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8.某机械装置中有一个半圆形导轨，直径$AB=4$，导轨圆心为$O$，半径$OC$垂直于$AB$，将扇形滑块$OAC$沿导轨$OB$向右平移至扇形$O'A'C'$，其中$O'C'$与$\overset{\frown}{BC}$交于点$D$，$CD=2$，如图②所示，则$∠ CBD$的度数为(
A.$25°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$60°$
B
)。A.$25°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$60°$
答案
8.B
解析
【分析】
解题时首先根据直径长度得到半圆的半径均为2，结合已知CD=2，可判定△OCD为等边三角形，得到弧CD对应的圆心角∠COD的度数，再利用圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠CBD的度数。
【解析】
解：
∵ 半圆形导轨直径AB=4，
∴ 半圆的半径OC=OD=2（点D在半圆导轨上，OD为半圆半径），
又
∵ CD=2，
∴ OC=OD=CD=2，即△OCD是等边三角形，
∴ ∠COD=60°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∠CBD是弧CD所对的圆周角，∠COD是弧CD所对的圆心角，
∴ $∠ CBD=\frac{1}{2}∠ COD=\frac{1}{2}×60°=30°$。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的判定与性质，圆周角定理，平移的性质
【点评】
本题结合平移背景考查了等边三角形的判定和圆周角定理的应用，解题突破口是通过三边相等判定等边三角形得到圆心角度数，解题时要注意找准同弧对应的圆心角和圆周角。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据直径长度得到半圆的半径均为2，结合已知CD=2，可判定△OCD为等边三角形，得到弧CD对应的圆心角∠COD的度数，再利用圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠CBD的度数。
【解析】
解：
∵ 半圆形导轨直径AB=4，
∴ 半圆的半径OC=OD=2（点D在半圆导轨上，OD为半圆半径），
又
∵ CD=2，
∴ OC=OD=CD=2，即△OCD是等边三角形，
∴ ∠COD=60°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∠CBD是弧CD所对的圆周角，∠COD是弧CD所对的圆心角，
∴ $∠ CBD=\frac{1}{2}∠ COD=\frac{1}{2}×60°=30°$。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的判定与性质，圆周角定理，平移的性质
【点评】
本题结合平移背景考查了等边三角形的判定和圆周角定理的应用，解题突破口是通过三边相等判定等边三角形得到圆心角度数，解题时要注意找准同弧对应的圆心角和圆周角。
【难度系数】
0.6
9. 如图，O是$△ ABC$内部一点，连接OC，OC平分$∠ ACB$，以点O为圆心，OC长为半径的圆经过点B，交AC于点D，连接BO并延长交$\overset{\frown}{CD}$于点E，连接ED并延长交AB于点F。
(1)求证：$OC// EF$；
(2)当$∠ EBF = 2∠ A$时，求$∠ EFB$的度数。
(1)求证：$OC// EF$；
(2)当$∠ EBF = 2∠ A$时，求$∠ EFB$的度数。
答案
9.(1)略
(2)$∠EFB=60°$。
(2)$∠EFB=60°$。
解析
【分析】
(1) 要证$OC// EF$，可通过证明内错角相等实现。首先利用同弧所对的圆周角相等，得到$∠ EDC=∠ EBC$；再由圆的半径相等得$OC=OB$，推出$∠ EBC=∠ OCB$；结合$OC$平分$∠ ACB$得$∠ OCB=∠ OCD$，等量代换得$∠ EDC=∠ OCD$，即可判定平行。
(2) 求$∠ EFB$的度数，可设$∠ A=x$，则$∠ EBF=2x$，结合(1)的结论和三角形外角性质、内角和定理建立方程求解。首先根据角平分线性质和等腰三角形性质推出$∠ ACB=4x$，由$OC// EF$得$∠ E=∠ COE$，再结合三角形外角性质得$∠ EFB=∠ A+∠ ADF=3x$，最后根据$△ EFB$内角和为$180°$列方程求出$x$，即可得到$∠ EFB$的度数。
【解析】
(1) 证明：
$\because$ 同弧$EC$所对的圆周角相等，
$\therefore ∠ EDC=∠ EBC$。
$\because OC$、$OB$都是$\odot O$的半径，
$\therefore OC=OB$，
$\therefore ∠ EBC=∠ OCB$。
