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1. 若二次函数$y=x^2 -4x +c$的最小值为0，则c的值为(
A.2
B.4
C.-4
D.16
B
)。A.2
B.4
C.-4
D.16
答案
1. B
解析
【分析】
本题考查二次函数最小值的求解，解题思路清晰：首先二次项系数a=1＞0，函数图象开口向上，最小值就是顶点的纵坐标，我们可以通过配方法将一般式转化为顶点式直接得到最值，或套用二次函数最值公式列方程，两种方法均为九年级阶段要求掌握的常规解法。
【解析】
方法1：配方法
将二次函数配方转化为顶点式：
$y = x^2 -4x +c = (x^2 -4x +4) + c -4 = (x-2)^2 + c -4$
∵平方数非负，即$(x-2)^2 ≥ 0$，因此函数的最小值为$c-4$
根据题意最小值为0，可得方程：$c-4=0$，解得$c=4$。
方法2：最值公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当$a＞0$时，最小值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
本题中$a=1$，$b=-4$，最小值为0，代入公式得：
$\frac{4×1× c - (-4)^2}{4×1}=0$
化简得$4c-16=0$，解得$c=4$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数最值计算；配方法；二次函数顶点性质
【点评】
本题是二次函数板块的基础常考题，核心考察二次函数最值的求解方法，熟练掌握配方法或最值公式即可快速得分，属于二次函数的基础得分题型。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数最小值的求解，解题思路清晰：首先二次项系数a=1＞0，函数图象开口向上，最小值就是顶点的纵坐标，我们可以通过配方法将一般式转化为顶点式直接得到最值，或套用二次函数最值公式列方程，两种方法均为九年级阶段要求掌握的常规解法。
【解析】
方法1：配方法
将二次函数配方转化为顶点式：
$y = x^2 -4x +c = (x^2 -4x +4) + c -4 = (x-2)^2 + c -4$
∵平方数非负，即$(x-2)^2 ≥ 0$，因此函数的最小值为$c-4$
根据题意最小值为0，可得方程：$c-4=0$，解得$c=4$。
方法2：最值公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当$a＞0$时，最小值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
本题中$a=1$，$b=-4$，最小值为0，代入公式得：
$\frac{4×1× c - (-4)^2}{4×1}=0$
化简得$4c-16=0$，解得$c=4$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数最值计算；配方法；二次函数顶点性质
【点评】
本题是二次函数板块的基础常考题，核心考察二次函数最值的求解方法，熟练掌握配方法或最值公式即可快速得分，属于二次函数的基础得分题型。
【难度系数】
0.8
2. 已知二次函数$y=ax^2 + 4x + a - 1$的最小值为2，则a的值为(
A.3
B.-1
C.4
D.4或-1
C
)。A.3
B.-1
C.4
D.4或-1
答案
2. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确二次函数有最小值的前提是开口向上，即二次项系数a＞0，先确定a的取值范围；再结合二次函数一般式的最值公式，代入对应系数列方程求解，最后结合a＞0的条件筛选出正确结果即可。
【解析】
∵ 二次函数$y=ax^2 + 4x + a - 1$有最小值，
∴ 抛物线开口向上，即$a＞0$。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，最小值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，本题中$b=4$，$c=a-1$，最小值为2，代入得：
$\frac{4a(a-1)-4^2}{4a}=2$
化简方程：
左边分子化简为$4a^2-4a-16$，方程变为$\frac{4a^2-4a-16}{4a}=2$，
两边同乘$4a$（$a≠0$）得：$4a^2-4a-16=8a$，
移项整理得：$a^2-3a-4=0$，
因式分解得：$(a-4)(a+1)=0$，
解得$a=4$或$a=-1$。
结合之前$a＞0$的条件，舍去$a=-1$，故$a=4$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数性质，二次函数最值计算，一元二次方程求解
【点评】
本题属于二次函数最值的基础易错题，核心易错点是容易忽略“有最小值”对应开口向上（a＞0）的隐含条件，直接求解方程后误选两个根，解题时需先判断二次项系数的符号，再进行计算。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先明确二次函数有最小值的前提是开口向上，即二次项系数a＞0，先确定a的取值范围；再结合二次函数一般式的最值公式，代入对应系数列方程求解，最后结合a＞0的条件筛选出正确结果即可。
