典例3 数学实验课上，同学们探究角度之间的关系.
将一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中∠CPD = 90°, ∠APB = 45°,作 PM 平分∠APC,PN 平分∠BPD.当∠APC 分别为 20°和 30°时,求∠MPN 的度数.

解：
当∠APC=20°时，
∵ PM平分∠APC，
∴ ∠MPC = $\frac{1}{2}$∠APC = $\frac{1}{2} × 20° = 10°$，
∵ ∠CPD=90°，∠APB=45°，
∴ ∠BPD = ∠CPD - ∠APC - ∠APB = $90° - 20° - 45° = 25°$，
∵ PN平分∠BPD，
∴ ∠NPD = $\frac{1}{2}$∠BPD = $\frac{1}{2} × 25° = 12.5°$，
∴ ∠MPN = ∠CPD - ∠MPC - ∠NPD = $90° - 10° - 12.5° = 67.5°$；
当∠APC=30°时，
∵ PM平分∠APC，
∴ ∠MPC = $\frac{1}{2}$∠APC = $\frac{1}{2} × 30° = 15°$，
∵ ∠CPD=90°，∠APB=45°，
∴ ∠BPD = ∠CPD - ∠APC - ∠APB = $90° - 30° - 45° = 15°$，
∵ PN平分∠BPD，
∴ ∠NPD = $\frac{1}{2}$∠BPD = $\frac{1}{2} × 15° = 7.5°$，
∴ ∠MPN = ∠CPD - ∠MPC - ∠NPD = $90° - 15° - 7.5° = 67.5°$。
答：当∠APC为20°时，∠MPN的度数为67.5°；当∠APC为30°时，∠MPN的度数为67.5°。

典例4【观察思考】
在表中空白处画出图形；

线段AB上的点数n(包括A，B两点) | 图例 | 线段总条数N
--- | --- | ---
3 | | $3=2+1$
4 | | $6=3+2+1$
5 | | $10=4+3+2+1$
6 | | $15=5+4+3+2+1$
7 | | $21=6+5+4+3+2+1$
【模型构建】
如果线段上有$n(n＞1$，且$n$是正整数$)$个点(包括线段的两个端点)，那么该线段上共有多少条线段？
【拓展应用】
请将下面问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题：
海南环岛高铁是世界首创，其中某趟列车在东段的三亚站、陵水站、万宁站、琼海站、文昌站和海口东站6个站之间运行，那么该趟列车需要安排种不同的车票，有种票价。
当$∠APC=20°$时，$∠BPD=45°−20°=25°$，
则 $∠APM = \frac{1}{2} ∠APC = 10°$，
$∠BPN=\frac{1}{2}∠BPD=12.5°$.
所以$∠MPN=∠APB+(∠APM+∠BPN)=45°+(10°+12.5°)=67.5°$.
当$∠APC=30°$时，$∠BPD=45°−30°=15°$，
则$∠APM=\frac{1}{2}∠APC=15°,∠BPN=\frac{1}{2}∠BPD=7.5°$.
所以$∠MPN=∠APB+(∠APM+∠BPN)=45°+(15°+7.5°)=67.5°$.
典例4
解【观察思考】$A\overline{~~~~C~~~~}B$；
$A\overline{~~~~C~~~~D~~~~}B$；$A\overline{~~~~C~~~~D~~~~E~~~~}B$；
$A\overline{~~~~C~~~~D~~~~E~~~~F~~~~}B$；
$A\overline{~~~~C~~~~D~~~~E~~~~F~~~~G~~~~}B$.
【模型构建】$1+2+3+4+…+(n−2)+(n−1)=\frac{[1+(n−1)]×(n−1)}{2} = \frac{n(n−1)}{2}$，所以该线段上共有$\frac{n(n−1)}{2}$条线段.
【拓展应用】$30$ $15$
因为$6×(6−1)=30$，$30÷2=15$，所以该趟列车需要安排$30$种不同的车票，有$15$种票价.