登录
3.下列四种说法：
①等弧所对的圆心角相等；②两个圆心角相等，它们所对的弧也相等；③两条弦相等，它们所对的圆心角相等；④在等圆中，圆心角相等，它们所对的弦也相等。其中正确的有
①等弧所对的圆心角相等；②两个圆心角相等，它们所对的弧也相等；③两条弦相等，它们所对的圆心角相等；④在等圆中，圆心角相等，它们所对的弦也相等。其中正确的有
①④
（填序号）。答案
3. ①④
解析
【分析】
解此类题目首先要明确圆心角、弧、弦相等关系的核心前提：只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等，反之相等的弧或弦对应的圆心角才相等，缺少该前提的结论均不成立。同时注意等弧的定义本身就隐含了“同圆或等圆中能完全重合”的条件，因此涉及等弧的对应关系无需额外说明前提，接下来逐个判断四个说法即可。
【解析】
①等弧是指在同圆或等圆中能够完全重合的弧，本身满足同圆或等圆的前提，因此等弧所对的圆心角相等，该说法正确；
②该说法未提及“同圆或等圆”的前提，比如半径不同的两个圆中，同为90°的圆心角所对的弧长度明显不同，因此说法错误；
③该说法未提及“同圆或等圆”的前提，半径不同的圆中长度相等的弦，对应的圆心角并不相等，因此说法错误；
④该说法明确给出“在等圆中”的前提，符合圆心角与弦的关系定理，此时圆心角相等，所对的弦也相等，说法正确。
综上，正确的是①④。
【答案】
①④
【知识点】
1.圆心角、弧、弦的关系 2.等弧的定义
【点评】
本题易因忽略“同圆或等圆”这个前提条件误选②③，解题时要注意定理的适用范围，涉及弧、弦、圆心角的相等关系时，先确认是否满足前提条件。
【难度系数】
0.7
解此类题目首先要明确圆心角、弧、弦相等关系的核心前提：只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等，反之相等的弧或弦对应的圆心角才相等，缺少该前提的结论均不成立。同时注意等弧的定义本身就隐含了“同圆或等圆中能完全重合”的条件，因此涉及等弧的对应关系无需额外说明前提，接下来逐个判断四个说法即可。
【解析】
①等弧是指在同圆或等圆中能够完全重合的弧，本身满足同圆或等圆的前提，因此等弧所对的圆心角相等，该说法正确；
②该说法未提及“同圆或等圆”的前提，比如半径不同的两个圆中，同为90°的圆心角所对的弧长度明显不同，因此说法错误；
③该说法未提及“同圆或等圆”的前提，半径不同的圆中长度相等的弦，对应的圆心角并不相等，因此说法错误；
④该说法明确给出“在等圆中”的前提，符合圆心角与弦的关系定理，此时圆心角相等，所对的弦也相等，说法正确。
综上，正确的是①④。
【答案】
①④
【知识点】
1.圆心角、弧、弦的关系 2.等弧的定义
【点评】
本题易因忽略“同圆或等圆”这个前提条件误选②③，解题时要注意定理的适用范围，涉及弧、弦、圆心角的相等关系时，先确认是否满足前提条件。
【难度系数】
0.7
1. 如图，AB是$\odot O$的一条弦，且$AB=OA$，则弦AB所对的圆心角是（
A.$60°$或$120°$
B.$60°$
C.$30°$或$150°$
D.$90°$
B
）。A.$60°$或$120°$
B.$60°$
C.$30°$或$150°$
D.$90°$
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先利用圆的性质：同圆的所有半径相等，可得OA=OB，结合题目给出的AB=OA，可推出△OAB的三条边长度相等，即可判定△OAB为等边三角形，再根据等边三角形的内角特点，就能求出弦AB对应的圆心角∠AOB的度数。注意本题明确求圆心角，不要和圆周角的两种情况混淆。
【解析】
∵OA、OB都是⊙O的半径，
∴OA=OB，
又
∵AB=OA，
∴OA=OB=AB，即△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，即弦AB所对的圆心角为60°。
【答案】
B
【知识点】
圆的基本性质，等边三角形的判定与性质，圆心角的定义
【点评】
本题是基础类题型，解题的切入点是结合圆的半径相等的性质和已知边长相等的条件，判断出等边三角形，解题时注意明确题目所求为圆心角，避免和圆周角的多解情况混淆而错选。
【难度系数】
0.85
解题时首先利用圆的性质：同圆的所有半径相等，可得OA=OB，结合题目给出的AB=OA，可推出△OAB的三条边长度相等，即可判定△OAB为等边三角形，再根据等边三角形的内角特点，就能求出弦AB对应的圆心角∠AOB的度数。注意本题明确求圆心角，不要和圆周角的两种情况混淆。
【解析】
∵OA、OB都是⊙O的半径，
∴OA=OB，
又
∵AB=OA，
∴OA=OB=AB，即△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，即弦AB所对的圆心角为60°。
【答案】
B
【知识点】
圆的基本性质，等边三角形的判定与性质，圆心角的定义
【点评】
本题是基础类题型，解题的切入点是结合圆的半径相等的性质和已知边长相等的条件，判断出等边三角形，解题时注意明确题目所求为圆心角，避免和圆周角的多解情况混淆而错选。