【解析】
∵ 二次函数$y=ax^2 + 4x + a - 1$有最小值，
∴ 抛物线开口向上，即$a＞0$。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，最小值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，本题中$b=4$，$c=a-1$，最小值为2，代入得：
$\frac{4a(a-1)-4^2}{4a}=2$
化简方程：
左边分子化简为$4a^2-4a-16$，方程变为$\frac{4a^2-4a-16}{4a}=2$，
两边同乘$4a$（$a≠0$）得：$4a^2-4a-16=8a$，
移项整理得：$a^2-3a-4=0$，
因式分解得：$(a-4)(a+1)=0$，
解得$a=4$或$a=-1$。
结合之前$a＞0$的条件，舍去$a=-1$，故$a=4$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数性质，二次函数最值计算，一元二次方程求解
【点评】
本题属于二次函数最值的基础易错题，核心易错点是容易忽略“有最小值”对应开口向上（a＞0）的隐含条件，直接求解方程后误选两个根，解题时需先判断二次项系数的符号，再进行计算。
【难度系数】
0.6
3. 已知一个直角三角形的两条直角边长之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为（
A.$25\ \mathrm{cm}^2$
B.$50\ \mathrm{cm}^2$
C.$100\ \mathrm{cm}^2$
D.不确定
B
）。A.$25\ \mathrm{cm}^2$
B.$50\ \mathrm{cm}^2$
C.$100\ \mathrm{cm}^2$
D.不确定
答案
3. B
解析
【分析】
要解决直角三角形最大面积的问题，我们可以先通过设未知数表示出两条直角边的长度，再结合直角三角形面积公式得到面积关于边长的函数表达式，最后利用二次函数的最值性质求出最大面积即可。首先设其中一条直角边长为x cm，由两条直角边之和为20 cm，可得另一条直角边长为(20-x) cm，根据面积公式列出函数，结合二次函数开口方向判断最值位置，代入计算即可。
【解析】
设该直角三角形的一条直角边长为$ x\ \mathrm{cm} $，则另一条直角边长为$ (20-x)\ \mathrm{cm} $，其中$ 0＜x＜20 $。
根据直角三角形面积公式，可得面积$ S $为：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}x(20-x)\\&=-\frac{1}{2}x^2 + 10x\end{aligned}$
该函数是二次函数，其中二次项系数$ a=-\frac{1}{2}＜0 $，因此函数图象开口向下，存在最大值。
根据二次函数顶点公式，当$ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2×(-\frac{1}{2})}=10 $时，$ S $取得最大值：
$S_{\mathrm{max}}=\frac{1}{2}×10×(20-10)=50\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数的最值应用
2. 直角三角形面积计算
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础题型，解题的核心是通过设未知数建立面积的函数关系式，再利用二次函数的性质求解最值，能很好地考查学生对二次函数实际应用的掌握程度。
【难度系数】
0.7
要解决直角三角形最大面积的问题，我们可以先通过设未知数表示出两条直角边的长度，再结合直角三角形面积公式得到面积关于边长的函数表达式，最后利用二次函数的最值性质求出最大面积即可。首先设其中一条直角边长为x cm，由两条直角边之和为20 cm，可得另一条直角边长为(20-x) cm，根据面积公式列出函数，结合二次函数开口方向判断最值位置，代入计算即可。
【解析】
设该直角三角形的一条直角边长为$ x\ \mathrm{cm} $，则另一条直角边长为$ (20-x)\ \mathrm{cm} $，其中$ 0＜x＜20 $。
根据直角三角形面积公式，可得面积$ S $为：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}x(20-x)\\&=-\frac{1}{2}x^2 + 10x\end{aligned}$
该函数是二次函数，其中二次项系数$ a=-\frac{1}{2}＜0 $，因此函数图象开口向下，存在最大值。
根据二次函数顶点公式，当$ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2×(-\frac{1}{2})}=10 $时，$ S $取得最大值：
$S_{\mathrm{max}}=\frac{1}{2}×10×(20-10)=50\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数的最值应用
2. 直角三角形面积计算
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础题型，解题的核心是通过设未知数建立面积的函数关系式，再利用二次函数的性质求解最值，能很好地考查学生对二次函数实际应用的掌握程度。
