登录
课前预习
| 序号 | 基础知识 |
| ---- | ---- |
| 1 | 圆周角的概念：顶点在
| 2 | 圆周角定理：圆周角等于它所对弧上的
困惑疑问：
| 序号 | 基础知识 |
| ---- | ---- |
| 1 | 圆周角的概念：顶点在
圆上
，并且它的两边在圆内的部分是圆的两条弦，像这样的角叫作圆周角
。 || 2 | 圆周角定理：圆周角等于它所对弧上的
圆心角的一半
。 |困惑疑问：
答案
1. 圆上，圆周角
2. 圆心角的一半
2. 圆心角的一半
解析
【分析】
本题为基础概念与定理识记类填空题，解题时需对应回忆圆周角相关的课本基础知识：第1题考查圆周角的定义，需明确圆周角的两个核心判定要素，一是顶点的位置，二是角的两边的特征，结合定义即可填空；第2题考查圆周角定理的核心内容，回忆圆周角与同弧所对圆心角的数量关系即可作答。
【解析】
1. 根据圆周角的定义：顶点在圆上，并且它的两边在圆内的部分是圆的两条弦，满足这两个特征的角叫作圆周角，因此两个空依次填圆上、圆周角。
2. 根据圆周角定理的内容：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半，因此该空填圆心角的一半。
【答案】
1. 圆上，圆周角
2. 圆心角的一半
【知识点】
圆周角的概念；圆周角定理
【点评】
本题属于基础识记类题目，重点考查对圆周角相关基础概念、定理的记忆掌握情况，熟练识记课本基础内容即可快速完成，相关知识点是后续解决圆周角相关计算、证明类问题的重要基础。
【难度系数】
0.9
本题为基础概念与定理识记类填空题，解题时需对应回忆圆周角相关的课本基础知识：第1题考查圆周角的定义，需明确圆周角的两个核心判定要素，一是顶点的位置，二是角的两边的特征，结合定义即可填空；第2题考查圆周角定理的核心内容，回忆圆周角与同弧所对圆心角的数量关系即可作答。
【解析】
1. 根据圆周角的定义：顶点在圆上，并且它的两边在圆内的部分是圆的两条弦，满足这两个特征的角叫作圆周角，因此两个空依次填圆上、圆周角。
2. 根据圆周角定理的内容：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半，因此该空填圆心角的一半。
【答案】
1. 圆上，圆周角
2. 圆心角的一半
【知识点】
圆周角的概念；圆周角定理
【点评】
本题属于基础识记类题目，重点考查对圆周角相关基础概念、定理的记忆掌握情况，熟练识记课本基础内容即可快速完成，相关知识点是后续解决圆周角相关计算、证明类问题的重要基础。
【难度系数】
0.9
思考1.如图，A，B，C是$\odot O$上的三个点。
(1)$∠ ABC$的顶点、边有什么特点？
(2)它与圆心角有什么不同之处呢？
(1)$∠ ABC$的顶点、边有什么特点？
(2)它与圆心角有什么不同之处呢？
答案
1.(1)顶点在圆上，角的两边在圆内的部分是圆的两条弦。
(2)圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上。
(2)圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上。
解析
【分析】
解答本题需结合角的构成及圆心角、圆周角的定义逐步思考：
1. 解决第(1)问时，先明确角由顶点和两条边组成，分别观察∠ABC的顶点位置，以及两条边与圆的位置关系，总结对应的特点即可。
2. 解决第(2)问时，先回忆圆心角的定义，再对比∠ABC的顶点位置，就能得出二者的核心不同之处。
【解析】
(1) 观察∠ABC的构成：它的顶点B在⊙O的圆周上，它的两条边分别为射线BA、射线BC，两条边在圆内部的部分是圆的两条弦BA、BC，即两边都与圆有除顶点外的另一个交点。
(2) 回忆圆心角的定义：顶点在圆心，两边都与圆相交的角叫做圆心角。对比∠ABC的特征可知，二者的核心区别是顶点位置不同：圆心角的顶点在圆的圆心处，而∠ABC的顶点在圆上。
【答案】
(1)顶点在圆上，角的两边在圆内的部分是圆的两条弦。
(2)圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上。
【知识点】
圆周角的定义；圆心角的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，主要考查对圆周角、圆心角定义的理解与区分，熟练掌握两类角的定义即可快速解题，是学习圆周角相关性质的基础。
【难度系数】
0.9
解答本题需结合角的构成及圆心角、圆周角的定义逐步思考：
1. 解决第(1)问时，先明确角由顶点和两条边组成，分别观察∠ABC的顶点位置，以及两条边与圆的位置关系，总结对应的特点即可。
2. 解决第(2)问时，先回忆圆心角的定义，再对比∠ABC的顶点位置，就能得出二者的核心不同之处。
【解析】
(1) 观察∠ABC的构成：它的顶点B在⊙O的圆周上，它的两条边分别为射线BA、射线BC，两条边在圆内部的部分是圆的两条弦BA、BC，即两边都与圆有除顶点外的另一个交点。
(2) 回忆圆心角的定义：顶点在圆心，两边都与圆相交的角叫做圆心角。对比∠ABC的特征可知，二者的核心区别是顶点位置不同：圆心角的顶点在圆的圆心处，而∠ABC的顶点在圆上。
【答案】
(1)顶点在圆上，角的两边在圆内的部分是圆的两条弦。
(2)圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上。