【难度系数】
0.85
2.如图，AB是$\odot O$的直径，C，D是$\odot O$上的点，若$CD=BD$，$∠ AOC=120°$，则$∠ BOD$的度数为（
A.$20°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$60°$
B
）。A.$20°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$60°$
答案
2. B
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先AB是圆的直径，可得∠AOB是平角为180°，结合已知∠AOC的度数，可先算出∠COB的度数；再根据同圆中相等的弦对应的圆心角相等的性质，由CD=BD可知∠COD=∠BOD，即可推出∠BOD是∠COB的一半，代入数值计算即可得到答案。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径
∴$∠ AOB=180°$
∵$∠ AOC=120°$
∴$∠ COB=∠ AOB - ∠ AOC=180°-120°=60°$
∵在$\odot O$中，$CD=BD$
根据同圆中相等的弦所对的圆心角相等，可得$∠ COD=∠ BOD$
∴$∠ BOD=\frac{1}{2}∠ COB=\frac{1}{2}×60°=30°$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
1. 平角的定义
2. 同圆中弦与圆心角的关系
【点评】
本题是基础类考题，解题的关键是熟练掌握同圆中弦和对应圆心角的关系，结合平角的性质计算即可，是圆心角相关性质的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先AB是圆的直径，可得∠AOB是平角为180°，结合已知∠AOC的度数，可先算出∠COB的度数；再根据同圆中相等的弦对应的圆心角相等的性质，由CD=BD可知∠COD=∠BOD，即可推出∠BOD是∠COB的一半，代入数值计算即可得到答案。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径
∴$∠ AOB=180°$
∵$∠ AOC=120°$
∴$∠ COB=∠ AOB - ∠ AOC=180°-120°=60°$
∵在$\odot O$中，$CD=BD$
根据同圆中相等的弦所对的圆心角相等，可得$∠ COD=∠ BOD$
∴$∠ BOD=\frac{1}{2}∠ COB=\frac{1}{2}×60°=30°$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
1. 平角的定义
2. 同圆中弦与圆心角的关系
【点评】
本题是基础类考题，解题的关键是熟练掌握同圆中弦和对应圆心角的关系，结合平角的性质计算即可，是圆心角相关性质的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}$,则下列结论中:
①$AB = CD$; ②$AC = BD$; ③$∠ AOC = ∠ BOD$; ④$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BD}$,
正确的是
①$AB = CD$; ②$AC = BD$; ③$∠ AOC = ∠ BOD$; ④$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BD}$,
正确的是
①②③④
(填序号)。答案
3. ①②③④
解析
【分析】
解题时首先回忆同圆中圆心角、弧、弦三者的关系定理：在同圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的圆心角也相等。首先由已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，先判断对应的弦AB和CD的关系，再通过两个等弧同时减去公共弧$\overset{\frown}{BC}$，得到$\overset{\frown}{AC}$和$\overset{\frown}{BD}$的关系，再依次推导对应的圆心角、弦的关系即可逐一验证四个结论是否正确。
【解析】
在$\odot O$中：
1. 已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，根据同圆中相等的弧所对的弦相等，可得$AB=CD$，故①正确；
2. 由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，同时减去公共弧$\overset{\frown}{BC}$，得$\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{BC}$，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，故④正确；