【难度系数】
0.7
4. 如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园ABCD，花园两边由总长为18 m的篱笆围成，墙长DE=8 m，DF=12 m，则这个矩形花园的最大面积为(
A.72 m²
B.80 m²
C.81 m²
D.96 m²
B
)。A.72 m²
B.80 m²
C.81 m²
D.96 m²
答案
4. B
解析
【分析】
本题是二次函数求实际最值的问题，解题思路如下：第一步，设矩形的一边长为未知数，用篱笆总长表示出另一边长；第二步，结合两面墙的长度限制，求出未知数的取值范围；第三步，写出面积关于未知数的二次函数表达式，根据二次函数的单调性，在取值范围内求出面积的最大值即可。注意不要忽略墙长限制直接求二次函数顶点处的最值，避免出错。
【解析】
解：设矩形花园AB的长度为$x\ \mathrm{m}$，则BC的长度为$(18-x)\ \mathrm{m}$，花园面积为$S\ \mathrm{m}^2$。
根据墙长的限制条件：
1. 左侧墙$DE=8\ \mathrm{m}$，矩形的AD边靠墙，故$AD=BC≤8\ \mathrm{m}$，即$18-x≤8$，解得$x≥10$；
2. 下侧墙$DF=12\ \mathrm{m}$，矩形的CD边靠墙，故$CD=AB≤12\ \mathrm{m}$，即$x≤12$；
因此自变量$x$的取值范围为$10≤ x≤12$。
矩形面积公式：$S = x·(18-x) = -x^2 + 18x$，该二次函数开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=\frac{18}{2}=9$。
由二次函数性质可知，开口向下时，在对称轴右侧（$x＞9$），$S$随$x$的增大而减小，因此在$10≤ x≤12$范围内，当$x=10$时，$S$取得最大值：
$S_{\mathrm{max}}=10×(18-10)=80\ \mathrm{m}^2$
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数实际应用
2. 二次函数最值计算
3. 自变量取值范围确定
【点评】
本题属于易错题，难点在于容易忽略实际场景中墙长对矩形边长的限制，直接计算二次函数顶点处的面积得到错误结果，解题时要先结合实际约束确定自变量范围，再根据函数性质求最值。
【难度系数】
0.6
本题是二次函数求实际最值的问题，解题思路如下：第一步，设矩形的一边长为未知数，用篱笆总长表示出另一边长；第二步，结合两面墙的长度限制，求出未知数的取值范围；第三步，写出面积关于未知数的二次函数表达式，根据二次函数的单调性，在取值范围内求出面积的最大值即可。注意不要忽略墙长限制直接求二次函数顶点处的最值，避免出错。
【解析】
解：设矩形花园AB的长度为$x\ \mathrm{m}$，则BC的长度为$(18-x)\ \mathrm{m}$，花园面积为$S\ \mathrm{m}^2$。
根据墙长的限制条件：
1. 左侧墙$DE=8\ \mathrm{m}$，矩形的AD边靠墙，故$AD=BC≤8\ \mathrm{m}$，即$18-x≤8$，解得$x≥10$；
2. 下侧墙$DF=12\ \mathrm{m}$，矩形的CD边靠墙，故$CD=AB≤12\ \mathrm{m}$，即$x≤12$；
因此自变量$x$的取值范围为$10≤ x≤12$。
矩形面积公式：$S = x·(18-x) = -x^2 + 18x$，该二次函数开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=\frac{18}{2}=9$。
由二次函数性质可知，开口向下时，在对称轴右侧（$x＞9$），$S$随$x$的增大而减小，因此在$10≤ x≤12$范围内，当$x=10$时，$S$取得最大值：
$S_{\mathrm{max}}=10×(18-10)=80\ \mathrm{m}^2$
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数实际应用
2. 二次函数最值计算
3. 自变量取值范围确定
【点评】
本题属于易错题，难点在于容易忽略实际场景中墙长对矩形边长的限制，直接计算二次函数顶点处的面积得到错误结果，解题时要先结合实际约束确定自变量范围，再根据函数性质求最值。
【难度系数】
0.6
5. 已知等腰三角形的面积$S$与底边长$x$之间的关系可表示为$S=-5x^2 +10x +4$，要使$S$取得最大值，则$x=$
1
。答案
5. 1
解析
【分析】
本题需要求面积S取最大值时对应的底边长x，首先观察S与x的关系式符合二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a\ne0$）的形式。因为二次项系数$a=-5＜0$，所以该函数图象开口向下，函数在顶点处取得最大值，顶点的横坐标就是要求的x的值，直接用二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$计算即可。
【解析】
解：已知$S=-5x^2 +10x +4$是关于x的二次函数，其中$a=-5$，$b=10$。
∵ $a=-5＜0$，
∴ 该二次函数图象开口向下，在顶点处S取得最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2×(-5)}=1$
即当$x=1$时，S取得最大值。
【答案】
