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1. 若$\frac{a}{5}=\frac{3}{b}$，则$ab=$ （
A.15
B.8
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{5}{3}$
A
）A.15
B.8
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{5}{3}$
答案
1. A
解析
【分析】
本题考查比例基本性质的应用，解题思路如下：首先明确比例的基本性质：在比例等式中，两个外项的乘积等于两个内项的乘积。观察给出的比例式$\frac{a}{5}=\frac{3}{b}$，确定比例的外项为a和b，内项为5和3，利用比例的基本性质交叉相乘即可直接求出ab的值。
【解析】
根据比例的基本性质：比例的两外项之积等于两内项之积。
对于$\frac{a}{5}=\frac{3}{b}$，外项为a、b，内项为5、3，交叉相乘得：
$ab = 5×3 = 15$
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
比例的基本性质
【点评】
本题是比例相关的基础题型，核心考查对比例基本性质的理解与应用，熟练掌握性质后可快速得出结果，属于得分题。
【难度系数】
0.9
本题考查比例基本性质的应用，解题思路如下：首先明确比例的基本性质：在比例等式中，两个外项的乘积等于两个内项的乘积。观察给出的比例式$\frac{a}{5}=\frac{3}{b}$，确定比例的外项为a和b，内项为5和3，利用比例的基本性质交叉相乘即可直接求出ab的值。
【解析】
根据比例的基本性质：比例的两外项之积等于两内项之积。
对于$\frac{a}{5}=\frac{3}{b}$，外项为a、b，内项为5、3，交叉相乘得：
$ab = 5×3 = 15$
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
比例的基本性质
【点评】
本题是比例相关的基础题型，核心考查对比例基本性质的理解与应用，熟练掌握性质后可快速得出结果，属于得分题。
【难度系数】
0.9
2. (2025 安庆期末)已知$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}$，则代数式$\frac{a+b}{b}$的值为（
A.$\frac{5}{2}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{5}{3}$
D
）A.$\frac{5}{2}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{5}{3}$
答案
2. D
解析
【分析】
本题是已知两个量的比例关系求分式值的基础题。解题可从两个方向思考：①用“设k法”，将比例式转化为用同一参数表示a、b的形式，代入待求分式后消去参数即可得到结果；②先将待求分式拆分变形为$\frac{a}{b}+1$，再根据已知比例式求出$\frac{a}{b}$的值，代入计算即可。两种方法均符合学段知识要求，计算量小，容易掌握。
【解析】
方法一：设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=k$（$k≠0$），则$a=2k$，$b=3k$。
将$a=2k$、$b=3k$代入$\frac{a+b}{b}$得：
$\frac{a+b}{b}=\frac{2k+3k}{3k}=\frac{5k}{3k}=\frac{5}{3}$。
方法二：由$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}$，根据比例的基本性质交叉相乘得$3a=2b$，即$a=\frac{2}{3}b$。
将$a=\frac{2}{3}b$代入$\frac{a+b}{b}$得：
$\frac{a+b}{b}=\frac{\frac{2}{3}b + b}{b}=\frac{\frac{5}{3}b}{b}=\frac{5}{3}$。
综上本题选D选项。
【答案】
D
【知识点】
比例的基本性质，分式化简求值
【点评】
本题是比例应用的常见基础题型，核心考察比例式的变形技巧和分式的化简计算，解题方法灵活，掌握设k法或比例交叉变形的技巧即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题是已知两个量的比例关系求分式值的基础题。解题可从两个方向思考：①用“设k法”，将比例式转化为用同一参数表示a、b的形式，代入待求分式后消去参数即可得到结果；②先将待求分式拆分变形为$\frac{a}{b}+1$，再根据已知比例式求出$\frac{a}{b}$的值，代入计算即可。两种方法均符合学段知识要求，计算量小，容易掌握。
【解析】
方法一：设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=k$（$k≠0$），则$a=2k$，$b=3k$。
将$a=2k$、$b=3k$代入$\frac{a+b}{b}$得：
$\frac{a+b}{b}=\frac{2k+3k}{3k}=\frac{5k}{3k}=\frac{5}{3}$。
方法二：由$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}$，根据比例的基本性质交叉相乘得$3a=2b$，即$a=\frac{2}{3}b$。
