三、解答题
1. 如图8，CD是△ABC中AB边上的高，若∠B=50°，∠ACB=70°，求∠ACD的度数。

1. $\because CD⊥ AB,∠ B=50°,\therefore ∠ BCD=40°.\ \because ∠ ACB=70°,\therefore ∠ ACD=∠ ACB-∠ BCD=70°-40°=30°.$

【分析】
解题时先从已知条件“CD是AB边上的高”入手，可得到∠CDB=90°，先在Rt△BCD中利用直角三角形两锐角互余的性质，结合∠B的度数算出∠BCD的度数，再根据∠ACB是∠ACD和∠BCD的和，用∠ACB减去∠BCD的度数即可求出∠ACD的度数。
【解析】
解：
∵CD是△ABC中AB边上的高
∴CD⊥AB，即∠CDB=90°
在Rt△BCD中，∠B=50°
∴∠BCD=90°-∠B=90°-50°=40°
又
∵∠ACB=70°，且∠ACB=∠ACD+∠BCD
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=70°-40°=30°
【答案】
30°
【知识点】
三角形高的定义；直角三角形两锐角互余；角的和差计算
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，只要明确高的性质，理清图中角的和差关系，结合直角三角形的角度性质就能顺利求解，解题时注意不要混淆各个角的位置关系。
【难度系数】
0.8

2. 在$△ ABC$中，$∠ A=90°$，$∠ C - ∠ B=22°$，求$∠ B$，$∠ C$的度数.

2. $\because ∠ A=90°,\therefore ∠ C+∠ B=90°.$ 设$∠ B=x°$,则$∠ C=(22+x)°,\therefore x°+(22+x)°=90°$,解得$x=34$,则$22+x=56,\therefore ∠ B=34°,∠ C=56°.$

【分析】解题时首先回忆三角形内角和性质：三角形内角和为180°，已知∠A=90°，可先推出∠B与∠C的和为90°；再结合题目给出的∠C-∠B=22°的差量关系，可设∠B的度数为未知数，用含未知数的式子表示∠C的度数，根据两角的和的等量关系列方程求解即可。
【解析】
∵ 在△ABC中，∠A=90°，
∴ ∠C + ∠B = 180° - ∠A = 90°，
设∠B=x°，由∠C - ∠B=22°，可得∠C=(x+22)°，
代入两角和的关系得：x + (x + 22) = 90，
解得x=34，
则∠C=34°+22°=56°。
【答案】∠B=34°，∠C=56°
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余；方程法求角度
【点评】本题属于三角形内角和的基础考查题，解题核心是利用直角三角形两锐角互余的性质建立等量关系，结合已知角度差用方程思想求解，难度较低，熟练掌握基础性质即可快速解答。
【难度系数】0.8

3. 如图9,在$△ ABC$中,$∠ A=70°,∠ ABC=50°$.
(1)求$∠ C$的度数;
(2)若$∠ BDE=30°,DE// BC$交AB于点E,判断$△ BDC$的形状,并说明理由.

3. (1) $\because ∠ A=70°,∠ ABC=50°,\therefore ∠ C=180°-∠ A-∠ ABC=180°-70°-50°=60°.$
(2) $△ BDC$为直角三角形. 理由如下: $\because DE// BC,\therefore ∠ CBD=∠ BDE=30°$,由(1)得$∠ C=60°,\therefore ∠ BDC=180°-∠ CBD-∠ C=180°-30°-60°=90°,\therefore △ BDC$为直角三角形.

【分析】
(1) 求∠C的度数可直接利用三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°，已知△ABC中∠A和∠ABC的度数，用180°减去这两个已知角的度数即可得到∠C的度数。
(2) 判断△BDC的形状时，首先根据DE//BC的条件，利用平行线“两直线平行，内错角相等”的性质，得到∠CBD与已知∠BDE的等量关系，再结合(1)中求出的∠C的度数，再次运用三角形内角和定理计算∠BDC的度数，若∠BDC为90°，即可判定△BDC的形状。
【解析】
(1) 在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
$\because ∠A=70°,∠ABC=50°$，
$\therefore ∠C=180°-∠A-∠ABC=180°-70°-50°=60°$。
(2) △BDC是直角三角形，理由如下：
$\because DE//BC$，根据两直线平行，内错角相等，
$\therefore ∠CBD=∠BDE=30°$，
由(1)得$∠C=60°$，
在△BDC中，$∠BDC=180°-∠CBD-∠C=180°-30°-60°=90°$，
$\therefore △BDC$为直角三角形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠C=60°}$
(2) $\boldsymbol{△BDC}$为直角三角形
【知识点】
三角形内角和定理；平行线的性质；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，主要考查三角形内角和定理与平行线性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握相关基础定理，准确找到角之间的等量关系进行计算。
【难度系数】
0.8

4. 如图，CD是△ABC的角平分线，点E在AC上，BE交CD于点F，∠ACB=56°.
(1)如图10-1，若BE⊥AC，求∠DFB的度数；
(2)如图10-2，若BE⊥CD，∠A=50°，求∠ABE的度数.

4. (1) $\because CD$是$∠ ACB$的平分线,$\therefore ∠ ACD=\frac{1}{2}∠ ACB=28°.$ $\because BE⊥ AC,\therefore ∠ CEF=90°.$ 在$\mathrm{Rt}△ CEF$中,$∠ EFC=90°-∠ ACD=90°-28°=62°,\therefore ∠ DFB=∠ EFC=62°.$
(2) $\because BE⊥ CD,\therefore ∠ EFC=90°.$ 又由(1)知$∠ ECF=28°,\therefore ∠ CEB=90°-∠ ECF=90°-28°=62°,\therefore ∠ ABE=∠ CEB-∠ A=62°-50°=12°.$

【分析】
(1) 求解第一问时，首先利用角平分线的定义求出∠ACD的度数；再结合BE⊥AC的条件，可知△CEF为直角三角形，根据直角三角形两锐角互余求出∠EFC的度数；最后利用对顶角相等的性质，即可得到∠DFB的度数。
(2) 求解第二问时，首先由BE⊥CD得到△CEF是直角三角形，结合(1)中求出的∠ECF的度数，计算出∠CEB的度数；再根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，代入已知的∠A的度数，即可求出∠ABE的度数。
【解析】
(1)
∵ CD是∠ACB的平分线，∠ACB=56°，
∴ $∠ ACD=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×56°=28°$。
∵ BE⊥AC，
∴ $∠ CEF=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ CEF$中，$∠ EFC=90°-∠ ACD=90°-28°=62°$，
∵ ∠DFB与∠EFC是对顶角，
∴ $∠ DFB=∠ EFC=62°$。
(2)
∵ BE⊥CD，
∴ $∠ EFC=90°$，
由(1)可知$∠ ECF=28°$，
在$\mathrm{Rt}△ CEF$中，$∠ CEB=90°-∠ ECF=90°-28°=62°$，
∵ ∠CEB是△ABE的外角，
∴ $∠ CEB=∠ A+∠ ABE$，
又
∵ $∠ A=50°$，
∴ $∠ ABE=∠ CEB-∠ A=62°-50°=12°$。
【答案】
(1) $\boxed{62°}$；(2) $\boxed{12°}$
【知识点】
角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，综合考查了角平分线、垂直的性质和三角形内角、外角的相关定理，解题时只需梳理清楚已知角和待求角之间的关系，逐步推导即可得出结果。
【难度系数】
0.8