1
【知识点】
二次函数的最值；二次函数顶点坐标公式
【点评】
本题属于二次函数最值的基础应用类题目，解题核心是明确开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，牢记顶点横坐标计算公式即可快速解题。
【难度系数】
0.85
本题需要求面积S取最大值时对应的底边长x，首先观察S与x的关系式符合二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a\ne0$）的形式。因为二次项系数$a=-5＜0$，所以该函数图象开口向下，函数在顶点处取得最大值，顶点的横坐标就是要求的x的值，直接用二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$计算即可。
【解析】
解：已知$S=-5x^2 +10x +4$是关于x的二次函数，其中$a=-5$，$b=10$。
∵ $a=-5＜0$，
∴ 该二次函数图象开口向下，在顶点处S取得最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2×(-5)}=1$
即当$x=1$时，S取得最大值。
【答案】
1
【知识点】
二次函数的最值；二次函数顶点坐标公式
【点评】
本题属于二次函数最值的基础应用类题目，解题核心是明确开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，牢记顶点横坐标计算公式即可快速解题。
【难度系数】
0.85
6. 将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是
12.5 cm²
。答案
6. 12.5 cm²
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要将实际几何问题转化为二次函数最值问题：首先设其中一段铁丝的长度为自变量，根据正方形周长和边长的关系，分别表示出两个正方形的边长，再结合正方形面积公式写出面积之和的函数表达式，最后利用二次函数的性质求最小值即可，注意自变量的取值要符合实际意义。
【解析】
解：设其中一段铁丝的长度为$ x \, \mathrm{cm} $，则另一段铁丝的长度为$ (20 - x) \, \mathrm{cm} $（$ 0 ＜ x ＜ 20 $）。
两个正方形的边长分别为$ \frac{x}{4} \, \mathrm{cm} $和$ \frac{20 - x}{4} \, \mathrm{cm} $，设两个正方形的面积之和为$ S \, \mathrm{cm}^2 $，则：
$\begin{aligned}S&=(\frac{x}{4})^2 + (\frac{20 - x}{4})^2\\&=\frac{x^2}{16} + \frac{400 - 40x + x^2}{16}\\&=\frac{2x^2 - 40x + 400}{16}\\&=\frac{x^2 - 20x + 200}{8}\\&=\frac{1}{8}(x - 10)^2 + 12.5\end{aligned}$
$\because$ 二次项系数$ \frac{1}{8} ＞ 0 $，抛物线开口向上，
$\therefore$ 当$ x = 10 $时，$ S $取得最小值，最小值为$ 12.5 \, \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
$ 12.5 \, \mathrm{cm}^2 $
【知识点】
1. 二次函数的最值
2. 正方形周长与面积计算
3. 二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数几何最值的典型基础题，解题核心是合理设元，结合几何性质建立正确的函数模型，再通过配方等方法求解最值，解题时需注意自变量的取值要符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们需要将实际几何问题转化为二次函数最值问题：首先设其中一段铁丝的长度为自变量，根据正方形周长和边长的关系，分别表示出两个正方形的边长，再结合正方形面积公式写出面积之和的函数表达式，最后利用二次函数的性质求最小值即可，注意自变量的取值要符合实际意义。
【解析】
解：设其中一段铁丝的长度为$ x \, \mathrm{cm} $，则另一段铁丝的长度为$ (20 - x) \, \mathrm{cm} $（$ 0 ＜ x ＜ 20 $）。
两个正方形的边长分别为$ \frac{x}{4} \, \mathrm{cm} $和$ \frac{20 - x}{4} \, \mathrm{cm} $，设两个正方形的面积之和为$ S \, \mathrm{cm}^2 $，则：
$\begin{aligned}S&=(\frac{x}{4})^2 + (\frac{20 - x}{4})^2\\&=\frac{x^2}{16} + \frac{400 - 40x + x^2}{16}\\&=\frac{2x^2 - 40x + 400}{16}\\&=\frac{x^2 - 20x + 200}{8}\\&=\frac{1}{8}(x - 10)^2 + 12.5\end{aligned}$
$\because$ 二次项系数$ \frac{1}{8} ＞ 0 $，抛物线开口向上，