3. 根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，所以它们所对的圆心角$∠ AOC=∠ BOD$，故③正确；
4. 根据同圆中相等的弧所对的弦相等，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，可得$AC=BD$，故②正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
1. 圆心角、弧、弦的关系
2. 等式的基本性质
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查同圆中圆心角、弧、弦三者的对应相等关系，解题时从已知的等弧条件出发，通过减去公共弧得到新的等弧，再依次推导其余量的关系即可，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆同圆中圆心角、弧、弦三者的关系定理：在同圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的圆心角也相等。首先由已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，先判断对应的弦AB和CD的关系，再通过两个等弧同时减去公共弧$\overset{\frown}{BC}$，得到$\overset{\frown}{AC}$和$\overset{\frown}{BD}$的关系，再依次推导对应的圆心角、弦的关系即可逐一验证四个结论是否正确。
【解析】
在$\odot O$中：
1. 已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，根据同圆中相等的弧所对的弦相等，可得$AB=CD$，故①正确；
2. 由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，同时减去公共弧$\overset{\frown}{BC}$，得$\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{BC}$，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，故④正确；
3. 根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，所以它们所对的圆心角$∠ AOC=∠ BOD$，故③正确；
4. 根据同圆中相等的弧所对的弦相等，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，可得$AC=BD$，故②正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
1. 圆心角、弧、弦的关系
2. 等式的基本性质
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查同圆中圆心角、弧、弦三者的对应相等关系，解题时从已知的等弧条件出发，通过减去公共弧得到新的等弧，再依次推导其余量的关系即可，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
4.如图，CD是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是$\overset{\frown}{AD}$的中点，P为直线CD上的一个动点，当CD=4时，AP+BP的最小值为
$2\sqrt{2}$
。答案
4. $2\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题为圆背景下的最短路径问题，核心运用将军饮马模型求解。解题思路如下：1. 利用轴对称性质，作点A关于直线CD的对称点A'，根据轴对称特征，直线CD上任意点P都满足AP=A'P，因此AP+BP可转化为A'P+BP，当A'、P、B三点共线时，两线段和最小，最小值即为线段A'B的长度；2. 结合弧的等分关系求出∠A'OB的度数，再利用勾股定理计算A'B的长度即可得到结果。
【解析】
1. 作点A关于直线CD的对称点A'，由于CD是⊙O的对称轴，因此A'在⊙O上，连接A'B，与CD交于点P，此时AP+BP取得最小值，最小值为线段A'B的长度。
2. 已知CD是⊙O的直径，CD=4，因此⊙O的半径为2，即OA'=OB=2。
3. 计算圆心角度数：点A是上半圆的三等分点，因此弧AD对应的圆心角$∠ AOD=180°÷3=60°$，由轴对称性质得$∠ A'OD=∠ AOD=60°$；又B是$\overset{\frown}{AD}$的中点，因此弧BD对应的圆心角$∠ BOD=60°÷2=30°$。
4. 计算$∠ A'OB=∠ A'OD+∠ BOD=60°+30°=90°$，即$△ A'OB$为等腰直角三角形，由勾股定理得：