【知识点】
圆周角的定义；圆心角的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，主要考查对圆周角、圆心角定义的理解与区分，熟练掌握两类角的定义即可快速解题，是学习圆周角相关性质的基础。
【难度系数】
0.9
1.如图，$∠ APB$是圆周角的是(
D
)。答案
1.D
解析
【分析】
要判断哪个角是圆周角，首先需明确圆周角的两个判定条件：①角的顶点在圆上；②角的两条边都与圆相交（即每条边和圆都有除顶点外的另一个交点）。解题时只需对照这两个条件逐一排查每个选项即可得出正确答案。
【解析】
根据圆周角的定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角，对各选项逐一分析：
选项A：∠APB的顶点P在圆外，不满足“顶点在圆上”的条件，不是圆周角；
选项B：∠APB的顶点P在圆内，不满足“顶点在圆上”的条件，不是圆周角；
选项C：∠APB的边PB与圆只有P一个交点，不满足“两边都与圆相交”的条件，不是圆周角；
选项D：∠APB的顶点P在圆上，边PA交圆于A、P两点，边PB交圆于P、B两点，同时满足圆周角的两个判定条件，是圆周角。
【答案】
D
【知识点】
圆周角的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查对圆周角定义的掌握，只要牢记圆周角的两个判定特征，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
要判断哪个角是圆周角，首先需明确圆周角的两个判定条件：①角的顶点在圆上；②角的两条边都与圆相交（即每条边和圆都有除顶点外的另一个交点）。解题时只需对照这两个条件逐一排查每个选项即可得出正确答案。
【解析】
根据圆周角的定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角，对各选项逐一分析：
选项A：∠APB的顶点P在圆外，不满足“顶点在圆上”的条件，不是圆周角；
选项B：∠APB的顶点P在圆内，不满足“顶点在圆上”的条件，不是圆周角；
选项C：∠APB的边PB与圆只有P一个交点，不满足“两边都与圆相交”的条件，不是圆周角；
选项D：∠APB的顶点P在圆上，边PA交圆于A、P两点，边PB交圆于P、B两点，同时满足圆周角的两个判定条件，是圆周角。
【答案】
D
【知识点】
圆周角的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查对圆周角定义的掌握，只要牢记圆周角的两个判定特征，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
2.如图，图中的圆周角共有
4
个，其中$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角是∠A,∠D
。答案
2. 4；∠A,∠D
解析
【分析】
解题时先回忆圆周角的定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角，两个构成条件缺一不可。第一步先找所有符合圆周角定义的角：首先排除顶点不在圆周上的点（圆心O、弦的交点H），仅对顶点在圆周上的A、B、C、D四个点逐个排查，判断每个点处的角是否满足两边都与圆相交，数出总个数。第二步找$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，依据同弧所对圆周角的特征：角的两边分别经过弧的两个端点，顶点在弧的异侧的圆周上，据此找到对应的角即可。
【解析】
1. 数圆周角的个数：
根据圆周角的定义，顶点需在圆上，且两边都和圆相交：
顶点A处的$∠ A$（即$∠ CAB$），顶点在圆上，两边AC、AB均与圆相交，是圆周角；
顶点C处的$∠ C$（即$∠ ACD$），顶点在圆上，两边CA、CD均与圆相交，是圆周角；
顶点B处的$∠ B$（即$∠ ABD$），顶点在圆上，两边BA、BD均与圆相交，是圆周角；
顶点D处的$∠ D$（即$∠ BDC$），顶点在圆上，两边DB、DC均与圆相交，是圆周角。
因此共有4个圆周角。
2. 找$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角：
弧对应的圆周角，两边分别经过弧的两个端点，顶点在弧的异侧。$\overset{\frown}{BC}$的两个端点为B、C，符合条件的顶点为A、D，对应的圆周角是$∠ A$和$∠ D$。
【答案】
4；$∠ A$,$∠ D$
【知识点】
圆周角的定义；同弧所对圆周角
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点是对圆周角定义的掌握，解题时注意不要误将顶点在圆心、弦上的角算成圆周角，同时要明确弧和圆周角的对应关系。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆圆周角的定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角，两个构成条件缺一不可。第一步先找所有符合圆周角定义的角：首先排除顶点不在圆周上的点（圆心O、弦的交点H），仅对顶点在圆周上的A、B、C、D四个点逐个排查，判断每个点处的角是否满足两边都与圆相交，数出总个数。第二步找$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，依据同弧所对圆周角的特征：角的两边分别经过弧的两个端点，顶点在弧的异侧的圆周上，据此找到对应的角即可。
