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11.【数学应用】一根木棍原长 m m，如果从第一天起每天折断它的一半。
(1)请写出木棍第一天、第二天、第三天的长度分别是多少；
(2)试推断第 n 天木棍的长度是多少。
(1)请写出木棍第一天、第二天、第三天的长度分别是多少；
(2)试推断第 n 天木棍的长度是多少。
答案
11.(1)$\frac{m}{2}\ \mathrm{m}$，$\frac{m}{4}\ \mathrm{m}$，$\frac{m}{8}\ \mathrm{m}$
(2)$\frac{m}{2^n}\ \mathrm{m}$
(2)$\frac{m}{2^n}\ \mathrm{m}$
解析
【分析】
解题的核心是理解“每天折断它的一半”即当天木棍长度为前一天长度的$\frac{1}{2}$。解决第(1)问时，从原长出发，依次用前一天的长度乘$\frac{1}{2}$即可得到对应天数的木棍长度；解决第(2)问时，观察前三天长度的表达式规律，发现分母是2的幂次，且幂次与天数相等，据此可推导第n天的长度。
【解析】
(1) 已知木棍原长为$m\ \mathrm{m}$：
第一天折断一半后，长度为原长的$\frac{1}{2}$，即$m×\frac{1}{2}=\frac{m}{2}\ \mathrm{m}$；
第二天在第一天的基础上再折断一半，长度为第一天长度的$\frac{1}{2}$，即$\frac{m}{2}×\frac{1}{2}=\frac{m}{4}\ \mathrm{m}$；
第三天在第二天的基础上再折断一半，长度为第二天长度的$\frac{1}{2}$，即$\frac{m}{4}×\frac{1}{2}=\frac{m}{8}\ \mathrm{m}$。
(2) 观察前三天的长度表达式：
第1天：$\frac{m}{2^1}\ \mathrm{m}$，第2天：$\frac{m}{2^2}\ \mathrm{m}$，第3天：$\frac{m}{2^3}\ \mathrm{m}$，
可得规律：第n天木棍的长度是$\frac{m}{2^n}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1)$\frac{m}{2}\ \mathrm{m}$，$\frac{m}{4}\ \mathrm{m}$，$\frac{m}{8}\ \mathrm{m}$
(2)$\frac{m}{2^n}\ \mathrm{m}$
【知识点】
列代数式，乘方的应用，规律探究
【点评】
本题侧重考查乘方的意义和列代数式的能力，解题关键是抓住“每天长度为前一天的一半”的数量关系，通过计算前几日的结果归纳出通用规律，属于代数式的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
解题的核心是理解“每天折断它的一半”即当天木棍长度为前一天长度的$\frac{1}{2}$。解决第(1)问时，从原长出发，依次用前一天的长度乘$\frac{1}{2}$即可得到对应天数的木棍长度；解决第(2)问时，观察前三天长度的表达式规律，发现分母是2的幂次，且幂次与天数相等，据此可推导第n天的长度。
【解析】
(1) 已知木棍原长为$m\ \mathrm{m}$：
第一天折断一半后，长度为原长的$\frac{1}{2}$，即$m×\frac{1}{2}=\frac{m}{2}\ \mathrm{m}$；
第二天在第一天的基础上再折断一半，长度为第一天长度的$\frac{1}{2}$，即$\frac{m}{2}×\frac{1}{2}=\frac{m}{4}\ \mathrm{m}$；
第三天在第二天的基础上再折断一半，长度为第二天长度的$\frac{1}{2}$，即$\frac{m}{4}×\frac{1}{2}=\frac{m}{8}\ \mathrm{m}$。
(2) 观察前三天的长度表达式：
第1天：$\frac{m}{2^1}\ \mathrm{m}$，第2天：$\frac{m}{2^2}\ \mathrm{m}$，第3天：$\frac{m}{2^3}\ \mathrm{m}$，
可得规律：第n天木棍的长度是$\frac{m}{2^n}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1)$\frac{m}{2}\ \mathrm{m}$，$\frac{m}{4}\ \mathrm{m}$，$\frac{m}{8}\ \mathrm{m}$
(2)$\frac{m}{2^n}\ \mathrm{m}$
【知识点】
列代数式，乘方的应用，规律探究
【点评】
本题侧重考查乘方的意义和列代数式的能力，解题关键是抓住“每天长度为前一天的一半”的数量关系，通过计算前几日的结果归纳出通用规律，属于代数式的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
12.如图,根据图中信息,用代数式表示图中阴影部分的面积。
答案
12.$S_{阴影}=(a+b)^2 - a^2 - b^2$
解析
【分析】
解题可采用“整体减空白”的思路：首先观察图形，整体是边长为$(a+b)$的大正方形，阴影部分是不规则图形，直接计算面积较复杂，因此先计算大正方形的总面积，再减去所有空白部分的面积即可得到阴影面积。空白部分包含两组等腰直角三角形：一组是2个直角边长为$a$的等腰直角三角形，另一组是2个直角边长为$b$的等腰直角三角形，分别算出这两组空白的面积和，再用总面积减去即可。
【解析】
第一步：计算大正方形的总面积
大正方形的边长为$a+b$，根据正方形面积公式，总面积为：
$S_{总}=(a+b)^2$
第二步：计算空白部分的总面积
