一、选择题
1. 在$△ ABC$中,给定下列条件,能判定三角形是直角三角形的是()

A.$∠ A=∠ B=∠ C$
B.$∠ A+∠ B=∠ C$
C.$∠ A:∠ B:∠ C=1:1:3$
D.$∠ C=2∠ A=4∠ B$

1. B

【分析】
解题的核心依据是三角形内角和定理（三角形三个内角的和为180°），要判断三角形是否为直角三角形，只需验证三个内角中是否存在90°的角即可。我们可以将每个选项的角度关系代入内角和公式，计算出最大角的度数，逐一排查选项。
【解析】
已知任意三角形内角和为$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，逐个分析选项：
选项A：$∠ A=∠ B=∠ C$，代入内角和公式得$3∠ C=180°$，解得$∠ C=60°$，三个角均为锐角，是等边三角形，不是直角三角形；
选项B：$∠ A+∠ B=∠ C$，代入内角和公式得$∠ C + ∠ C = 180°$，即$2∠ C=180°$，解得$∠ C=90°$，满足直角三角形的条件；
选项C：$∠ A:∠ B:∠ C=1:1:3$，总份数为$1+1+3=5$，每份角度为$180°÷5=36°$，最大角$∠ C=3×36°=108°$，是钝角三角形，不是直角三角形；
选项D：由$∠ C=2∠ A=4∠ B$可得$∠ A=2∠ B$，$∠ C=4∠ B$，代入内角和公式得$4∠ B + 2∠ B + ∠ B=180°$，解得$∠ B=\frac{180°}{7}$，最大角$∠ C=4×\frac{180°}{7}\approx102.9°$，是钝角三角形，不是直角三角形。
综上，只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题是基础类题型，重点考查对三角形内角和定理的运用，解题时只需将已知的角度关系代入内角和公式，求出最大内角的度数即可判断三角形形状，计算难度较低。
【难度系数】
0.8

2. 如图1，AD是△ABC的高，已知∠C=25°，∠DAB=30°，则∠BAC的度数为()

A.$25°$
B.$30°$
C.$35°$
D.$40°$

2. C

【分析】
解题时首先利用三角形高的定义得到∠D为直角，再在直角三角形ABD中根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD的度数，最后根据三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），代入已知的∠C的度数即可求出∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的高，
∴∠D=90°，
在Rt△ABD中，∠DAB=30°，
∴∠ABD=90°-∠DAB=90°-30°=60°，
∵∠ABD是△ABC的外角，
∴∠ABD=∠BAC+∠C，
已知∠C=25°，
∴∠BAC=∠ABD-∠C=60°-25°=35°。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形两锐角互余；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是结合图形特征，灵活运用直角三角形的性质和三角形外角的性质进行角度计算，解题时要注意区分内角和外角的位置关系，避免计算错误。
【难度系数】
0.8

3. 如图2,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD$是$△ ABC$的高,若$∠ B=24°$,则$∠ ACD$的度数是()

A.$66°$
B.$22°$
C.$26°$
D.$24°$

3. D

【分析】
解题时先梳理已知条件：△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，已知∠B=24°求∠ACD。首先回忆直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余，再结合同角的余角相等的性质，找到与∠ACD相等的角即可快速求解。第一步先明确两个直角三角形中角的互余关系，第二步推导∠ACD和∠B的等量关系，第三步代入角度计算即可。
【解析】
解：
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°（直角三角形的两个锐角互余）。
∵ CD是△ABC的高，
∴ CD⊥AB，即∠ADC=90°，
∴ ∠A + ∠ACD = 90°（直角三角形的两个锐角互余）。
∴ ∠ACD = ∠B（同角的余角相等）。
∵ ∠B=24°，
∴ ∠ACD=24°。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形两锐角互余，同角的余角相等，三角形高的定义
【点评】
本题是基础几何题，解题核心是利用直角三角形的锐角互余性质推导角的等量关系，熟练掌握余角的相关性质可以大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.9

