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9.如图，在$\odot O$中，$AB = AC$，$OM ⊥ AB$，$ON ⊥ AC$，垂足为$D$，$E$。
(1)求证：$\overset{\frown}{BM} = \overset{\frown}{CN}$；
(2)若$\odot O$的半径为5，$AB = 8$，求线段$EN$的长。
(1)求证：$\overset{\frown}{BM} = \overset{\frown}{CN}$；
(2)若$\odot O$的半径为5，$AB = 8$，求线段$EN$的长。
答案
9. (1)证明:因为$AB=AC$，
所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$。
因为$OM⊥AB$,$ON⊥AC$，
所以$\overset{\frown}{BM}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$,$\overset{\frown}{CN}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}$。
所以$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CN}$。
(2)2
所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$。
因为$OM⊥AB$,$ON⊥AC$，
所以$\overset{\frown}{BM}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$,$\overset{\frown}{CN}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}$。
所以$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CN}$。
(2)2
解析
【分析】
(1)要证明$\overset{\frown}{BM} = \overset{\frown}{CN}$，首先根据同圆中相等的弦对应相等的弧，由$AB=AC$可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$；再结合垂径定理：垂直于弦的半径平分弦所对的弧，可知$OM$平分$\overset{\frown}{AB}$、$ON$平分$\overset{\frown}{AC}$，则两条弧的一半也相等，即可完成证明。
(2)求$EN$的长，已知$ON$是圆的半径为5，只需要求出$OE$的长度即可。由$AB=AC=8$，$ON⊥ AC$，根据垂径定理可得$AE$是$AC$的一半为4，在直角三角形$AOE$中，已知斜边$OA=5$、直角边$AE=4$，用勾股定理可算出$OE$的长度，再用$ON$减去$OE$就能得到$EN$的长。
【解析】
(1)证明：
$\because$在$\odot O$中，$AB=AC$，
$\therefore$根据同圆中等弦对等弧，得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$。
$\because OM⊥ AB$，$OM$是$\odot O$的半径，由垂径定理可得，
$\therefore \overset{\frown}{BM}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$，
同理，$ON⊥ AC$，可得$\overset{\frown}{CN}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}$，
$\therefore \overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CN}$。
(2)解：
$\because AB=AC=8$，$ON⊥ AC$，$ON$是$\odot O$的半径，
根据垂径定理，$E$为$AC$的中点，
$\therefore AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4$。
在$Rt△ AOE$中，$OA=5$，$AE=4$，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$，
又$\because ON$是$\odot O$的半径，$\therefore ON=5$，
$\therefore EN=ON-OE=5-3=2$。
【答案】
(1)证明过程见上述解析；(2)$\boldsymbol{2}$
【知识点】
垂径定理，弧弦的关系，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础应用类题目，主要考查垂径定理、同圆中弧与弦的对应关系的运用，第二问结合勾股定理计算线段长度，解题时注意将圆的性质和直角三角形的计算结合即可，整体难度较低。
【难度系数】
0.75
(1)要证明$\overset{\frown}{BM} = \overset{\frown}{CN}$，首先根据同圆中相等的弦对应相等的弧，由$AB=AC$可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$；再结合垂径定理：垂直于弦的半径平分弦所对的弧，可知$OM$平分$\overset{\frown}{AB}$、$ON$平分$\overset{\frown}{AC}$，则两条弧的一半也相等，即可完成证明。
(2)求$EN$的长，已知$ON$是圆的半径为5，只需要求出$OE$的长度即可。由$AB=AC=8$，$ON⊥ AC$，根据垂径定理可得$AE$是$AC$的一半为4，在直角三角形$AOE$中，已知斜边$OA=5$、直角边$AE=4$，用勾股定理可算出$OE$的长度，再用$ON$减去$OE$就能得到$EN$的长。
【解析】
(1)证明：
$\because$在$\odot O$中，$AB=AC$，
$\therefore$根据同圆中等弦对等弧，得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$。
$\because OM⊥ AB$，$OM$是$\odot O$的半径，由垂径定理可得，
$\therefore \overset{\frown}{BM}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$，
