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7.古代名著《孙子算经》中有一题:今有三人共车,二车空;二人共车,九人步。问:人与车各几何?设有车x辆,则根据题意,可列出方程 ()
A.$3(x+2)=2x-9$
B.$3(x+2)=2x+9$
C.$3(x-2)=2x-9$
D.$3(x-2)=2x+9$
A.$3(x+2)=2x-9$
B.$3(x+2)=2x+9$
C.$3(x-2)=2x-9$
D.$3(x-2)=2x+9$
答案
D
解析
设有车x辆，由“三人共车，二车空”，可知实际用车数量为(x-2)辆，总人数可表示为3(x-2)；由“二人共车，九人步”，可知x辆车每车坐2人后，剩余9人步行，总人数可表示为2x+9。根据总人数相等，可列方程：$3(x-2)=2x+9$。
8. 一副三角板按图3所示的方式摆放,若∠1=61°42',则∠2= ()
A.$18°18'$
B.$18°58'$
C.$28°18'$
D.$28°58'$
A.$18°18'$
B.$18°58'$
C.$28°18'$
D.$28°58'$
答案
C
解析
由图可得，∠1、三角板的直角、∠2共同组成平角，因此∠1 + 90° + ∠2 = 180°，即∠1 + ∠2 = 90°。将∠1=61°42'代入计算：∠2=90° - 61°42' = 89°60' - 61°42' = 28°18'。
9. 一家四口准备参加旅行团外出旅游,甲旅行社告知:“父母买全票,两个小孩按半价优惠。”乙旅行社告知:“家庭旅游可按团体票计价,即每人均按全价的8折收费。”若这两家旅行社每人的原票价相同,那么优惠情况是 ()
A.乙旅行社比甲旅行社优惠
B.甲旅行社比乙旅行社优惠
C.两家旅行社优惠程度相同
D.与原票价有关
A.乙旅行社比甲旅行社优惠
B.甲旅行社比乙旅行社优惠
C.两家旅行社优惠程度相同
D.与原票价有关
答案
B
解析
设每人的原票价为x元，
计算甲旅行社总收费：父母买全票花费2x元，两个小孩半价优惠共花费2×0.5x = x元，总费用为2x + x = 3x元；
计算乙旅行社总收费：4人均按全价8折收费，总费用为4×0.8x = 3.2x元；
因为x＞0，所以3x ＜ 3.2x，甲旅行社总费用更低，即甲旅行社比乙旅行社优惠。
计算甲旅行社总收费：父母买全票花费2x元，两个小孩半价优惠共花费2×0.5x = x元，总费用为2x + x = 3x元；
计算乙旅行社总收费：4人均按全价8折收费，总费用为4×0.8x = 3.2x元；
因为x＞0，所以3x ＜ 3.2x，甲旅行社总费用更低，即甲旅行社比乙旅行社优惠。
10. 在如图4所示的日历表中,任意圈出一竖列上相邻的四个数,这四个数的和不可能是 ()
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
11 12 13
15 16 17
18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31
A.54
B.66
C.68
D.78
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
11 12 13
15 16 1718 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31
A.54
B.66
C.68
D.78
答案
C
解析
设圈出的竖列上相邻四个数中最小的数为$x$，根据日历竖列相邻数相差7，可知其余三个数分别为$x+7$、$x+14$、$x+21$，四个数的和为：
$x+(x+7)+(x+14)+(x+21)=4x+42$
分别代入选项验证：
1. 若和为54：$4x+42=54$，解得$x=3$，是正整数，符合日历日期规则，存在这样的四个数；
2. 若和为66：$4x+42=66$，解得$x=6$，是正整数，符合日历日期规则，存在这样的四个数；
3. 若和为68：$4x+42=68$，解得$x=6.5$，日期必须是正整数，不符合要求，不存在这样的四个数；
4. 若和为78：$4x+42=78$，解得$x=9$，是正整数，符合日历日期规则，存在这样的四个数。
因此这四个数的和不可能是68。
$x+(x+7)+(x+14)+(x+21)=4x+42$
分别代入选项验证：