4. 如图，在∠ACB中，过点B作BE⊥AC于点E，D为BC边上一点，连接AD，已知∠A=36°，∠ADC=100°，则∠B的度数为()

A.46°
B.44°
C.40°
D.36°

4. A

【分析】
要求∠B的度数，观察发现∠B在Rt△BEC中，已知∠BEC=90°，只需要先求出∠C的度数，再利用直角三角形两锐角互余即可计算∠B；而∠C在△ADC中，已知△ADC的两个内角度数，根据三角形内角和定理可直接求出∠C，按此思路逐步计算即可。
【解析】
第一步：在△ADC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠C = 180° - ∠A - ∠ADC = 180° - 36° - 100° = 44°
第二步：
∵BE⊥AC，
∴∠BEC = 90°，在Rt△BEC中，两个锐角互余，即∠B + ∠C = 90°
∴∠B = 90° - ∠C = 90° - 44° = 46°
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础的角度计算问题，解题核心是找到∠C作为连接两个三角形的中间量，熟练掌握三角形内角相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

5. 如图4,已知AE是△ABC的角平分线,AD是BC边上的高,若∠B=25°,∠C=65°,则∠DAE的大小是()



A.5°
B.10°
C.15°
D.20°

5. D

【分析】
要求∠DAE的度数，可通过推导角的和差关系求解：首先观察图形可知∠DAE=∠BAD-∠BAE，因此需要分别求出∠BAD和∠BAE的度数。第一步先利用三角形内角和为180°求出△ABC中∠BAC的度数，再结合角平分线的定义得到∠BAE的度数；第二步根据AD是BC边上的高可知△ABD是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数，最后将两个角相减即可得到结果。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 25° - 65° = 90°
∵AE是△ABC的角平分线
∴∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×90° = 45°
∵AD是BC边上的高
∴∠ADB = 90°，在Rt△ABD中，两锐角互余：
∠BAD = 90° - ∠B = 90° - 25° = 65°
∴∠DAE = ∠BAD - ∠BAE = 65° - 45° = 20°
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础的角度计算问题，核心是理清所求角与已知角之间的数量关系，依次结合三角形相关性质逐步推导即可求解，计算过程难度不大，重点是明确各个角的位置关系。
【难度系数】
0.8

二、填空题
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=48°$，则$∠ B$的度数为。

1. 42°

【分析】
解答本题首先回忆三角形内角和相关知识，任意三角形的内角和为180°，直角三角形中有一个内角为90°，因此两个锐角的和为90°（即两锐角互余）。要求∠B的度数，只需用180°减去已知的∠C和∠A的度数，或者直接用90°减去∠A的度数即可，计算难度低。
【解析】
解法1：根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=48°$，
则$∠ B = 180° - ∠C - ∠A = 180° - 90° - 48° = 42°$。
解法2：根据直角三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，因此$∠ A + ∠ B = 90°$，
已知$∠ A=48°$，则$∠ B = 90° - 48° = 42°$。
【答案】
$42°$
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题型，主要考查三角形内角和性质以及直角三角形的角度计算，只要掌握相关定理就能快速得出结果，计算量小。
【难度系数】
0.9

一个直角三角形的两个锐角的度数比为2:3，则这个直角三角形的较小锐角度数是

2. 36°

【分析】
解题时首先回忆直角三角形的内角特征：直角三角形有一个内角是90°，结合三角形内角和为180°，可推出两个锐角的和为90°。已知两个锐角的度数比为2:3，我们可以用按比例分配的思路求解：先算出两个锐角的总份数，再求出每份对应的度数，最后乘较小锐角对应的份数，就能得到较小锐角的度数。
【解析】
解：
∵ 该三角形是直角三角形
∴ 三角形有一个内角为90°
∵ 三角形内角和为180°
∴ 两个锐角的度数和为 $ 180° - 90° = 90° $
已知两个锐角的度数比为2:3，总份数为 $ 2+3=5 $
每份的度数为 $ 90° ÷ 5 = 18° $
较小锐角占2份，度数为 $ 18° × 2 = 36° $
【答案】
36°
【知识点】
直角三角形两锐角互余；按比分配计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是先利用直角三角形的性质确定两个锐角的和，再结合比例关系计算对应角度，解题时注意不要直接用三角形内角和180°按比例分配，避免出错。
【难度系数】
0.8

3. 如图5,已知∠A=∠D=66°,∠DBA=20°,∠DCB=56°,则∠ACB=.