将$a=\frac{2}{3}b$代入$\frac{a+b}{b}$得：
$\frac{a+b}{b}=\frac{\frac{2}{3}b + b}{b}=\frac{\frac{5}{3}b}{b}=\frac{5}{3}$。
综上本题选D选项。
【答案】
D
【知识点】
比例的基本性质，分式化简求值
【点评】
本题是比例应用的常见基础题型，核心考察比例式的变形技巧和分式的化简计算，解题方法灵活，掌握设k法或比例交叉变形的技巧即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 下列各组中的四条线段成比例的是（
A.4 cm,2 cm,1 cm,3 cm
B.2 cm,3 cm,5 cm,6 cm
C.1 cm,2 cm,20 cm,40 cm
D.25 cm,35 cm,45 cm,55 cm
C
）A.4 cm,2 cm,1 cm,3 cm
B.2 cm,3 cm,5 cm,6 cm
C.1 cm,2 cm,20 cm,40 cm
D.25 cm,35 cm,45 cm,55 cm
答案
3. C
解析
【分析】
判断四条线段是否成比例，核心思路是：先将四条线段按照长度从小到大（或从大到小）的顺序排列，再验证最长线段与最短线段的乘积，是否等于中间两条线段的乘积，若乘积相等则四条线段成比例，反之则不成比例。我们只需按照这个方法逐个验证选项即可得到答案。
【解析】
根据成比例线段的判定方法，先排序再验证外项积与内项积是否相等：
A选项：将线段排序为1cm，2cm，3cm，4cm，计算得$1×4=4$，$2×3=6$，$4≠6$，故四条线段不成比例；
B选项：将线段排序为2cm，3cm，5cm，6cm，计算得$2×6=12$，$3×5=15$，$12≠15$，故四条线段不成比例；
C选项：将线段排序为1cm，2cm，20cm，40cm，计算得$1×40=40$，$2×20=40$，乘积相等，故四条线段成比例；
D选项：将线段排序为25cm，35cm，45cm，55cm，计算得$25×55=1375$，$35×45=1575$，$1375≠1575$，故四条线段不成比例。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
成比例线段的判定、比例的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查成比例线段的判断方法，解题时注意先对线段长度排序再验证乘积，可避免因顺序错乱导致的错误，计算乘积时细心即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
判断四条线段是否成比例，核心思路是：先将四条线段按照长度从小到大（或从大到小）的顺序排列，再验证最长线段与最短线段的乘积，是否等于中间两条线段的乘积，若乘积相等则四条线段成比例，反之则不成比例。我们只需按照这个方法逐个验证选项即可得到答案。
【解析】
根据成比例线段的判定方法，先排序再验证外项积与内项积是否相等：
A选项：将线段排序为1cm，2cm，3cm，4cm，计算得$1×4=4$，$2×3=6$，$4≠6$，故四条线段不成比例；
B选项：将线段排序为2cm，3cm，5cm，6cm，计算得$2×6=12$，$3×5=15$，$12≠15$，故四条线段不成比例；
C选项：将线段排序为1cm，2cm，20cm，40cm，计算得$1×40=40$，$2×20=40$，乘积相等，故四条线段成比例；
D选项：将线段排序为25cm，35cm，45cm，55cm，计算得$25×55=1375$，$35×45=1575$，$1375≠1575$，故四条线段不成比例。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
成比例线段的判定、比例的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查成比例线段的判断方法，解题时注意先对线段长度排序再验证乘积，可避免因顺序错乱导致的错误，计算乘积时细心即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
4.(2025永州期中)如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点B是线段AC的黄金分割点，AB＞BC，若AC=16 cm，则AB的长为（
A.$(24 - 8\sqrt{5})\mathrm{cm}$
B.$(48 - 16\sqrt{5})\mathrm{cm}$
C.$(8\sqrt{5} - 8)\mathrm{cm}$
D.$(16\sqrt{5} - 16)\mathrm{cm}$
C
）A.$(24 - 8\sqrt{5})\mathrm{cm}$
B.$(48 - 16\sqrt{5})\mathrm{cm}$
C.$(8\sqrt{5} - 8)\mathrm{cm}$
D.$(16\sqrt{5} - 16)\mathrm{cm}$
答案
4. C
解析
【分析】
首先回忆黄金分割的定义：若一个点把线段分成两条线段，使较长线段是整条线段和较短线段的比例中项，这个点就是线段的黄金分割点，且较长线段与整条线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题已知点B是AC的黄金分割点，且$AB＞BC$，说明AB是较长线段，因此直接用AC的长度乘黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵点B是线段AC的黄金分割点，且$AB＞BC$，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