$A'B=\sqrt{OA'^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
轴对称最短路径；圆心角与弧的关系；勾股定理
【点评】
本题将将军饮马模型与圆的性质结合，解题关键是利用对称性转化线段，找到最短路径对应的线段，再结合圆中弧与圆心角的对应关系求出夹角，进而计算线段长度，是典型的几何最值综合题。
【难度系数】
0.6
本题为圆背景下的最短路径问题，核心运用将军饮马模型求解。解题思路如下：1. 利用轴对称性质，作点A关于直线CD的对称点A'，根据轴对称特征，直线CD上任意点P都满足AP=A'P，因此AP+BP可转化为A'P+BP，当A'、P、B三点共线时，两线段和最小，最小值即为线段A'B的长度；2. 结合弧的等分关系求出∠A'OB的度数，再利用勾股定理计算A'B的长度即可得到结果。
【解析】
1. 作点A关于直线CD的对称点A'，由于CD是⊙O的对称轴，因此A'在⊙O上，连接A'B，与CD交于点P，此时AP+BP取得最小值，最小值为线段A'B的长度。
2. 已知CD是⊙O的直径，CD=4，因此⊙O的半径为2，即OA'=OB=2。
3. 计算圆心角度数：点A是上半圆的三等分点，因此弧AD对应的圆心角$∠ AOD=180°÷3=60°$，由轴对称性质得$∠ A'OD=∠ AOD=60°$；又B是$\overset{\frown}{AD}$的中点，因此弧BD对应的圆心角$∠ BOD=60°÷2=30°$。
4. 计算$∠ A'OB=∠ A'OD+∠ BOD=60°+30°=90°$，即$△ A'OB$为等腰直角三角形，由勾股定理得：
$A'B=\sqrt{OA'^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
轴对称最短路径；圆心角与弧的关系；勾股定理
【点评】
本题将将军饮马模型与圆的性质结合，解题关键是利用对称性转化线段，找到最短路径对应的线段，再结合圆中弧与圆心角的对应关系求出夹角，进而计算线段长度，是典型的几何最值综合题。
【难度系数】
0.6
5.如图，$\odot O$中有弦AB，以AB为折痕对折，若劣弧恰好经过圆心O，则$∠ AOB$的度数是
$120°$
。答案
5. $120°$
解析
【分析】
遇到圆与折叠结合的题目，首先想到折叠的对称性：折叠前后对应点到折痕的距离相等。本题中劣弧AB对折后过圆心O，说明圆心O关于AB的对称点落在原劣弧AB上，由此可推出圆心O到弦AB的距离等于半径的$\frac{1}{2}$。接下来过圆心作AB的垂线构造直角三角形，利用半径和距离的数量关系，先求出半圆心角的度数，相加即可得到$∠ AOB$的总度数。
【解析】
过点O作$OC⊥ AB$于点C，设$\odot O$的半径为$r$。
$\because$ 将弦AB对折后，劣弧AB恰好经过圆心O，
$\therefore$ 点O关于AB的对称点在劣弧AB上，因此$OC=\frac{1}{2}r$。
在$Rt△ OAC$中，$OA=r$，$OC=\frac{1}{2}r$，
$\therefore \cos∠ AOC=\frac{OC}{OA}=\frac{\frac{1}{2}r}{r}=\frac{1}{2}$，
$\therefore ∠ AOC=60°$。
同理可得$∠ BOC=60°$，
$\therefore ∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC=60°+60°=120°$。
【答案】
$120°$
【知识点】
折叠的性质，垂径定理，直角三角形性质
【点评】
本题是圆与折叠结合的典型基础题，解题的关键是结合折叠的对称性得出圆心到弦的距离与半径的数量关系，再构造直角三角形求解角度，能够很好地考查学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
遇到圆与折叠结合的题目，首先想到折叠的对称性：折叠前后对应点到折痕的距离相等。本题中劣弧AB对折后过圆心O，说明圆心O关于AB的对称点落在原劣弧AB上，由此可推出圆心O到弦AB的距离等于半径的$\frac{1}{2}$。接下来过圆心作AB的垂线构造直角三角形，利用半径和距离的数量关系，先求出半圆心角的度数，相加即可得到$∠ AOB$的总度数。
【解析】
过点O作$OC⊥ AB$于点C，设$\odot O$的半径为$r$。
$\because$ 将弦AB对折后，劣弧AB恰好经过圆心O，
$\therefore$ 点O关于AB的对称点在劣弧AB上，因此$OC=\frac{1}{2}r$。
在$Rt△ OAC$中，$OA=r$，$OC=\frac{1}{2}r$，
$\therefore \cos∠ AOC=\frac{OC}{OA}=\frac{\frac{1}{2}r}{r}=\frac{1}{2}$，
$\therefore ∠ AOC=60°$。
同理可得$∠ BOC=60°$，
$\therefore ∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC=60°+60°=120°$。