2个直角边长为$a$的等腰直角三角形的面积和：$2×\frac{1}{2}× a× a=a^2$
2个直角边长为$b$的等腰直角三角形的面积和：$2×\frac{1}{2}× b× b=b^2$
空白总面积为$a^2 + b^2$
第三步：计算阴影部分面积
阴影面积 = 大正方形总面积 - 空白总面积，即：
$S_{阴影}=(a+b)^2 - a^2 - b^2$
【答案】
$S_{阴影}=(a+b)^2 - a^2 - b^2$
【知识点】
1. 正方形面积计算
2. 三角形面积计算
3. 列代数式
【点评】
本题主要考查不规则图形面积的计算方法，采用整体减空白的思路可简化计算过程，解题时需准确识别各图形的形状和对应边长，避免错算空白部分的面积。
【难度系数】
0.7
解题可采用“整体减空白”的思路：首先观察图形，整体是边长为$(a+b)$的大正方形，阴影部分是不规则图形，直接计算面积较复杂，因此先计算大正方形的总面积，再减去所有空白部分的面积即可得到阴影面积。空白部分包含两组等腰直角三角形：一组是2个直角边长为$a$的等腰直角三角形，另一组是2个直角边长为$b$的等腰直角三角形，分别算出这两组空白的面积和，再用总面积减去即可。
【解析】
第一步：计算大正方形的总面积
大正方形的边长为$a+b$，根据正方形面积公式，总面积为：
$S_{总}=(a+b)^2$
第二步：计算空白部分的总面积
2个直角边长为$a$的等腰直角三角形的面积和：$2×\frac{1}{2}× a× a=a^2$
2个直角边长为$b$的等腰直角三角形的面积和：$2×\frac{1}{2}× b× b=b^2$
空白总面积为$a^2 + b^2$
第三步：计算阴影部分面积
阴影面积 = 大正方形总面积 - 空白总面积，即：
$S_{阴影}=(a+b)^2 - a^2 - b^2$
【答案】
$S_{阴影}=(a+b)^2 - a^2 - b^2$
【知识点】
1. 正方形面积计算
2. 三角形面积计算
3. 列代数式
【点评】
本题主要考查不规则图形面积的计算方法，采用整体减空白的思路可简化计算过程，解题时需准确识别各图形的形状和对应边长，避免错算空白部分的面积。
【难度系数】
0.7
13.【数学应用】如图，某长方形广场的四角都有一块半径相等的四分之一圆形的草地，中间有一个与草地半径相等的圆形喷水池。若圆形的半径为$r$ m，长方形的长为$a$ m，宽为$b$ m，请用式子表示广场空地的面积。
答案
13.$(ab-2π r^2)\ \mathrm{m}^2$
解析
【分析】
要计算广场空地的面积，可采用总面积减去被占用面积的思路求解：首先计算长方形广场的总面积，再计算四块草地和中间喷水池的总面积，最后做差即可得到空地面积。注意四个角的四分之一圆半径相等，可合并成一个完整的圆简化计算。
【解析】
解：
1. 计算长方形广场的总面积：
根据长方形面积公式，得 $S_{\mathrm{长方形}}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}=ab\ (\mathrm{m}^2)$
2. 计算四角草地的总面积：
4个半径为$r$的四分之一圆的面积和等于1个半径为$r$的整圆的面积，即 $S_{\mathrm{草地}}=4×\frac{1}{4}π r^2=π r^2\ (\mathrm{m}^2)$
3. 计算中间喷水池的面积：
喷水池半径也为$r$，根据圆的面积公式，得 $S_{\mathrm{喷水池}}=π r^2\ (\mathrm{m}^2)$
4. 计算空地面积：
空地面积 = 长方形总面积 - 草地面积 - 喷水池面积
即 $S_{\mathrm{空地}}=ab-π r^2-π r^2=ab-2π r^2\ (\mathrm{m}^2)$
【答案】
$(ab-2π r^2)\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
长方形面积计算；圆的面积计算；列代数式
【点评】
本题是组合图形面积的基础应用题，解题核心是将分散的四分之一圆合并为整圆简化计算，利用面积差的思路即可快速得出结果，计算时注意不要漏记需要减去的面积。
【难度系数】
0.8
要计算广场空地的面积，可采用总面积减去被占用面积的思路求解：首先计算长方形广场的总面积，再计算四块草地和中间喷水池的总面积，最后做差即可得到空地面积。注意四个角的四分之一圆半径相等，可合并成一个完整的圆简化计算。
【解析】
解：
1. 计算长方形广场的总面积：
根据长方形面积公式，得 $S_{\mathrm{长方形}}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}=ab\ (\mathrm{m}^2)$
2. 计算四角草地的总面积：
4个半径为$r$的四分之一圆的面积和等于1个半径为$r$的整圆的面积，即 $S_{\mathrm{草地}}=4×\frac{1}{4}π r^2=π r^2\ (\mathrm{m}^2)$
3. 计算中间喷水池的面积：
喷水池半径也为$r$，根据圆的面积公式，得 $S_{\mathrm{喷水池}}=π r^2\ (\mathrm{m}^2)$
4. 计算空地面积：
空地面积 = 长方形总面积 - 草地面积 - 喷水池面积
即 $S_{\mathrm{空地}}=ab-π r^2-π r^2=ab-2π r^2\ (\mathrm{m}^2)$
【答案】
$(ab-2π r^2)\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
长方形面积计算；圆的面积计算；列代数式
【点评】
本题是组合图形面积的基础应用题，解题核心是将分散的四分之一圆合并为整圆简化计算，利用面积差的思路即可快速得出结果，计算时注意不要漏记需要减去的面积。
【难度系数】
0.8
