例1 如图,已知线段$AB=15\ \mathrm{cm}$,点$C$是$AB$上的一点.

(1)$AB=$$+$，$CB=$$-AC$；
(2)若$AC=9\ \mathrm{cm}$,求$CB$的长.
【思路导析】结合图形解答.
【请你解答】

解：
(1) $AC$；$CB$；$AB$
(2) 由线段的和差关系可得：
$CB = AB - AC$
将$AB=15\ \mathrm{cm}$，$AC=9\ \mathrm{cm}$代入上式，得
$CB = 15 - 9 = 6\ \mathrm{cm}$
答：$CB$的长为$6\ \mathrm{cm}$。

【分析】
首先观察图形，点C在线段AB上，说明线段AB被点C分为AC、CB两段，根据线段和的定义，整体线段的长度等于各分段长度之和，因此可直接得到AB的组成；再根据和差的互逆关系，即可得到CB的表达式。第二问已知AB和AC的长度，直接将数值代入第一问得到的CB与AB、AC的数量关系中计算，即可求出CB的长度。
【解析】
(1) 由图可知点C在线段AB上，线段AB由AC和CB两段拼接而成，因此$AB=AC+CB$；根据和差的互逆关系，变形可得$CB=AB-AC$。
(2) 根据线段的和差关系可得：
$CB = AB - AC$
将$AB=15\ \mathrm{cm}$，$AC=9\ \mathrm{cm}$代入上式，得
$CB = 15 - 9 = 6(\mathrm{cm})$
【答案】
(1) $AC$；$CB$；$AB$
(2) $6\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段的和差关系；线段长度计算
【点评】
本题是线段运算的基础题，主要考查结合图形识别线段间的数量关系的能力，以及代入求值的基础运算能力，掌握线段和差关系是解决复杂线段计算问题的前提，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9

例2 如图，点C在线段AB上，且$AC=BC$。
A───────────C───────────B
(1)点C是线段AB的 点；
(2)若$AB=20\ \mathrm{cm}$，那么AC的长为多少？
【思路导析】点C为线段的中点，则$AC=BC=\frac{1}{2}AB$。
【请你解答】

解：
(1) 中
(2) 因为点C是线段AB的中点，
所以 $AC = \frac{1}{2}AB$。
已知 $AB=20\ \mathrm{cm}$，
代入得 $AC = \frac{1}{2} × 20 = 10\ \mathrm{cm}$。
答：AC的长为10 cm。

【分析】
第(1)问：先回忆线段中点的定义：若一个点在线段上，且能把该线段分成两条长度相等的线段，那么这个点就是这条线段的中点。题中明确点C在线段AB上，且AC=BC，完全符合中点的特征，可直接得出结论。
第(2)问：已经确定点C是AB的中点，根据中点的性质可知，中点分得的小线段长度是原线段长度的一半，即$AC=\frac{1}{2}AB$，再代入已知的AB长度，就能算出AC的长度。
【解析】
(1) 根据线段中点的定义，在线段AB上且满足$AC=BC$的点C是线段AB的中点，故填“中”。
(2) 因为点C是线段AB的中点，
所以 $AC = \frac{1}{2}AB$，
已知 $AB=20\ \mathrm{cm}$，
代入得 $AC = \frac{1}{2} × 20 = 10\ \mathrm{cm}$。
答：AC的长为10 cm。
【答案】
(1) 中；(2) $10\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段中点的定义；线段长度计算
【点评】
本题是线段运算的基础题型，核心考查线段中点的定义和基础应用，只要熟练掌握中点的性质就能快速解题，计算难度低，属于得分题。
【难度系数】
0.9

例3 如图所示，从A地到C地有4条道路，哪条路最近？说明理由.

【思路导析】两点之间，线段最短.
【请你解答】
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解：
沿线段AC的道路最近。
理由：两点之间，线段最短。

【分析】
要判断A地到C地的最短道路，首先回忆线段的基本性质：两点之间的所有连线中，线段最短。我们只需观察4条道路，找到对应A、C两点之间线段的那条道路，即可确定最短路径。
【解析】
从A到C的4条道路分别为A-D-E-C、A-F-C、线段AC、A-B-C。根据“两点之间，线段最短”的基本事实，A、C两点的所有连线中，线段AC的长度最短，因此沿线段AC的道路最近。
【答案】
沿线段AC的道路最近。理由：两点之间，线段最短。
【知识点】
两点之间线段最短
【点评】
本题是线段基本性质的直接应用，解题时紧扣两点之间线段最短的性质，识别两点间的线段路径即可，属于基础类题目，能帮助巩固对线段性质的理解。
【难度系数】
0.9

如图所示,已知线段AB,请用尺规按下列要求作图.
(1)延长线段AB到C,使$BC=AB$;
(2)延长线段BA到D,使$AD=AC$.
如果$AB=2\ \mathrm{cm}$,那么$AC=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$,
$BD=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$,$CD=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.

解：
作图：
(1) 延长线段AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交AB的延长线于点C，即满足$BC=AB$；
(2) 延长线段BA，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交BA的延长线于点D，即满足$AD=AC$。
计算：
∵ $AB=2\ \mathrm{cm}$，$BC=AB$，
∴ $AC=AB+BC=2AB=4\ \mathrm{cm}$。
∵ $AD=AC$，
∴ $AD=4\ \mathrm{cm}$，
∴ $BD=AD+AB=4+2=6\ \mathrm{cm}$，
∴ $CD=AD+AC=4+4=8\ \mathrm{cm}$。
答案依次为：$\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{6}$，$\boldsymbol{8}$。

【分析】
解题时先完成尺规作图，再根据线段的和差关系计算长度。作图时，作等长线段可利用圆规截取对应长度：①要使BC=AB，先延长AB，再以B为圆心、AB长为半径画弧，和AB延长线的交点就是C；②要使AD=AC，先延长BA，再以A为圆心、AC长为半径画弧，和BA延长线的交点就是D。计算时，先根据BC=AB求出AC的长度，再结合AD=AC，分别推导BD、CD的长度即可。
【解析】
作图步骤：
(1) 用直尺延长线段AB，将圆规两脚张开至与AB长度相等，以点B为圆心，AB长为半径画弧，弧与AB的延长线交于点C，此时$BC=AB$，符合要求；
(2) 用直尺延长线段BA，将圆规两脚张开至与AC长度相等，以点A为圆心，AC长为半径画弧，弧与BA的延长线交于点D，此时$AD=AC$，符合要求。
计算过程：
已知$AB=2\ \mathrm{cm}$，且$BC=AB$，
所以$AC=AB+BC=2AB=2×2=4\ \mathrm{cm}$；
又因为$AD=AC$，所以$AD=4\ \mathrm{cm}$，
D在BA的延长线上，因此$BD=AD+AB=4+2=6\ \mathrm{cm}$；
$CD$是点D到点C的长度，因此$CD=AD+AC=4+4=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{6}$，$\boldsymbol{8}$
【知识点】
尺规作等长线段，线段的和差运算
【点评】
本题同时考查尺规作图的基础操作和线段长度的计算，需要准确理解各线段的位置关系，结合已知条件逐步推导即可，是对线段相关基础技能的考察。
【难度系数】
0.8