1. 若和为54：$4x+42=54$，解得$x=3$，是正整数，符合日历日期规则，存在这样的四个数；
2. 若和为66：$4x+42=66$，解得$x=6$，是正整数，符合日历日期规则，存在这样的四个数；
3. 若和为68：$4x+42=68$，解得$x=6.5$，日期必须是正整数，不符合要求，不存在这样的四个数；
4. 若和为78：$4x+42=78$，解得$x=9$，是正整数，符合日历日期规则，存在这样的四个数。
因此这四个数的和不可能是68。
二、填空题(每小题3分,共15分)
11. 比较大小：$-(-2)^2$ (填“＞”“＜”或“=”)$-|-4|$。
11. 比较大小：$-(-2)^2$ (填“＞”“＜”或“=”)$-|-4|$。
答案
$=$
解析
解：
计算可得：
$-(-2)^2 = -4$，
$-|-4| = -4$，
因此$-(-2)^2 = -|-4|$。
计算可得：
$-(-2)^2 = -4$，
$-|-4| = -4$，
因此$-(-2)^2 = -|-4|$。
12. 墨迹覆盖了等式“●-(x²+1)=3x”中的多项式，则覆盖的多项式为。
答案
$\boldsymbol{x^2+3x+1}$
解析
解：设墨迹覆盖的多项式为A，
根据题意可得：
$\begin{aligned}A&=3x+(x^2+1)\\&=3x+x^2+1\\&=x^2+3x+1\end{aligned}$
根据题意可得：
$\begin{aligned}A&=3x+(x^2+1)\\&=3x+x^2+1\\&=x^2+3x+1\end{aligned}$
13. 在修公路时，人们喜欢把弯弯曲曲的道路改为直道，其中隐含的数学道理是。
答案
解：两点之间，线段最短。
14. 定义一种新运算：$a*b=\frac{1}{2}a-\frac{1}{3}b$。若$(x+3)*(2x-1)=1$，则根据定义运算，求出$x$的值为。
答案
解：根据新运算的定义，将$(x+3)*(2x-1)=1$展开得：
$\frac{1}{2}(x+3) - \frac{1}{3}(2x-1) = 1$
去分母，两边同乘6，得：
$3(x+3) - 2(2x-1) = 6$
去括号，得：
$3x + 9 - 4x + 2 = 6$
合并同类项，得：
$-x + 11 = 6$
移项，得：
$-x = -5$
系数化为1，得：
$x=5$
$\frac{1}{2}(x+3) - \frac{1}{3}(2x-1) = 1$
去分母，两边同乘6，得：
$3(x+3) - 2(2x-1) = 6$
去括号，得：
$3x + 9 - 4x + 2 = 6$
合并同类项，得：
$-x + 11 = 6$
移项，得：
$-x = -5$
系数化为1，得：
$x=5$
15. 已知点A,B,C在同一条直线上，M,N分别为AB,BC的中点，若AB=m,BC=n,则MN的长为。（用含m,n的代数式表示）
答案
解：
∵ M是AB的中点，AB=m，
∴ $MB=\frac{1}{2}AB=\frac{m}{2}$。
∵ N是BC的中点，BC=n，
∴ $BN=\frac{1}{2}BC=\frac{n}{2}$。
分两种情况讨论：
① 当点B在A、C两点之间时：
$MN=MB+BN=\frac{m}{2}+\frac{n}{2}=\frac{m+n}{2}$；
② 当点C在A、B两点之间，或点A在B、C两点之间时：
$MN=|MB-BN|=\left|\frac{m}{2}-\frac{n}{2}\right|=\frac{|m-n|}{2}$。
综上，MN的长为$\frac{m+n}{2}$或$\frac{|m-n|}{2}$。
∵ M是AB的中点，AB=m，
∴ $MB=\frac{1}{2}AB=\frac{m}{2}$。
∵ N是BC的中点，BC=n，
∴ $BN=\frac{1}{2}BC=\frac{n}{2}$。
分两种情况讨论：
① 当点B在A、C两点之间时：
$MN=MB+BN=\frac{m}{2}+\frac{n}{2}=\frac{m+n}{2}$；
② 当点C在A、B两点之间，或点A在B、C两点之间时：
$MN=|MB-BN|=\left|\frac{m}{2}-\frac{n}{2}\right|=\frac{|m-n|}{2}$。
综上，MN的长为$\frac{m+n}{2}$或$\frac{|m-n|}{2}$。