【解析】
1. 数圆周角的个数：
根据圆周角的定义，顶点需在圆上，且两边都和圆相交：
顶点A处的$∠ A$（即$∠ CAB$），顶点在圆上，两边AC、AB均与圆相交，是圆周角；
顶点C处的$∠ C$（即$∠ ACD$），顶点在圆上，两边CA、CD均与圆相交，是圆周角；
顶点B处的$∠ B$（即$∠ ABD$），顶点在圆上，两边BA、BD均与圆相交，是圆周角；
顶点D处的$∠ D$（即$∠ BDC$），顶点在圆上，两边DB、DC均与圆相交，是圆周角。
因此共有4个圆周角。
2. 找$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角：
弧对应的圆周角，两边分别经过弧的两个端点，顶点在弧的异侧。$\overset{\frown}{BC}$的两个端点为B、C，符合条件的顶点为A、D，对应的圆周角是$∠ A$和$∠ D$。
【答案】
4；$∠ A$,$∠ D$
【知识点】
圆周角的定义；同弧所对圆周角
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点是对圆周角定义的掌握，解题时注意不要误将顶点在圆心、弦上的角算成圆周角，同时要明确弧和圆周角的对应关系。
【难度系数】
0.8
思考2.任意画一个$\odot O$，在圆上任取三点A,B,C，连接AB,AC。
(1)圆心O与$∠ BAC$可能存在几种位置关系？
(2)连接OB,OC，猜想：$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角$∠ BAC$与圆心角$∠ BOC$有什么关系？
(1)圆心O与$∠ BAC$可能存在几种位置关系？
(2)连接OB,OC，猜想：$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角$∠ BAC$与圆心角$∠ BOC$有什么关系？
答案
2.(1)圆心O在∠BAC的外部、内部或边上。
(2)$∠BAC=\frac{1}{2}∠BOC$。
(2)$∠BAC=\frac{1}{2}∠BOC$。
解析
【分析】
(1) 思考时可先固定圆周角∠BAC的两边，改变圆心O的位置：首先考虑最特殊的情况，圆心刚好落在∠BAC的某一条边上（如AB边经过圆心O）；其次考虑圆心在∠BAC两条边所夹的区域内，即内部；最后考虑圆心在∠BAC两条边所夹区域外，即外部，共三种位置关系，无其他可能。
(2) 要探究∠BAC和∠BOC的关系，需结合第一问的三种位置关系分类证明：每种情况均可利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形外角等于不相邻两内角和的性质推导，最终验证三种情况都满足相同的数量关系。
【解析】
(1) 圆心O与∠BAC的位置关系共有3种：
① 圆心O在∠BAC的边上；
② 圆心O在∠BAC的内部；
③ 圆心O在∠BAC的外部。
(2) 分三种情况证明数量关系：
① 当圆心O在∠BAC的边上（如在AB边上）时：
∵ OA=OC（同圆半径相等），
∴ ∠BAC=∠OCA。
∵ ∠BOC是△AOC的外角，
∴ ∠BOC=∠BAC+∠OCA=2∠BAC，
即$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC$。
② 当圆心O在∠BAC的内部时：
过点A作直径AD，同理可得：
$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BOD$，$∠ CAD=\frac{1}{2}∠ COD$，
∴ $∠ BAC=∠ BAD+∠ CAD=\frac{1}{2}(∠ BOD+∠ COD)=\frac{1}{2}∠ BOC$。
③ 当圆心O在∠BAC的外部时：
过点A作直径AD，同理可得：
$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BOD$，$∠ CAD=\frac{1}{2}∠ COD$，
∴ $∠ BAC=∠ BAD-∠ CAD=\frac{1}{2}(∠ BOD-∠ COD)=\frac{1}{2}∠ BOC$。
综上，三种位置下均有$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC$。
【答案】
(1) 共3种位置关系：圆心O在∠BAC的边上、内部、外部；
(2) $∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC$
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 分类讨论思想
3. 等腰三角形性质
【点评】
本题是圆周角定理的推导类基础题，通过分类讨论圆心与圆周角的位置关系，逐步推导得出圆周角与对应圆心角的数量关系，帮助学生理解分类讨论思想在几何证明中的必要性，夯实圆周角定理的推导逻辑。
【难度系数】
0.7