$\because OC$平分$∠ ACB$，
$\therefore ∠ OCB=∠ OCD$，
$\therefore ∠ EDC=∠ OCD$，
$\therefore OC// EF$（内错角相等，两直线平行）。
(2) 解：设$∠ A=x$，则$∠ EBF=2x$。
由$OC=OB$，得$∠ OCB=∠ OBC=2x$，
$\because OC$平分$∠ ACB$，
$\therefore ∠ ACB=2∠ OCB=4x$。
由(1)知$OC// EF$，
$\therefore ∠ E=∠ COE$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ OBC$中，$∠ COB=180°-∠ OCB-∠ OBC=180°-4x$，
$\therefore ∠ COE=180°-∠ COB=4x$，即$∠ E=4x$。
$\because ∠ ADF$与$∠ EDC$是对顶角，
$\therefore ∠ ADF=∠ EDC=∠ EBF=2x$。
$∠ EFB$是$△ AFD$的外角，
$\therefore ∠ EFB=∠ A+∠ ADF=x+2x=3x$。
在$△ EFB$中，$∠ E+∠ EBF+∠ EFB=180°$，
代入得：$4x+2x+3x=180°$，
解得$x=20°$，
$\therefore ∠ EFB=3x=3×20°=60°$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boldsymbol{60°}$
【知识点】
圆周角定理，平行线的判定，三角形角度计算
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型习题，综合考查了圆的基本性质、平行线的判定和角度计算，解题的关键是灵活运用同弧所对圆周角相等、等腰三角形性质等知识，通过设未知数列方程的方法简化角度推导过程。
【难度系数】
0.65
(1) 要证$OC// EF$，可通过证明内错角相等实现。首先利用同弧所对的圆周角相等，得到$∠ EDC=∠ EBC$；再由圆的半径相等得$OC=OB$，推出$∠ EBC=∠ OCB$；结合$OC$平分$∠ ACB$得$∠ OCB=∠ OCD$，等量代换得$∠ EDC=∠ OCD$，即可判定平行。
(2) 求$∠ EFB$的度数，可设$∠ A=x$，则$∠ EBF=2x$，结合(1)的结论和三角形外角性质、内角和定理建立方程求解。首先根据角平分线性质和等腰三角形性质推出$∠ ACB=4x$，由$OC// EF$得$∠ E=∠ COE$，再结合三角形外角性质得$∠ EFB=∠ A+∠ ADF=3x$，最后根据$△ EFB$内角和为$180°$列方程求出$x$，即可得到$∠ EFB$的度数。
【解析】
(1) 证明：
$\because$ 同弧$EC$所对的圆周角相等，
$\therefore ∠ EDC=∠ EBC$。
$\because OC$、$OB$都是$\odot O$的半径，
$\therefore OC=OB$，
$\therefore ∠ EBC=∠ OCB$。
$\because OC$平分$∠ ACB$，
$\therefore ∠ OCB=∠ OCD$，
$\therefore ∠ EDC=∠ OCD$，
$\therefore OC// EF$（内错角相等，两直线平行）。
(2) 解：设$∠ A=x$，则$∠ EBF=2x$。
由$OC=OB$，得$∠ OCB=∠ OBC=2x$，
$\because OC$平分$∠ ACB$，
$\therefore ∠ ACB=2∠ OCB=4x$。
由(1)知$OC// EF$，
$\therefore ∠ E=∠ COE$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ OBC$中，$∠ COB=180°-∠ OCB-∠ OBC=180°-4x$，
$\therefore ∠ COE=180°-∠ COB=4x$，即$∠ E=4x$。
$\because ∠ ADF$与$∠ EDC$是对顶角，
$\therefore ∠ ADF=∠ EDC=∠ EBF=2x$。
$∠ EFB$是$△ AFD$的外角，
$\therefore ∠ EFB=∠ A+∠ ADF=x+2x=3x$。
在$△ EFB$中，$∠ E+∠ EBF+∠ EFB=180°$，
代入得：$4x+2x+3x=180°$，
解得$x=20°$，
$\therefore ∠ EFB=3x=3×20°=60°$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boldsymbol{60°}$
【知识点】
圆周角定理，平行线的判定，三角形角度计算
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型习题，综合考查了圆的基本性质、平行线的判定和角度计算，解题的关键是灵活运用同弧所对圆周角相等、等腰三角形性质等知识，通过设未知数列方程的方法简化角度推导过程。
【难度系数】
0.65
