4.已知$△ ABC$内接于$\odot O$，$AB=AC$，且$∠ AOB=130°$，$∠ A$的度数为。

4.50°

【分析】
解题时先从已知条件入手：①AB=AC且△ABC内接于圆，可联想到同圆中相等的弦对应相等的弧，相等的弧对应相等的圆心角，由此可推出∠AOC与∠AOB度数相等；②已知圆心角求圆周角，要用到圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半。首先计算出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数，再用圆周角定理即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵ AB=AC，且△ABC内接于⊙O
∴ 弧AB = 弧AC（同圆中相等的弦所对的劣弧相等）
∴ ∠AOB = ∠AOC（同圆中相等的弧所对的圆心角相等）
∵ ∠AOB = 130°
∴ ∠AOC = 130°
∵ 周角的度数为360°
∴ ∠BOC = 360° - ∠AOB - ∠AOC = 360° - 130° - 130° = 100°
又
∵ ∠A是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角
∴ 根据圆周角定理得：∠A = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×100° = 50°
【答案】
50°
【知识点】
圆心角与弧弦的关系；圆周角定理；周角定义
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的核心是找准弦、弧、圆心角、圆周角的对应关系，再结合相关定理计算即可，平时要注意对圆中各类对应关系的识记和应用。
【难度系数】
0.8

1. 如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，连接$OA$，$OB$，$∠ OBA=50°$，则$∠ C$的度数为()。

A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$80°$

1.B

【分析】
解题时首先观察到OA、OB是圆的半径，长度相等，因此△OAB为等腰三角形，可先利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和求出圆心角∠AOB的度数；再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出圆周角∠C的度数。
【解析】
解：
∵OA、OB是⊙O的半径，
∴OA=OB，
∴△OAB是等腰三角形，∠OAB=∠OBA=50°，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-50°-50°=80°，
∵∠C是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×80°=40°。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质，圆周角定理，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，将等腰三角形的性质和圆周角定理结合考查，解题关键是找准同弧对应的圆心角和圆周角，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8

2.如图，AB，AC是$\odot O$的两条弦，$OD ⊥ AB$于点$D$，$OE ⊥ AC$于点$E$，连接$OB$，$OC$。若$∠ DOE = 130°$，则$∠ BOC$的度数为（）。

A.$95°$
B.$100°$
C.$105°$
D.$130°$

2.B

【分析】
解题时首先观察图形特征：已知OD⊥AB、OE⊥AC，可得两个直角，结合已知∠DOE的度数，可先在四边形ADOE中利用内角和定理求出∠BAC的度数；再根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出∠BOC的度数。
【解析】
∵OD⊥AB，OE⊥AC
∴∠ADO=∠AEO=90°
在四边形ADOE中，内角和为360°，已知∠DOE=130°
∴∠BAC=360°-∠ADO-∠AEO-∠DOE=360°-90°-90°-130°=50°
∵∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠BAC是弧BC所对的圆周角
∴∠BOC=2∠BAC=2×50°=100°
故选B。
【答案】
B
【知识点】
四边形内角和、圆周角定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的突破口是利用四边形内角和求出圆周角∠BAC的度数，再结合圆周角与圆心角的数量关系求解，要求熟练掌握相关性质并能灵活运用。
【难度系数】
0.7

3.如图,在$\odot O$中,$OC⊥ AB$,$∠ ADC=32°$,则$∠ OBA$的度数是()。


A.$64°$
B.$58°$
C.$32°$
D.$26°$

3.D

【分析】
解题思路如下：首先，由OC垂直于弦AB，联想到垂径定理，可推出弧AC与弧BC相等；其次，已知圆周角∠ADC的度数，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求出对应的圆心角∠BOC的度数；最后，在OC与AB垂直形成的直角三角形中，利用直角三角形两锐角互余的性质，即可计算出∠OBA的度数。
【解析】
设OC与AB的交点为E。
1. 因为OC是$\odot O$的半径，且$OC⊥ AB$，根据垂径定理可得：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$。
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠ ADC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，$∠ BOC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，结合$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，可得：$∠ BOC=2∠ ADC$。
已知$∠ ADC=32°$，代入得$∠ BOC=2×32°=64°$。
3. 因为$OC⊥ AB$，所以$∠ OEB=90°$，在$Rt△ OEB$中，两锐角互余，即$∠ OBA + ∠ BOC=90°$，因此：
$∠ OBA=90° - 64°=26°$。
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题型，解题的核心是熟练运用垂径定理得到等弧，再结合圆周角定理完成角度的转化，计算难度较低，是圆相关角度计算的常考题型。
【难度系数】
0.7

4.△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是。

4.80°或100°

【分析】
首先看到圆心角∠AOC的度数，要求对应的圆周角∠ABC，首先联想到圆周角定理。由于△ABC是⊙O的内接三角形，顶点B的位置有两种可能：在优弧AC上或在劣弧AC上，需要分两种情况讨论，避免只考虑一种情况导致漏解。第一步先明确同弧所对圆周角和圆心角的数量关系，第二步分别计算两种位置下∠ABC的度数即可。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半，分两种情况计算：
1. 当点B在优弧AC上时：
∠ABC是劣弧AC所对的圆周角，∠AOC是劣弧AC所对的圆心角，因此
$∠ ABC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×160°=80°$
2. 当点B在劣弧AC上时：
此时∠ABC是优弧AC所对的圆周角，优弧AC的度数为$360°-160°=200°$，因此
$∠ ABC=\frac{1}{2}×200°=100°$
综上，∠ABC的度数为80°或100°。
【答案】
80°或100°
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 圆内接三角形性质
【点评】
本题的易错点是忽略点B的位置有两种可能性，导致漏写其中一个答案。解题时要结合圆的对称性全面分析图形的所有可能情况，熟练运用圆周角定理计算对应角度。
【难度系数】
0.6