【答案】
$120°$
【知识点】
折叠的性质，垂径定理，直角三角形性质
【点评】
本题是圆与折叠结合的典型基础题，解题的关键是结合折叠的对称性得出圆心到弦的距离与半径的数量关系，再构造直角三角形求解角度，能够很好地考查学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
6.如图，$\odot O$的弦AB，CD相交于点E，且AB=CD。求证：
(1)$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}$；
(2)$EB=ED$。
(1)$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}$；
(2)$EB=ED$。
答案
证明：
(1) 在$\odot O$中，
$\because AB=CD$，
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore \overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{AC}$，
即$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}$。
(2) $\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}$，
$\therefore ∠ BDC = ∠ ABD$，即$∠ BDE = ∠ DBE$，
$\therefore EB=ED$。
(1) 在$\odot O$中，
$\because AB=CD$，
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore \overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{AC}$，
即$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}$。
(2) $\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}$，
$\therefore ∠ BDC = ∠ ABD$，即$∠ BDE = ∠ DBE$，
$\therefore EB=ED$。
解析
【分析】
(1) 要证$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}$，先根据同圆中等弦对等弧的性质，由已知$AB=CD$得到$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，观察到两段弧有公共部分$\overset{\frown}{AC}$，将相等的弧同时减去公共弧，即可得到要证的等弧。
(2) 要证$EB=ED$，可转化为证明$∠ DBE=∠ BDE$，这两个角都是圆周角，分别对应$\overset{\frown}{AD}$和$\overset{\frown}{BC}$，结合第一问的结论，利用同圆中等弧对等圆周角的性质得到两角相等，再根据等角对等边即可得证。
【解析】
证明：
(1) 在$\odot O$中，
$\because AB=CD$，
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore \overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{AC}$，
即$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}$。
(2) $\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}$，
$\therefore ∠ BDC = ∠ ABD$，即$∠ BDE = ∠ DBE$，
$\therefore EB=ED$。
【答案】
(1) 已证$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}$；
(2) 已证$EB=ED$。
【知识点】
弧弦的关系、圆周角定理、等腰三角形判定
【点评】
本题是圆的基础性质的典型考题，重点考查同圆中弧、弦、圆周角的等量转化规律，解题的核心是熟练掌握圆中相关元素的对应等量关系。
【难度系数】
0.8
(1) 要证$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}$，先根据同圆中等弦对等弧的性质，由已知$AB=CD$得到$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，观察到两段弧有公共部分$\overset{\frown}{AC}$，将相等的弧同时减去公共弧，即可得到要证的等弧。