又
∵$AC=16\ \mathrm{cm}$，
∴$AB=16×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=8(\sqrt{5}-1)=(8\sqrt{5}-8)\ \mathrm{cm}$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
黄金分割的定义，二次根式的运算
【点评】
本题是黄金分割的基础应用题，解题核心是熟记黄金比的取值，同时明确黄金分割点对应的较长线段的判断方法，计算过程简单，容易得分。
【难度系数】
0.7
首先回忆黄金分割的定义：若一个点把线段分成两条线段，使较长线段是整条线段和较短线段的比例中项，这个点就是线段的黄金分割点，且较长线段与整条线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题已知点B是AC的黄金分割点，且$AB＞BC$，说明AB是较长线段，因此直接用AC的长度乘黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵点B是线段AC的黄金分割点，且$AB＞BC$，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
又
∵$AC=16\ \mathrm{cm}$，
∴$AB=16×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=8(\sqrt{5}-1)=(8\sqrt{5}-8)\ \mathrm{cm}$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
黄金分割的定义，二次根式的运算
【点评】
本题是黄金分割的基础应用题，解题核心是熟记黄金比的取值，同时明确黄金分割点对应的较长线段的判断方法，计算过程简单，容易得分。
【难度系数】
0.7
5.如图,已知直线$l_1 // l_2 // l_3$,直线AC与直线$l_1,l_2,l_3$分别交于点A,B,C,直线DF与直线$l_1,l_2,l_3$分别交于点D,E,F,$DE=6$,$DF=9$,则下列结论一定正确的是 （
A.$BC:EF=1:1$
B.$BC:AB=1:2$
C.$AD:CF=2:3$
D.$BE:CF=2:3$
B
）A.$BC:EF=1:1$
B.$BC:AB=1:2$
C.$AD:CF=2:3$
D.$BE:CF=2:3$
答案
5. B
解析
【分析】
遇到三条平行线被两条截线所截的题型，首先联想到平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。首先先计算截线DF上的EF长度，得到DE与EF的比值，再对应到截线AC上AB与BC的比值，逐一判断选项即可。
【解析】
首先计算EF的长度：
已知$DE=6$，$DF=9$，则$EF=DF-DE=9-6=3$，
因此$\frac{DE}{EF}=\frac{6}{3}=\frac{2}{1}$。
$\because l_1// l_2// l_3$，直线AC和DF是截线，
根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}=\frac{2}{1}$，
即$BC:AB=1:2$，故B选项正确。
对其他选项分析：
A选项：BC和EF分别在两条不同截线上，不是对应线段，长度比例无法确定，错误；
C选项：AD、CF不是平行线截得的对应线段，比例无法确定，错误；
D选项：BE、CF不是平行线截得的对应线段，比例无法确定，错误。
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例定理
【点评】
本题解题的核心是熟练掌握平行线分线段成比例定理，注意只有被平行线截得的对应线段才成比例，非截得的线段之间没有确定的比例关系，做题时要注意区分对应线段，避免混淆。
【难度系数】
0.7
遇到三条平行线被两条截线所截的题型，首先联想到平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。首先先计算截线DF上的EF长度，得到DE与EF的比值，再对应到截线AC上AB与BC的比值，逐一判断选项即可。
【解析】
首先计算EF的长度：
已知$DE=6$，$DF=9$，则$EF=DF-DE=9-6=3$，
因此$\frac{DE}{EF}=\frac{6}{3}=\frac{2}{1}$。
$\because l_1// l_2// l_3$，直线AC和DF是截线，
根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}=\frac{2}{1}$，
即$BC:AB=1:2$，故B选项正确。
对其他选项分析：
A选项：BC和EF分别在两条不同截线上，不是对应线段，长度比例无法确定，错误；
C选项：AD、CF不是平行线截得的对应线段，比例无法确定，错误；
D选项：BE、CF不是平行线截得的对应线段，比例无法确定，错误。
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例定理
【点评】
本题解题的核心是熟练掌握平行线分线段成比例定理，注意只有被平行线截得的对应线段才成比例，非截得的线段之间没有确定的比例关系，做题时要注意区分对应线段，避免混淆。
【难度系数】
0.7
