学习任务一 有理数乘方的意义
从旧知到新知
|情境创设|
已知下面两个式子：
(1)$2×2×2×2×2$；
(2)$(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})$。
问题1:请计算上面的两个式子的结果。
问题2:请你把上面的式子用简单的方法表示出来。

问题1: (1) 32 (2) $-\frac{1}{243}$
问题2: (1) $2×2×2×2×2=2^5$ (2) $(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})=(-\frac{1}{3})^5$

【分析】
解决本题可分两步思考：第一步处理问题1的乘法计算，计算多个有理数连乘时，先根据负因数的个数判断结果的符号（负因数个数为奇数时结果为负，为偶数时结果为正），再计算所有因数绝对值的乘积即可得到最终结果。第二步处理问题2的简写，回忆乘方的定义：求n个相同因数乘积的运算叫做乘方，n个相同的因数a相乘可以记作$a^n$，按照定义将两个连乘式改写为乘方形式即可。
【解析】
问题1解答：
(1) 计算5个2的连乘积：
$2×2×2×2×2=4×2×2×2=8×2×2=16×2=32$
(2) 计算5个$-\frac{1}{3}$的连乘积：
首先判断符号：算式里负因数共5个，是奇数，因此结果符号为负；
再计算绝对值的乘积：$(\frac{1}{3})×(\frac{1}{3})×(\frac{1}{3})×(\frac{1}{3})×(\frac{1}{3})=\frac{1}{3^5}=\frac{1}{243}$；
结合符号可得最终结果为$-\frac{1}{243}$。
问题2解答：
根据乘方的定义，n个相同因数a相乘可简写为$a^n$：
(1) 5个2相乘可简写为：$2×2×2×2×2=2^5$
(2) 5个$-\frac{1}{3}$相乘可简写为：$(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})=(-\frac{1}{3})^5$
【答案】
问题1: (1) 32 (2) $-\frac{1}{243}$
问题2: (1) $2×2×2×2×2=2^5$ (2) $(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})=(-\frac{1}{3})^5$
【知识点】
有理数乘法运算、乘方的意义
【点评】
本题是乘方概念的入门类题目，通过熟悉的连乘运算引导理解乘方的含义，核心是对乘方定义的记忆和有理数乘法符号规则的运用，难度较低。
【难度系数】
0.9

知识梳理
1. 一般地，$n$个相同的乘数$a$相乘，即$\underbrace{a · a · \dots · a}_{n个}$，记作，读作“”。
2. 乘方的概念
求$n$个相同乘数的的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作。在$a^n$中，$a$叫作，$n$叫作，当$a^n$看作$a$的$n$次方的结果时，也可读作“”。

1. $a^n$ $a$的$n$次方
2. 积 幂 底数 指数 $a$的$n$次幂

【分析】
本题考查乘方的基础概念，解题时只需回忆教材中乘方的定义、记法、读法及各部分名称的相关表述，对应填空即可。第1问考察乘方的记法与基本读法，n个相同因数a相乘的简便记法就是乘方形式，对应读法直接按定义表述；第2问考察乘方的核心概念、各部分名称及另一种读法，直接对应识记内容填写即可。
【解析】
1. 根据乘方的记法规则，n个相同的乘数a相乘，即$\underbrace{a · a · \dots · a}_{n个}$，记作$a^n$，读作“$a$的$n$次方”。
2. 根据乘方的概念：求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂。在$a^n$中，$a$叫作底数，$n$叫作指数，当$a^n$看作$a$的$n$次方的结果时，也可读作“$a$的$n$次幂”。
【答案】
1. $a^n$ $a$的$n$次方
2. 积 幂 底数 指数 $a$的$n$次幂
【知识点】
乘方的定义，乘方各部分名称，乘方的读法
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，考察内容是乘方的入门知识，熟练掌握这些概念是学习有理数乘方运算的前提，需要准确记忆相关表述。
【难度系数】
0.9

学习任务二 有理数乘方运算的符号法则
1.负数的奇次幂是数，负数的偶次幂是数.
2.正数的任何正整数次幂都是数，0的任何正整数次幂都是.