(2) 要证$EB=ED$，可转化为证明$∠ DBE=∠ BDE$，这两个角都是圆周角，分别对应$\overset{\frown}{AD}$和$\overset{\frown}{BC}$，结合第一问的结论，利用同圆中等弧对等圆周角的性质得到两角相等，再根据等角对等边即可得证。
【解析】
证明：
(1) 在$\odot O$中，
$\because AB=CD$，
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore \overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{AC}$，
即$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}$。
(2) $\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}$，
$\therefore ∠ BDC = ∠ ABD$，即$∠ BDE = ∠ DBE$，
$\therefore EB=ED$。
【答案】
(1) 已证$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}$；
(2) 已证$EB=ED$。
【知识点】
弧弦的关系、圆周角定理、等腰三角形判定
【点评】
本题是圆的基础性质的典型考题，重点考查同圆中弧、弦、圆周角的等量转化规律，解题的核心是熟练掌握圆中相关元素的对应等量关系。
【难度系数】
0.8
7.如图,在$\odot O$中,$∠ AOB=2∠ COD$,判断AB与2CD的大小关系,并证明。
答案
7. 解:$AB＜2CD$。证明:如图，取弧AB的中点E，连接AE，BE，OE。
因为$∠AOB=2∠COD$，
所以 $∠AOE = ∠BOE = ∠COD$。
所以 $AE=BE=CD$。
在$△ ABE$中,$AB＜AE+BE$,
所以 $AB＜2CD$。
解析
【分析】
要比较弦AB和2CD的大小，不能直接由圆心角的两倍关系推导弦长也为两倍。我们可以利用同圆中相等的圆心角对应相等弦的性质，把大圆心角∠AOB拆分为两个相等的小角，使每个小角都等于∠COD，即可得到两条长度均等于CD的弦，再结合三角形三边关系“两边之和大于第三边”完成大小比较。具体可通过取弧AB的中点E构造等角，进而得到等弦，最后在△ABE中推导结论。
【解析】
解：$AB＜2CD$，证明如下：
取弧AB的中点E，连接AE，BE，OE。
∵E是弧AB的中点，
∴$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$，可得$∠AOE = ∠BOE = \frac{1}{2}∠AOB$。
已知$∠AOB=2∠COD$，因此$∠AOE = ∠BOE = ∠COD$。
根据同圆中相等的圆心角所对的弦相等，可得$AE=BE=CD$。
在$△ ABE$中，由三角形三边关系可知，两边之和大于第三边，即$AB＜AE+BE$。
将$AE=BE=CD$代入上式，得$AB＜CD+CD$，即$AB＜2CD$。
【答案】
$AB＜2CD$。证明:如图，取弧AB的中点E，连接AE，BE，OE。
因为$∠AOB=2∠COD$，
所以 $∠AOE = ∠BOE = ∠COD$。
所以 $AE=BE=CD$。
在$△ ABE$中,$AB＜AE+BE$,
所以 $AB＜2CD$。
【知识点】
1. 圆心角、弧、弦的关系
2. 三角形三边关系
【点评】
本题是圆心角与弦关系的典型应用题目，解题核心是通过作弧中点构造等角，将弦的倍分问题转化为三角形边长比较问题，需注意不能直接由圆心角的倍数关系直接推导弦长的倍数关系。
【难度系数】
0.6
要比较弦AB和2CD的大小，不能直接由圆心角的两倍关系推导弦长也为两倍。我们可以利用同圆中相等的圆心角对应相等弦的性质，把大圆心角∠AOB拆分为两个相等的小角，使每个小角都等于∠COD，即可得到两条长度均等于CD的弦，再结合三角形三边关系“两边之和大于第三边”完成大小比较。具体可通过取弧AB的中点E构造等角，进而得到等弦，最后在△ABE中推导结论。
【解析】
解：$AB＜2CD$，证明如下：
取弧AB的中点E，连接AE，BE，OE。
∵E是弧AB的中点，
∴$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$，可得$∠AOE = ∠BOE = \frac{1}{2}∠AOB$。
已知$∠AOB=2∠COD$，因此$∠AOE = ∠BOE = ∠COD$。
根据同圆中相等的圆心角所对的弦相等，可得$AE=BE=CD$。
在$△ ABE$中，由三角形三边关系可知，两边之和大于第三边，即$AB＜AE+BE$。
将$AE=BE=CD$代入上式，得$AB＜CD+CD$，即$AB＜2CD$。
【答案】
$AB＜2CD$。证明:如图，取弧AB的中点E，连接AE，BE，OE。
因为$∠AOB=2∠COD$，
所以 $∠AOE = ∠BOE = ∠COD$。
所以 $AE=BE=CD$。
在$△ ABE$中,$AB＜AE+BE$,
所以 $AB＜2CD$。
【知识点】