$\therefore$ 当$ x = 10 $时，$ S $取得最小值，最小值为$ 12.5 \, \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
$ 12.5 \, \mathrm{cm}^2 $
【知识点】
1. 二次函数的最值
2. 正方形周长与面积计算
3. 二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数几何最值的典型基础题，解题核心是合理设元，结合几何性质建立正确的函数模型，再通过配方等方法求解最值，解题时需注意自变量的取值要符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
7. 如图,在一个直角三角形内作一个矩形ABCD,其中AB和BC分别在两条直角边上,点D在斜边EF上,设AB = x m,矩形的面积为y m²,要使矩形的面积最大,求x的值。
答案
∵ 四边形ABCD为矩形,
∴ AD//BC。
∴ △EAD∽△EBF。
∴ $\frac{EA}{EB}=\frac{AD}{BF}$。
∵ AB = x m,BE = 5 m,
∴ EA = (5 - x) m。
∴ $AD = \frac{EA · BF}{EB} = \frac{12(5 - x)}{5}$ m。
∴ $y = x \frac{12(5 - x)}{5}$,整理,得 $y = -\frac{12}{5}x^2 + 12x = -\frac{12}{5}(x - \frac{5}{2})^2 + 15$。
∵ $-\frac{12}{5}＜0$,
∴ 矩形ABCD的面积有最大值。由题意,得 0 ＜ x ＜ 5,因此,要使矩形的面积最大,x 的值为$\frac{5}{2}$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要先建立矩形面积关于x的函数表达式，再求函数取最大值时x的值。①首先利用矩形对边平行的性质，得到一对相似三角形，通过相似三角形的对应边成比例，把矩形的另一条边长用含x的式子表示出来；②再根据矩形面积公式写出面积y与x的函数关系，可得二次函数解析式；③最后结合二次函数的最值性质，同时考虑x的实际取值范围，即可求出面积最大时x的取值。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，
∴ △EAD∽△EBF，
∴ $\frac{EA}{EB}=\frac{AD}{BF}$。
已知AB=x m，EB=5 m，BF=12 m，
∴ EA = EB - AB = (5 - x) m，
代入比例式得：$AD=\frac{EA·BF}{EB}=\frac{12(5-x)}{5}$ m。
根据矩形面积公式$y=AB·AD$，代入得：
$y = x·\frac{12(5-x)}{5}$，
整理得：$y = -\frac{12}{5}x^2 + 12x$，
配方得：$y = -\frac{12}{5}(x-\frac{5}{2})^2 + 15$，
∵ $-\frac{12}{5}＜0$，
∴ 该二次函数开口向下，函数存在最大值，
结合实际意义，x的取值范围为$0＜x＜5$，
∴ 当$x=\frac{5}{2}$时，矩形的面积最大。
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
相似三角形的性质，二次函数的最值，矩形的性质
【点评】
本题是几何与函数结合的基础应用题，解题的核心是通过相似三角形建立边长之间的关系，从而构造出面积的二次函数模型，再利用二次函数的性质求解最值，解题时需注意自变量的实际取值范围。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们需要先建立矩形面积关于x的函数表达式，再求函数取最大值时x的值。①首先利用矩形对边平行的性质，得到一对相似三角形，通过相似三角形的对应边成比例，把矩形的另一条边长用含x的式子表示出来；②再根据矩形面积公式写出面积y与x的函数关系，可得二次函数解析式；③最后结合二次函数的最值性质，同时考虑x的实际取值范围，即可求出面积最大时x的取值。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，
∴ △EAD∽△EBF，
∴ $\frac{EA}{EB}=\frac{AD}{BF}$。
已知AB=x m，EB=5 m，BF=12 m，
∴ EA = EB - AB = (5 - x) m，
代入比例式得：$AD=\frac{EA·BF}{EB}=\frac{12(5-x)}{5}$ m。
根据矩形面积公式$y=AB·AD$，代入得：
$y = x·\frac{12(5-x)}{5}$，
整理得：$y = -\frac{12}{5}x^2 + 12x$，
配方得：$y = -\frac{12}{5}(x-\frac{5}{2})^2 + 15$，
∵ $-\frac{12}{5}＜0$，
∴ 该二次函数开口向下，函数存在最大值，
结合实际意义，x的取值范围为$0＜x＜5$，
∴ 当$x=\frac{5}{2}$时，矩形的面积最大。
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
相似三角形的性质，二次函数的最值，矩形的性质
【点评】
本题是几何与函数结合的基础应用题，解题的核心是通过相似三角形建立边长之间的关系，从而构造出面积的二次函数模型，再利用二次函数的性质求解最值，解题时需注意自变量的实际取值范围。
【难度系数】
0.7