10.【原题再现】
战国时的《墨经》有“圆，一中同长也”的记载，它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于半径。复习课上，复盘小组结合图①对下题进行了深入学习，对“到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上”有了更深刻的理解。
例:矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，求证:A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上。
证明:因为四边形ABCD为矩形，
所以 $OA = OC = \frac{1}{2}AC$，$OB = OD = \frac{1}{2}BD$，$AC=BD$。
所以 $OA=OC=OB=OD$。
所以A，B，C，D四个点都在以点O为圆心，OA长为半径的圆上。
请完成:
(1)如图②，在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，证明:A，B，C三点在同一个圆上。
【初步运用】
(2)对于一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识可以更容易解决。例如:如图③，在$△ ABC$中，$AB = AC$，$∠ BAC = 54°$，D是$△ ABC$外一点，且$AD=AC$，求$∠ BDC$的度数。若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆$\odot A$，由$AB=AC=AD$可知点C，D必在$\odot A$上，$∠ BAC$是$\odot A$的圆心角，而$∠ BDC$是圆周角，从而容易得到$∠ BDC =$
【深入理解】
(3)如图④，在四边形ABCD中，$AB = AC = AD$，求证:$∠1 + ∠2 = 90°$。
课后反思
存在的问题:
改进的措施:
战国时的《墨经》有“圆，一中同长也”的记载，它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于半径。复习课上，复盘小组结合图①对下题进行了深入学习，对“到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上”有了更深刻的理解。
例:矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，求证:A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上。
证明:因为四边形ABCD为矩形，
所以 $OA = OC = \frac{1}{2}AC$，$OB = OD = \frac{1}{2}BD$，$AC=BD$。
所以 $OA=OC=OB=OD$。
所以A，B，C，D四个点都在以点O为圆心，OA长为半径的圆上。
请完成:
(1)如图②，在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，证明:A，B，C三点在同一个圆上。
【初步运用】
(2)对于一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识可以更容易解决。例如:如图③，在$△ ABC$中，$AB = AC$，$∠ BAC = 54°$，D是$△ ABC$外一点，且$AD=AC$，求$∠ BDC$的度数。若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆$\odot A$，由$AB=AC=AD$可知点C，D必在$\odot A$上，$∠ BAC$是$\odot A$的圆心角，而$∠ BDC$是圆周角，从而容易得到$∠ BDC =$
27
°。【深入理解】
(3)如图④，在四边形ABCD中，$AB = AC = AD$，求证:$∠1 + ∠2 = 90°$。
课后反思
存在的问题:
改进的措施:
答案
10.(1)证明:如图①，取AB的中点O，连接OC。
因为O为AB的中点，
所以$OC=\frac{1}{2}AB$，$OA=OB=\frac{1}{2}AB$。
所以$OA=OB=OC$。
所以A,B,C三点都在以点O为圆心，OA长为半径的圆上。
(2)27
(3)证明:因为AB=AC=AD，
所以点B,C,D在以点A为圆心，AB长为半径的圆上。
如图②，作辅助圆$\odot A$，则$∠1=\frac{1}{2}∠BAC$。
因为AB=AC，
所以$∠ABC=∠2$。
因为$∠BAC+∠ABC+∠2=∠BAC+2∠2=180°$，
所以$\frac{1}{2}∠BAC+∠2=90°$。
所以$∠1+∠2=90°$。
解析
【分析】
(1)要证明直角三角形三个顶点共圆，依据“到定点距离相等的点在同一个圆上”的判定规则，取斜边AB的中点O，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，证明OA=OB=OC即可得出结论。