1. 圆心角、弧、弦的关系
2. 三角形三边关系
【点评】
本题是圆心角与弦关系的典型应用题目，解题核心是通过作弧中点构造等角，将弦的倍分问题转化为三角形边长比较问题，需注意不能直接由圆心角的倍数关系直接推导弦长的倍数关系。
【难度系数】
0.6
8.计算机处理任务时,经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比。下面是
同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：
当任务完成的百分比为$x$时,线段$MN$的长度记为$d(x)$。下列描述正确的是(
A.当$x_1＞x_2$时,$d(x_1)＞d(x_2)$
B.当$d(x_1)＞d(x_2)$时,$x_1＞x_2$
C.当$x_1+x_2=1$时,$d(x_1)=d(x_2)$
D.当$x_1=2x_2$时,$d(x_1)=2d(x_2)$
同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：
当任务完成的百分比为$x$时,线段$MN$的长度记为$d(x)$。下列描述正确的是(
C
)。A.当$x_1＞x_2$时,$d(x_1)＞d(x_2)$
B.当$d(x_1)＞d(x_2)$时,$x_1＞x_2$
C.当$x_1+x_2=1$时,$d(x_1)=d(x_2)$
D.当$x_1=2x_2$时,$d(x_1)=2d(x_2)$
答案
8. C
解析
【分析】首先明确圆形进度条中，实线部分对应任务完成百分比x，M是进度条的起点，N是当前进度的端点，线段MN为圆的弦。我们可以结合圆的弦长公式和正弦函数的性质分析d(x)的变化规律，再通过推导或举反例逐一判断各选项是否正确。
【解析】设该圆的半径为R，根据圆的弦长公式：弦长=2R·sin(θ/2)，其中θ为弦所对的圆心角。
当任务完成百分比为x时，弦MN所对的圆心角为360°·x，因此弦长d(x)=2R·sin(180°·x)。
逐一分析选项：
A选项：d(x)在x∈[0,0.5]时随x增大而增大，在x∈[0.5,1]时随x增大而减小。举反例：取x₁=60%，x₂=50%，满足x₁＞x₂，但d(60%)=2Rsin108°=2Rsin72° ＜ d(50%)=2Rsin90°=2R，即d(x₁)＜d(x₂)，A错误。
B选项：举反例：取x₁=40%，x₂=70%，d(40%)=2Rsin72°，d(70%)=2Rsin126°=2Rsin54°，此时d(x₁)＞d(x₂)，但x₁=40%＜x₂=70%，B错误。
C选项：当x₁+x₂=1时，180°·x₂=180°·(1-x₁)=180°-180°x₁，根据正弦函数性质：sin(180°-α)=sinα，可得sin(180°x₁)=sin(180°x₂)，因此d(x₁)=2Rsin(180°x₁)=2Rsin(180°x₂)=d(x₂)，C正确。
D选项：举反例：取x₂=20%，则x₁=40%，d(40%)=2Rsin72°≈1.902R，2d(20%)=2×2Rsin36°≈2.351R，显然d(x₁)≠2d(x₂)，D错误。
【答案】C
【知识点】弦长公式，正弦函数性质，函数单调性
【点评】本题结合生活中常见的进度条场景，考查圆的弦长相关性质，需要将实际问题转化为几何问题，结合公式推导和举反例的方法判断选项，能有效锻炼数形结合思维和知识应用能力。
【难度系数】0.6
【解析】设该圆的半径为R，根据圆的弦长公式：弦长=2R·sin(θ/2)，其中θ为弦所对的圆心角。
当任务完成百分比为x时，弦MN所对的圆心角为360°·x，因此弦长d(x)=2R·sin(180°·x)。
逐一分析选项：
A选项：d(x)在x∈[0,0.5]时随x增大而增大，在x∈[0.5,1]时随x增大而减小。举反例：取x₁=60%，x₂=50%，满足x₁＞x₂，但d(60%)=2Rsin108°=2Rsin72° ＜ d(50%)=2Rsin90°=2R，即d(x₁)＜d(x₂)，A错误。
B选项：举反例：取x₁=40%，x₂=70%，d(40%)=2Rsin72°，d(70%)=2Rsin126°=2Rsin54°，此时d(x₁)＞d(x₂)，但x₁=40%＜x₂=70%，B错误。
C选项：当x₁+x₂=1时，180°·x₂=180°·(1-x₁)=180°-180°x₁，根据正弦函数性质：sin(180°-α)=sinα，可得sin(180°x₁)=sin(180°x₂)，因此d(x₁)=2Rsin(180°x₁)=2Rsin(180°x₂)=d(x₂)，C正确。
D选项：举反例：取x₂=20%，则x₁=40%，d(40%)=2Rsin72°≈1.902R，2d(20%)=2×2Rsin36°≈2.351R，显然d(x₁)≠2d(x₂)，D错误。
【答案】C
【知识点】弦长公式，正弦函数性质，函数单调性
【点评】本题结合生活中常见的进度条场景，考查圆的弦长相关性质，需要将实际问题转化为几何问题，结合公式推导和举反例的方法判断选项，能有效锻炼数形结合思维和知识应用能力。
【难度系数】0.6
