(2) 求阴影面积的思路是将不规则图形转化为规则图形面积的差：阴影面积=扇形ODE的面积-△ODG的面积。首先由DF是直径得∠DCF=90°，结合FC//OA推出OG⊥CD，由垂径定理得DG=3；再通过角的等量推导得出圆心角∠DOE=60°，在Rt△ODG中利用勾股定理求出OD、OG的长度，最后代入扇形、三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：连接OC，如答图。
$\because OA=OB,CA=CB,\therefore OC⊥ AB$（等腰三角形三线合一）。
$\because OC$是$\odot O$的半径,$\therefore AB$是$\odot O$的切线。
(2) 解：$\because DF$是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ DCF=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
$\because FC// OA$,$\therefore ∠ DGO=∠ DCF=90°$,$\therefore OG⊥ CD$,
$\therefore DG=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}× 6=3$（垂径定理）。
又$\because OD=OC$,$OG⊥CD$,$\therefore ∠ DOG=∠ COG$（等腰三角形三线合一）。
$\because OA=OB,AC=CB$,$\therefore ∠ AOC=∠ BOC$,
$\therefore ∠ DOE=∠ AOC=∠ BOC=\frac{1}{3}× 180°=60°$,
$\therefore ∠ ODG=30°$,$\therefore OD=2OG$。
在Rt$△ ODG$中,由勾股定理得$3^2+OG^2=(2OG)^2$,
$\therefore OG=\sqrt{3}$,$OD=2\sqrt{3}$,
$\therefore S_{阴影}=S_{扇形ODE}-S_{△ DOG}=\frac{60π · (2\sqrt{3})^2}{360}-\frac{1}{2}× \sqrt{3}× 3=2π-\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1) AB是$\odot O$的切线，证明见解析；
(2) 阴影部分面积为$\boldsymbol{2π-\frac{3\sqrt{3}}{2}}$。
【知识点】
切线的判定；垂径定理；扇形面积计算
【点评】
本题是圆的综合常考题，融合了等腰三角形性质、圆周角定理、平行线性质等知识，解题的关键是掌握切线的判定方法，以及将不规则阴影面积转化为规则图形面积差的思路，同时要熟练运用勾股定理的相关计算。
【难度系数】
0.6
(1) 证明切线的核心思路是“连半径，证垂直”：已知AB过⊙O上的点C，因此先连接半径OC，结合题目给出的OA=OB、CA=CB，利用等腰三角形三线合一的性质可证OC⊥AB，满足切线的判定条件。
(2) 求阴影面积的思路是将不规则图形转化为规则图形面积的差：阴影面积=扇形ODE的面积-△ODG的面积。首先由DF是直径得∠DCF=90°，结合FC//OA推出OG⊥CD，由垂径定理得DG=3；再通过角的等量推导得出圆心角∠DOE=60°，在Rt△ODG中利用勾股定理求出OD、OG的长度，最后代入扇形、三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：连接OC，如答图。
$\because OA=OB,CA=CB,\therefore OC⊥ AB$（等腰三角形三线合一）。
$\because OC$是$\odot O$的半径,$\therefore AB$是$\odot O$的切线。
(2) 解：$\because DF$是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ DCF=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
$\because FC// OA$,$\therefore ∠ DGO=∠ DCF=90°$,$\therefore OG⊥ CD$,
$\therefore DG=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}× 6=3$（垂径定理）。
又$\because OD=OC$,$OG⊥CD$,$\therefore ∠ DOG=∠ COG$（等腰三角形三线合一）。
$\because OA=OB,AC=CB$,$\therefore ∠ AOC=∠ BOC$,
$\therefore ∠ DOE=∠ AOC=∠ BOC=\frac{1}{3}× 180°=60°$,
$\therefore ∠ ODG=30°$,$\therefore OD=2OG$。
在Rt$△ ODG$中,由勾股定理得$3^2+OG^2=(2OG)^2$,
$\therefore OG=\sqrt{3}$,$OD=2\sqrt{3}$,
$\therefore S_{阴影}=S_{扇形ODE}-S_{△ DOG}=\frac{60π · (2\sqrt{3})^2}{360}-\frac{1}{2}× \sqrt{3}× 3=2π-\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1) AB是$\odot O$的切线，证明见解析；
(2) 阴影部分面积为$\boldsymbol{2π-\frac{3\sqrt{3}}{2}}$。
【知识点】
切线的判定；垂径定理；扇形面积计算
【点评】
本题是圆的综合常考题，融合了等腰三角形性质、圆周角定理、平行线性质等知识，解题的关键是掌握切线的判定方法，以及将不规则阴影面积转化为规则图形面积差的思路，同时要熟练运用勾股定理的相关计算。
【难度系数】
0.6