3. 36°

【分析】
要求∠ACB的度数，可利用三角形内角和定理分步求解：首先在△BDC中，已知两个内角的度数，可先算出∠DBC的度数；再结合∠DBA的度数，求出△ABC中∠ABC的度数；最后在△ABC中利用三角形内角和为180°，即可计算出∠ACB的度数。
【解析】
1. 在$△ BDC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ DBC = 180° - ∠ D - ∠ DCB = 180° - 66° - 56° = 58°$
2. 由图中角的和差关系可得：
$∠ ABC = ∠ DBA + ∠ DBC = 20° + 58° = 78°$
3. 在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ ABC = 180° - 66° - 78° = 36°$
【答案】
$36°$
【知识点】
三角形内角和定理；角的和差计算
【点评】
本题是三角形内角和的基础应用题，解题的关键是理清图形中各角的位置和和差关系，只要熟练掌握三角形内角和为$180°$就能顺利求解。
【难度系数】
0.85

4. 如图6,在$△ ABC$中,$∠ C=∠ ABC=2∠ A$,BD是AC边上的高,则$∠ ABD=$.

4. 54°

【分析】
解题时先利用三角形内角和为180°的性质，结合题目给出的∠C=∠ABC=2∠A的数量关系，先求出∠A的度数；再根据BD是AC边上的高，可知△ABD是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质，用90°减去∠A的度数就能得到∠ABD的度数。
【解析】
设∠A的度数为$x$，则$∠ABC=∠C=2x$。
根据三角形内角和定理，可得：
$x+2x+2x=180°$
合并同类项得$5x=180°$
解得$x=36°$，即$∠A=36°$。
∵BD是AC边上的高，
∴$∠ADB=90°$。
在$Rt△ABD$中，两锐角互余，因此：
$∠ABD=90°-∠A=90°-36°=54°$
【答案】
$54°$
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余；三角形高的定义
【点评】
本题是基础角度计算题，解题核心是先通过三个内角的数量关系求出∠A的度数，再结合直角三角形的性质求解目标角，逻辑清晰，侧重对基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.7

5. 如图7,在平面直角坐标系中,A为x轴上的一点,B为y轴上的一点,AC平分∠BAG,BC平分∠ABH,则∠C=.

5. 45°

【分析】
首先由平面直角坐标系中x轴与y轴垂直，可得∠AOB=90°，进而得到△AOB中两个锐角的和为90°。再利用平角的定义求出∠BAG与∠ABH的和，结合角平分线的性质得到△ABC中两个内角∠CAB和∠CBA的和，最后根据三角形内角和定理即可求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵x轴⊥y轴，
∴∠AOB=90°，
在△AOB中，∠OAB + ∠OBA = 180° - ∠AOB = 180° - 90° = 90°，
∵∠BAG + ∠OAB = 180°，∠ABH + ∠OBA = 180°，
∴∠BAG + ∠ABH = 180° + 180° - (∠OAB + ∠OBA) = 360° - 90° = 270°，
∵AC平分∠BAG，BC平分∠ABH，
∴∠CAB = $\frac{1}{2}$∠BAG，∠CBA = $\frac{1}{2}$∠ABH，
∴∠CAB + ∠CBA = $\frac{1}{2}$(∠BAG + ∠ABH) = $\frac{1}{2}$×270° = 135°，
在△ABC中，∠C = 180° - (∠CAB + ∠CBA) = 180° - 135° = 45°。
【答案】
45°
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，平角的性质
【点评】
本题是角度计算的常规题型，需要结合直角坐标系的特征，灵活运用角平分线性质和三角形内角和定理求解，解题关键是梳理清楚各个角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7