(2)已知AB=AC=AD，构造以A为圆心AB为半径的圆后，B、C、D均在圆上，∠BAC是弧BC对应的圆心角，∠BDC是弧BC对应的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对圆周角是圆心角的一半，直接计算即可。
(3)首先由AB=AC=AD可判定B、C、D三点在以A为圆心的圆上，根据圆周角定理可得∠1等于弧BC对应的圆心角∠BAC的一半；再结合等腰△ABC的内角和关系，将∠BAC用∠2表示，代入化简即可证明结论。
【解析】
(1)取AB的中点O，连接OC。因为∠C=90°，O是AB中点，根据直角三角形斜边中线性质可得OC=OA=OB=$\frac{1}{2}$AB，因此三点到O的距离相等，符合共圆条件。
(2)构造辅助圆$\odot A$后，∠BAC是圆心角为54°，∠BDC是同弧对应的圆周角，因此$∠ BDC=\frac{1}{2}×54°=27°$。
(3)先由AB=AC=AD判定B、C、D共圆，得$∠1=\frac{1}{2}∠ BAC$；再结合等腰△ABC内角和：$∠ BAC+2∠2=180°$，两边除以2得$\frac{1}{2}∠ BAC+∠2=90°$，代换后即可证得$∠1+∠2=90°$。
【答案】
(1)证明:如图①，取AB的中点O，连接OC。
因为O为AB的中点，
所以 $OC=\frac{1}{2}AB$，$OA=OB=\frac{1}{2}AB$。
所以 $OA=OB=OC$。
所以A,B,C三点都在以点O为圆心，OA长为半径的圆上。
(2)27
(3)证明:因为AB=AC=AD，
所以点B,C,D在以点A为圆心，AB长为半径的圆上。
如图②，作辅助圆$\odot A$，则$∠1=\frac{1}{2}∠BAC$。
因为AB=AC，
所以$∠ABC=∠2$。
因为$∠BAC+∠ABC+∠2=∠BAC+2∠2=180°$，
所以$\frac{1}{2}∠BAC+∠2=90°$。
所以$∠1+∠2=90°$。
【知识点】
共圆的判定、圆周角定理、等腰三角形性质
【点评】
本题从基础的共圆证明入手，逐步引导掌握构造辅助圆解决几何问题的方法，既考查了对圆的基本性质、圆周角定理的理解，又锻炼了知识迁移运用的能力，构造辅助圆是解决角度类几何问题的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
(1)要证明直角三角形三个顶点共圆，依据“到定点距离相等的点在同一个圆上”的判定规则，取斜边AB的中点O，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，证明OA=OB=OC即可得出结论。
(2)已知AB=AC=AD，构造以A为圆心AB为半径的圆后，B、C、D均在圆上，∠BAC是弧BC对应的圆心角，∠BDC是弧BC对应的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对圆周角是圆心角的一半，直接计算即可。
(3)首先由AB=AC=AD可判定B、C、D三点在以A为圆心的圆上，根据圆周角定理可得∠1等于弧BC对应的圆心角∠BAC的一半；再结合等腰△ABC的内角和关系，将∠BAC用∠2表示，代入化简即可证明结论。
【解析】
(1)取AB的中点O，连接OC。因为∠C=90°，O是AB中点，根据直角三角形斜边中线性质可得OC=OA=OB=$\frac{1}{2}$AB，因此三点到O的距离相等，符合共圆条件。
(2)构造辅助圆$\odot A$后，∠BAC是圆心角为54°，∠BDC是同弧对应的圆周角，因此$∠ BDC=\frac{1}{2}×54°=27°$。
(3)先由AB=AC=AD判定B、C、D共圆，得$∠1=\frac{1}{2}∠ BAC$；再结合等腰△ABC内角和：$∠ BAC+2∠2=180°$，两边除以2得$\frac{1}{2}∠ BAC+∠2=90°$，代换后即可证得$∠1+∠2=90°$。
【答案】
(1)证明:如图①，取AB的中点O，连接OC。
因为O为AB的中点，
所以 $OC=\frac{1}{2}AB$，$OA=OB=\frac{1}{2}AB$。
所以 $OA=OB=OC$。
所以A,B,C三点都在以点O为圆心，OA长为半径的圆上。
(2)27
(3)证明:因为AB=AC=AD，
所以点B,C,D在以点A为圆心，AB长为半径的圆上。
如图②，作辅助圆$\odot A$，则$∠1=\frac{1}{2}∠BAC$。
因为AB=AC，
所以$∠ABC=∠2$。
因为$∠BAC+∠ABC+∠2=∠BAC+2∠2=180°$，
所以$\frac{1}{2}∠BAC+∠2=90°$。
所以$∠1+∠2=90°$。
【知识点】
共圆的判定、圆周角定理、等腰三角形性质
【点评】
本题从基础的共圆证明入手，逐步引导掌握构造辅助圆解决几何问题的方法，既考查了对圆的基本性质、圆周角定理的理解，又锻炼了知识迁移运用的能力，构造辅助圆是解决角度类几何问题的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