1. 负 正
2. 正 0

【分析】
解题时可以结合乘方的本质是多个相同因数的乘法推导规律：①先回忆有理数乘法的符号规律：几个不为0的数相乘，负因数的个数为奇数时积为负，负因数的个数为偶数时积为正；②负数的奇次幂对应奇数个负数相乘，偶次幂对应偶数个负数相乘，可推出负数乘方的符号规律；③正数无论多少个相乘结果都是正数，0和任意数相乘都得0，对应可推出正数、0的乘方结果规律。
【解析】
1. 负数的奇次幂表示奇数个负数相乘，根据有理数乘法符号法则，奇数个负因数相乘的结果为负数；负数的偶次幂表示偶数个负数相乘，偶数个负因数相乘的结果为正数，因此依次填负、正。
2. 正数的任何正整数次幂都表示若干个正数相乘，乘积的符号始终为正；0的任何正整数次幂都表示若干个0相乘，结果始终为0，因此依次填正、0。
【答案】
1. 负 正
2. 正 0
【知识点】
有理数乘方符号法则、有理数乘法规律、0的运算性质
【点评】
本题是对乘方基础性质的直接考查，相关法则是有理数乘方运算的核心基础，需要准确识记，为后续复杂的有理数混合运算做好铺垫。
【难度系数】
0.9

【例1】计算:(1)$(-5)^4$; (2)$(1\dfrac{1}{2})^3$;
(3)$-(-\dfrac{2}{7})^3$; (4)$(-1\dfrac{4}{5})^3$.
解:
【规律方法】
计算有理数乘方的步骤
(1)根据底数与指数确定幂的符号.
(2)计算乘方的绝对值,确定最终结果.

1. 625
2. $\dfrac{27}{8}$
3. $\dfrac{8}{343}$
4. $-\dfrac{729}{125}$

【分析】
计算有理数乘方时遵循“先定符号，再算绝对值”的原则：①先判断底数的正负，结合指数奇偶性确定幂的符号：正数的任何次幂都是正数，负数的偶次幂为正、奇次幂为负；②若底数是带分数，先将其化为假分数再计算绝对值部分的乘方；③若式子前有额外符号，最后结合符号法则化简结果，按此思路逐个计算小题即可。
【解析】
(1) 计算$(-5)^4$：
底数为负数，指数4是偶数，幂的符号为正，
$(-5)^4=5^4=5×5×5×5=625$。
(2) 计算$(1\dfrac{1}{2})^3$：
先把带分数化为假分数：$1\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$，底数为正数，幂的符号为正，
$(1\dfrac{1}{2})^3=(\dfrac{3}{2})^3=\dfrac{3^3}{2^3}=\dfrac{27}{8}$。
(3) 计算$-(-\dfrac{2}{7})^3$：
先算内层乘方：底数$-\dfrac{2}{7}$是负数，指数3是奇数，故$(-\dfrac{2}{7})^3=-\dfrac{2^3}{7^3}=-\dfrac{8}{343}$，
再结合外层负号化简：$-(-\dfrac{8}{343})=\dfrac{8}{343}$。
(4) 计算$(-1\dfrac{4}{5})^3$：
先把带分数化为假分数：$-1\dfrac{4}{5}=-\dfrac{9}{5}$，底数为负数，指数3是奇数，幂的符号为负，
$(-1\dfrac{4}{5})^3=(-\dfrac{9}{5})^3=-\dfrac{9^3}{5^3}=-\dfrac{729}{125}$。
【答案】
(1) $\boxed{625}$；(2) $\boxed{\dfrac{27}{8}}$；(3) $\boxed{\dfrac{8}{343}}$；(4) $\boxed{-\dfrac{729}{125}}$
【知识点】
有理数乘方运算，带分数化假分数，有理数符号法则
【点评】
本题是有理数乘方的基础运算题，核心是熟练掌握乘方的符号判定规则，注意带分数必须先化为假分数再进行乘方计算，避免拆分带分数运算出现错误。
【难度系数】
0.8

变式训练
1. 如果$a$的倒数是$－1$，那么$a^{2024}$等于.

1. 1

【分析】
解题时首先要明确目标是求$a^{2024}$的值，因此需要先求出$a$的取值。第一步结合倒数的定义求解：乘积为1的两个数互为倒数，已知$a$的倒数是$-1$，即可算出$a$的值；第二步计算乘方，根据有理数乘方的符号规律，负数的偶次幂为正，且$-1$的任意正偶次幂都等于1，结合指数2024是偶数的特点，就能直接得出结果。
【解析】
解：
∵ 互为倒数的两个数乘积为1，且$a$的倒数是$-1$，
∴ $a = 1÷(-1) = -1$，
∴ $a^{2024}=(-1)^{2024}$，
∵ 2024是正偶数，负数的偶次幂为正数，且$-1$的正偶次幂等于1，
∴ $(-1)^{2024}=1$。
【答案】
1
【知识点】
倒数的定义；有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础概念应用类题目，解题核心是熟练掌握倒数的定义和负数乘方的符号规律，只要准确求出$a$的值、正确判断指数的奇偶性，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9