同理，$ON⊥ AC$，可得$\overset{\frown}{CN}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}$，
$\therefore \overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CN}$。
(2)解：
$\because AB=AC=8$，$ON⊥ AC$，$ON$是$\odot O$的半径，
根据垂径定理，$E$为$AC$的中点，
$\therefore AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4$。
在$Rt△ AOE$中，$OA=5$，$AE=4$，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$，
又$\because ON$是$\odot O$的半径，$\therefore ON=5$，
$\therefore EN=ON-OE=5-3=2$。
【答案】
(1)证明过程见上述解析；(2)$\boldsymbol{2}$
【知识点】
垂径定理，弧弦的关系，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础应用类题目，主要考查垂径定理、同圆中弧与弦的对应关系的运用，第二问结合勾股定理计算线段长度，解题时注意将圆的性质和直角三角形的计算结合即可，整体难度较低。
【难度系数】
0.75
10.小亮在完成作业“如图①，$∠ AOB=90°$，C，D是以点O为圆心的$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，弦AB分别交OC，OD于点E，F，求证：$AE=BF=CD$”的基础上，做了如下尝试：如图②，“把$∠ AOB=90°$改为$∠ AOB=120°$，其他不变”，证明成功后，大胆猜想：“如图③，$∠ AOB=n°$，C，D是以点O为圆心的$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，弦AB分别交OC，OD于点E，F，求证：$AE=BF=CD$”。请写出小亮“尝试”和“猜想”的证明过程。
答案
10. 证明:尝试:在题图②上,连接$AC$,$BD$,
因为在$\odot O$中,$∠AOB=120°$,$C$,$D$为以点$O$为圆心的$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
所以$∠AOC=\frac{1}{3}∠AOB=\frac{1}{3}×120°=40°$。
因为$OA=OB$,
所以$∠OAB=∠OBA=30°$。
因为$∠AOC=∠BOD=40°$,
所以$∠AEC=∠OAB+∠AOC=30°+40°=70°$。
因为$OA=OC$,$∠AOC=40°$,
所以$∠ACE=70°$。
所以$∠ACE=∠AEC$,
所以$AC=AE$,同理$BF=BD$。
因为$C$,$D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
所以$AC=CD=BD$。
所以$AE=BF=CD$。
猜想:在题图③上,连接$AC$,$BD$,
因为在$\odot O$中,$∠AOB=n°$,$C$,$D$为以点$O$为圆心的$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
所以$∠AOC=\frac{1}{3}∠AOB=\frac{1}{3}×n°=(\frac{n}{3})°$。
因为$OA=OB$,
所以$∠OAB=∠OBA=(\frac{180-n}{2})°$。
因为$∠AOC=∠BOD=(\frac{n}{3})°$,
所以$∠AEC=∠OAB+∠AOC=(\frac{n}{3}+\frac{180-n}{2})°=(90-\frac{n}{6})°$。
因为$OA=OC$,$∠AOC=(\frac{n}{3})°$,
所以$∠ACE=(\frac{180-\frac{n}{3}}{2})°=(90-\frac{n}{6})°$。
所以$∠ACE=∠AEC$。
所以$AC=AE$,同理$BF=BD$。
因为$C$,$D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
所以$AC=CD=BD$。
所以$AE=BF=CD$。
因为在$\odot O$中,$∠AOB=120°$,$C$,$D$为以点$O$为圆心的$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
所以$∠AOC=\frac{1}{3}∠AOB=\frac{1}{3}×120°=40°$。
因为$OA=OB$,
所以$∠OAB=∠OBA=30°$。
因为$∠AOC=∠BOD=40°$,
所以$∠AEC=∠OAB+∠AOC=30°+40°=70°$。
因为$OA=OC$,$∠AOC=40°$,
所以$∠ACE=70°$。
所以$∠ACE=∠AEC$,
所以$AC=AE$,同理$BF=BD$。
因为$C$,$D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
所以$AC=CD=BD$。
所以$AE=BF=CD$。
猜想:在题图③上,连接$AC$,$BD$,
因为在$\odot O$中,$∠AOB=n°$,$C$,$D$为以点$O$为圆心的$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
所以$∠AOC=\frac{1}{3}∠AOB=\frac{1}{3}×n°=(\frac{n}{3})°$。
因为$OA=OB$,
所以$∠OAB=∠OBA=(\frac{180-n}{2})°$。
因为$∠AOC=∠BOD=(\frac{n}{3})°$,
所以$∠AEC=∠OAB+∠AOC=(\frac{n}{3}+\frac{180-n}{2})°=(90-\frac{n}{6})°$。
因为$OA=OC$,$∠AOC=(\frac{n}{3})°$,
所以$∠ACE=(\frac{180-\frac{n}{3}}{2})°=(90-\frac{n}{6})°$。
所以$∠ACE=∠AEC$。
所以$AC=AE$,同理$BF=BD$。
因为$C$,$D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
所以$AC=CD=BD$。
所以$AE=BF=CD$。
解析
【分析】