(1) 思考时可先固定圆周角∠BAC的两边，改变圆心O的位置：首先考虑最特殊的情况，圆心刚好落在∠BAC的某一条边上（如AB边经过圆心O）；其次考虑圆心在∠BAC两条边所夹的区域内，即内部；最后考虑圆心在∠BAC两条边所夹区域外，即外部，共三种位置关系，无其他可能。
(2) 要探究∠BAC和∠BOC的关系，需结合第一问的三种位置关系分类证明：每种情况均可利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形外角等于不相邻两内角和的性质推导，最终验证三种情况都满足相同的数量关系。
【解析】
(1) 圆心O与∠BAC的位置关系共有3种：
① 圆心O在∠BAC的边上；
② 圆心O在∠BAC的内部；
③ 圆心O在∠BAC的外部。
(2) 分三种情况证明数量关系：
① 当圆心O在∠BAC的边上（如在AB边上）时：
∵ OA=OC（同圆半径相等），
∴ ∠BAC=∠OCA。
∵ ∠BOC是△AOC的外角，
∴ ∠BOC=∠BAC+∠OCA=2∠BAC，
即$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC$。
② 当圆心O在∠BAC的内部时：
过点A作直径AD，同理可得：
$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BOD$，$∠ CAD=\frac{1}{2}∠ COD$，
∴ $∠ BAC=∠ BAD+∠ CAD=\frac{1}{2}(∠ BOD+∠ COD)=\frac{1}{2}∠ BOC$。
③ 当圆心O在∠BAC的外部时：
过点A作直径AD，同理可得：
$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BOD$，$∠ CAD=\frac{1}{2}∠ COD$，
∴ $∠ BAC=∠ BAD-∠ CAD=\frac{1}{2}(∠ BOD-∠ COD)=\frac{1}{2}∠ BOC$。
综上，三种位置下均有$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC$。
【答案】
(1) 共3种位置关系：圆心O在∠BAC的边上、内部、外部；
(2) $∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC$
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 分类讨论思想
3. 等腰三角形性质
【点评】
本题是圆周角定理的推导类基础题，通过分类讨论圆心与圆周角的位置关系，逐步推导得出圆周角与对应圆心角的数量关系，帮助学生理解分类讨论思想在几何证明中的必要性，夯实圆周角定理的推导逻辑。
【难度系数】
0.7
3.如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是（
A.22°
B.26°
C.32°
D.68°
A
）。A.22°
B.26°
C.32°
D.68°
答案
3.A
解析
【分析】
本题需要结合圆周角定理和等腰三角形的性质求解角度。第一步先明确同弧所对的圆周角和圆心角的关系，已知圆周角∠A的度数，可先求出对应的圆心角∠BOC的度数；第二步，因为OB、OC都是圆的半径，长度相等，所以△OBC是等腰三角形，两个底角∠OBC和∠OCB相等，最后结合三角形内角和为180°，即可计算出∠OBC的度数。
【解析】
解：
∵∠BAC和∠BOC分别是弧BC所对的圆周角和圆心角
∴根据圆周角定理，得$∠ BOC=2∠ BAC$
∵$∠ BAC=68°$
∴$∠ BOC=2×68°=136°$
又
∵OB、OC是$\odot O$的半径
∴$OB=OC$，即$△ OBC$是等腰三角形，$∠ OBC=∠ OCB$
根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ OBC=(180°-∠ BOC)÷2=(180°-136°)÷2=22°$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是找准同弧对应的圆周角和圆心角，结合等腰三角形的角度计算规律求解，是圆周角相关知识点的典型基础应用题型。
【难度系数】
0.85
本题需要结合圆周角定理和等腰三角形的性质求解角度。第一步先明确同弧所对的圆周角和圆心角的关系，已知圆周角∠A的度数，可先求出对应的圆心角∠BOC的度数；第二步，因为OB、OC都是圆的半径，长度相等，所以△OBC是等腰三角形，两个底角∠OBC和∠OCB相等，最后结合三角形内角和为180°，即可计算出∠OBC的度数。
【解析】
解：
∵∠BAC和∠BOC分别是弧BC所对的圆周角和圆心角
∴根据圆周角定理，得$∠ BOC=2∠ BAC$
∵$∠ BAC=68°$
∴$∠ BOC=2×68°=136°$
又
∵OB、OC是$\odot O$的半径
∴$OB=OC$，即$△ OBC$是等腰三角形，$∠ OBC=∠ OCB$
根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ OBC=(180°-∠ BOC)÷2=(180°-136°)÷2=22°$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是找准同弧对应的圆周角和圆心角，结合等腰三角形的角度计算规律求解，是圆周角相关知识点的典型基础应用题型。
【难度系数】
0.85