5.如图，将$\odot O$沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是$\overset{\frown}{AMB}$上一点，则$∠ APB$的度数为。

5.60°

【分析】要计算∠APB的度数，根据圆周角定理，需先求出它所对劣弧AB对应的圆心角∠AOB的度数。结合折叠的性质，可知圆心O到弦AB的距离等于半径的一半，据此在直角三角形中求出∠AOB的度数，再代入圆周角定理即可求解。
【解析】
解：连接OA、OB，过点O作OC⊥AB于点C。
∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，
∴OC = $\frac{1}{2}$OA（OA为⊙O的半径）。
在Rt△OAC中，$\cos∠AOC=\frac{OC}{OA}=\frac{1}{2}$，
∴∠AOC = 60°，
∴∠AOB = 2∠AOC = 120°。
∵∠APB是劣弧AB所对的圆周角，∠AOB是劣弧AB所对的圆心角，
∴根据圆周角定理，$∠ APB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×120°=60°$。
【答案】60°
【知识点】折叠的性质；圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】本题是折叠性质和圆周角定理的综合应用题，解题的突破口是利用折叠特征得到圆心到弦AB的距离为半径的一半，进而求出圆心角的度数，是圆相关知识点的典型基础考题。
【难度系数】0.7

6.如图,已知AB是$\odot O$的直径,点C,D在$\odot O$上,$∠ ABC=65°$,$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$。
(1)求证:$△ BOC ≌ △ DOC$；
(2)求$∠ ABD$的度数。

6.(1)略
(2)$∠ABD=40°$。

【分析】
(1)要证明△BOC≌△DOC，先根据等弧对等圆心角得到∠BOC=∠DOC，再结合圆的半径相等可得OB=OD，OC为公共边，利用SAS即可证明全等；
(2)求∠ABD的度数，先根据等腰三角形性质求出△OBC中∠BOC的度数，再结合等弧对等圆心角得到∠DOC的度数，进而求出∠BOD的度数，最后在等腰△OBD中计算底角∠OBD即∠ABD的度数。
【解析】
(1)证明：
∵ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ 同圆中相等的弧所对的圆心角相等，即∠BOC=∠DOC，
又
∵ OB、OC、OD都是$\odot O$的半径，
∴ OB=OD，
在$△ BOC$和$△ DOC$中：
$\{\begin{array}{l}OB=OD \\∠BOC=∠DOC \\OC=OC\end{array} $
∴ $△ BOC ≌ △ DOC$（SAS）。
(2)解：
∵ OB=OC（都是$\odot O$的半径），
∴ $△ OBC$为等腰三角形，∠OCB=∠ABC=65°，
∴ $∠ BOC = 180° - ∠ OBC - ∠ OCB = 180° - 65° - 65° = 50°$，
∵ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $∠ DOC = ∠ BOC = 50°$，
∴ $∠ BOD = ∠ BOC + ∠ DOC = 50° + 50° = 100°$，
又
∵ OB=OD，
∴ $△ OBD$为等腰三角形，
$∠ ABD = ∠ OBD = \frac{180° - ∠ BOD}{2} = \frac{180° - 100°}{2} = 40°$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$\boldsymbol{∠ABD=40°}$
【知识点】
圆心角与弧的关系；全等三角形判定；等腰三角形性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的核心是熟练掌握圆中弧与圆心角的对应关系，结合三角形全等判定和等腰三角形性质求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7

7.如图，$\odot O$的直径CD垂直于弦AB，垂足为E，$∠ ACD=22.5°$，$CD=4$。
(1)求AB的长；
(2)求$∠ BAC$的正切值。

7.(1)$AB=2\sqrt{2}$；
(2)$\tan∠BAC=\sqrt{2}+1$。

【分析】
本题是圆与锐角三角函数结合的基础综合题，解题思路如下：
1. 求解AB的长度：首先连接半径OA，先根据直径长度求出半径，再利用圆周角定理求出∠AOD的度数，最后结合垂径定理，在等腰直角△AOE中求出AE的长度，即可得到AB的长。
2. 求解∠BAC的正切值：先求出线段CE的长度，观察到∠BAC就是Rt△AEC的内角∠CAE，根据正切的定义（角的对边比邻边），代入CE和AE的长度化简计算即可。
【解析】
(1) 连接OA，
∵ CD是$\odot O$的直径，$CD=4$，
∴ 半径$OA=OC=2$，
∵ 同弧$AD$所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠ACD=22.5°$，
∴ $∠AOD=2∠ACD=45°$，
∵ $CD⊥AB$，根据垂径定理可得：$∠AEO=90°$，$AE=BE=\frac{1}{2}AB$，
在$Rt△AOE$中，$∠AOE=45°$，$OA=2$，
∴ $AE=OA·\sin45°=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，
∴ $AB=2AE=2\sqrt{2}$。
(2) 在$Rt△AOE$中，$OE=OA·\cos45°=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，
∴ $CE=OC+OE=2+\sqrt{2}$，
∵ $CD⊥AB$，
∴ $∠AEC=90°$，
在$Rt△AEC$中，$\tan∠BAC=\tan∠CAE=\frac{CE}{AE}$，
代入$CE=2+\sqrt{2}$，$AE=\sqrt{2}$，得：
$\tan∠BAC=\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{(2+\sqrt{2})×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}+2}{2}=\sqrt{2}+1$。
【答案】
(1) $AB=2\sqrt{2}$；(2) $\tan∠BAC=\sqrt{2}+1$
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题核心是结合圆的性质构造直角三角形，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和垂径定理的应用，计算时注意二次根式的化简规则。
【难度系数】
0.65