要证明$AE=BF=CD$，可先利用弧的三等分点性质得到$AC=CD=BD$，只需再证明$AE=AC$、$BF=BD$即可。解题时先连接辅助线$AC$、$BD$，先根据三等分点求出$∠ AOC$的度数，再结合等腰$△ OAB$的底角$∠ OAB$的度数，利用三角形外角性质求出$∠ AEC$的度数；再计算等腰$△ OAC$的底角$∠ ACE$的度数，得到$∠ ACE=∠ AEC$，根据等角对等边得$AE=AC$，同理得$BF=BD$，最后通过等量代换即可得证。尝试是$n=120$的特殊情况，猜想是推广到一般$n°$的情况，二者证明思路一致，仅角度计算时代入数值或字母即可。
【解析】
尝试的证明：
连接$AC$，$BD$。
∵ 在$\odot O$中，$∠ AOB=120°$，$C$、$D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，$∠ AOC=\frac{1}{3}∠ AOB=\frac{1}{3}×120°=40°$，且$AC=CD=BD$。
∵ $OA=OB$，$∠ AOB=120°$，
∴ $∠ OAB=∠ OBA=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
∵ $∠ AEC$是$△ AEO$的外角，
∴ $∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=30°+40°=70°$。
∵ $OA=OC$，$∠ AOC=40°$，
∴ $∠ ACE=∠ OAC=\frac{180°-40°}{2}=70°$。
∴ $∠ ACE=∠ AEC$，
∴ $AC=AE$。
同理可证：$BF=BD$。
又
∵ $AC=CD=BD$，
∴ $AE=BF=CD$。
猜想的证明：
连接$AC$，$BD$。
∵ 在$\odot O$中，$∠ AOB=n°$，$C$、$D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，$∠ AOC=\frac{1}{3}∠ AOB=(\frac{n}{3})°$，且$AC=CD=BD$。
∵ $OA=OB$，$∠ AOB=n°$，
∴ $∠ OAB=∠ OBA=\frac{180°-n°}{2}=(\frac{180-n}{2})°$。
∵ $∠ AEC$是$△ AEO$的外角，
∴ $∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=(\frac{n}{3}+\frac{180-n}{2})°=(90-\frac{n}{6})°$。
∵ $OA=OC$，$∠ AOC=(\frac{n}{3})°$，
∴ $∠ ACE=∠ OAC=\frac{180°-(\frac{n}{3})°}{2}=(90-\frac{n}{6})°$。
∴ $∠ ACE=∠ AEC$，
∴ $AC=AE$。
同理可证：$BF=BD$。
又
∵ $AC=CD=BD$，
∴ $AE=BF=CD$。
【答案】
尝试和猜想的证明过程见上述解析。
【知识点】
1. 圆心角、弧、弦的关系
2. 等腰三角形的判定与性质
3. 三角形外角的性质
【点评】
本题是圆的性质与三角形知识的综合应用，解题核心是通过作辅助线将待证的线段相等问题转化为等弧对等弦、等角对等边的问题，从特殊角度到一般角度的探究过程也体现了从特殊到一般的数学思维方法。
【难度系数】
0.6
要证明$AE=BF=CD$，可先利用弧的三等分点性质得到$AC=CD=BD$，只需再证明$AE=AC$、$BF=BD$即可。解题时先连接辅助线$AC$、$BD$，先根据三等分点求出$∠ AOC$的度数，再结合等腰$△ OAB$的底角$∠ OAB$的度数，利用三角形外角性质求出$∠ AEC$的度数；再计算等腰$△ OAC$的底角$∠ ACE$的度数，得到$∠ ACE=∠ AEC$，根据等角对等边得$AE=AC$，同理得$BF=BD$，最后通过等量代换即可得证。尝试是$n=120$的特殊情况，猜想是推广到一般$n°$的情况，二者证明思路一致，仅角度计算时代入数值或字母即可。
【解析】
尝试的证明：
连接$AC$，$BD$。
∵ 在$\odot O$中，$∠ AOB=120°$，$C$、$D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，$∠ AOC=\frac{1}{3}∠ AOB=\frac{1}{3}×120°=40°$，且$AC=CD=BD$。
∵ $OA=OB$，$∠ AOB=120°$，
∴ $∠ OAB=∠ OBA=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
∵ $∠ AEC$是$△ AEO$的外角，
∴ $∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=30°+40°=70°$。
∵ $OA=OC$，$∠ AOC=40°$，
∴ $∠ ACE=∠ OAC=\frac{180°-40°}{2}=70°$。
∴ $∠ ACE=∠ AEC$，
∴ $AC=AE$。
同理可证：$BF=BD$。
又
∵ $AC=CD=BD$，
∴ $AE=BF=CD$。
猜想的证明：
连接$AC$，$BD$。
∵ 在$\odot O$中，$∠ AOB=n°$，$C$、$D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，$∠ AOC=\frac{1}{3}∠ AOB=(\frac{n}{3})°$，且$AC=CD=BD$。
∵ $OA=OB$，$∠ AOB=n°$，
∴ $∠ OAB=∠ OBA=\frac{180°-n°}{2}=(\frac{180-n}{2})°$。
∵ $∠ AEC$是$△ AEO$的外角，
∴ $∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=(\frac{n}{3}+\frac{180-n}{2})°=(90-\frac{n}{6})°$。
∵ $OA=OC$，$∠ AOC=(\frac{n}{3})°$，
∴ $∠ ACE=∠ OAC=\frac{180°-(\frac{n}{3})°}{2}=(90-\frac{n}{6})°$。
∴ $∠ ACE=∠ AEC$，
∴ $AC=AE$。
同理可证：$BF=BD$。
又
∵ $AC=CD=BD$，
∴ $AE=BF=CD$。
【答案】
尝试和猜想的证明过程见上述解析。
【知识点】
1. 圆心角、弧、弦的关系
2. 等腰三角形的判定与性质
3. 三角形外角的性质
【点评】
本题是圆的性质与三角形知识的综合应用，解题核心是通过作辅助线将待证的线段相等问题转化为等弧对等弦、等角对等边的问题，从特殊角度到一般角度的探究过程也体现了从特殊到一般的数学思维方法。
【难度系数】
0.6
