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17. 先化简,再求值:$(2a+b)^2 - (2a - b)(a + b) - 2(a - 2b)(a + 2b)$,其中$a=\frac{1}{2}$, $b=-2$.
答案
原式$=3ab+10b^2$. 当$a=\frac{1}{2}, b=-2$时,原式$=3×\frac{1}{2}×(-2)+10×(-2)^2=37$
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题思路可分为三步：第一步分别利用完全平方公式、多项式乘多项式法则、平方差公式展开原式中的三个乘积项；第二步去括号，注意括号前是负号时括号内各项要变号，再合并同类项得到最简整式；第三步将a、b的取值代入最简式计算即可得到结果，先化简再代值能大幅减少计算量，避免直接代值计算出错。
【解析】
解：先利用对应法则和公式展开各项：
1. 根据完全平方公式：$(2a+b)^2=4a^2+4ab+b^2$
2. 根据多项式乘多项式法则：$(2a-b)(a+b)=2a^2+2ab-ab-b^2=2a^2+ab-b^2$
3. 根据平方差公式：$(a-2b)(a+2b)=a^2-(2b)^2=a^2-4b^2$，因此$2(a-2b)(a+2b)=2a^2-8b^2$
将上述结果代入原式化简：
$\begin{aligned}原式&=(4a^2+4ab+b^2)-(2a^2+ab-b^2)-(2a^2-8b^2)\\&=4a^2+4ab+b^2-2a^2-ab+b^2-2a^2+8b^2\\&=(4a^2-2a^2-2a^2)+(4ab-ab)+(b^2+b^2+8b^2)\\&=3ab+10b^2\end{aligned}$
再将$a=\frac{1}{2}$，$b=-2$代入最简式计算：
$\begin{aligned}原式&=3×\frac{1}{2}×(-2)+10×(-2)^2\\&=-3+10×4\\&=-3+40\\&=37\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$3ab+10b^2$，求值结果为$\boxed{37}$
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、整式化简求值
【点评】
本题重点考查整式乘法相关公式和运算法则的应用，解题时需格外注意去括号的符号变化，以及负数乘方的运算规则，熟练掌握乘法公式是快速准确解题的核心。
【难度系数】
0.7
这是一道整式化简求值题，解题思路可分为三步：第一步分别利用完全平方公式、多项式乘多项式法则、平方差公式展开原式中的三个乘积项；第二步去括号，注意括号前是负号时括号内各项要变号，再合并同类项得到最简整式；第三步将a、b的取值代入最简式计算即可得到结果，先化简再代值能大幅减少计算量，避免直接代值计算出错。
【解析】
解：先利用对应法则和公式展开各项：
1. 根据完全平方公式：$(2a+b)^2=4a^2+4ab+b^2$
2. 根据多项式乘多项式法则：$(2a-b)(a+b)=2a^2+2ab-ab-b^2=2a^2+ab-b^2$
3. 根据平方差公式：$(a-2b)(a+2b)=a^2-(2b)^2=a^2-4b^2$，因此$2(a-2b)(a+2b)=2a^2-8b^2$
将上述结果代入原式化简：
$\begin{aligned}原式&=(4a^2+4ab+b^2)-(2a^2+ab-b^2)-(2a^2-8b^2)\\&=4a^2+4ab+b^2-2a^2-ab+b^2-2a^2+8b^2\\&=(4a^2-2a^2-2a^2)+(4ab-ab)+(b^2+b^2+8b^2)\\&=3ab+10b^2\end{aligned}$
再将$a=\frac{1}{2}$，$b=-2$代入最简式计算：
$\begin{aligned}原式&=3×\frac{1}{2}×(-2)+10×(-2)^2\\&=-3+10×4\\&=-3+40\\&=37\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$3ab+10b^2$，求值结果为$\boxed{37}$
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、整式化简求值
【点评】
本题重点考查整式乘法相关公式和运算法则的应用，解题时需格外注意去括号的符号变化，以及负数乘方的运算规则，熟练掌握乘法公式是快速准确解题的核心。
【难度系数】
0.7
18.【发现】任意五个连续整数的平方和是5的倍数.
【验证】(1) $(-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2$ 的结果是5的几倍？
(2) 设五个连续整数的中间一个为$n$，写出它们的平方和，并说明它是5的倍数.
【验证】(1) $(-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2$ 的结果是5的几倍？
(2) 设五个连续整数的中间一个为$n$，写出它们的平方和，并说明它是5的倍数.
答案
(1) $\because (-1)^2+0^2+1^2+2^2+3^2=1+0+1+4+9=15, 15÷5=3, \therefore$ 结果是5的3倍 (2) $\because$ 五个连续整数的中间一个为$n, \therefore$ 其余的4个整数分别是: $n-2, n-1, n+1, n+2$. 它们的平方和为: $(n-2)^2+(n-1)^2+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=n^2-4n+4+n^2-2n+1+n^2+n^2+2n+1+n^2+4n+4=5n^2+10=5(n^2+2). \because n$是整数, $\therefore n^2+2$是整数. $\therefore$ 五个连续整数的平方和是5的倍数
解析
【分析】
(1) 第一小问属于基础计算类问题，解题思路为先分别计算各数的平方，求和得到总结果后，再除以5即可得到对应的倍数。
(2) 第二小问为代数证明类问题，首先结合连续整数的特点，以中间数$n$为基准，表示出其余四个连续整数；接着写出五个数的平方和表达式，利用完全平方公式展开所有平方项，再合并同类项完成化简，最后将化简结果整理为5乘以一个整式的形式，结合整数的性质即可证明其为5的倍数。
【解析】
(1) 计算平方和：
$(-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 0 + 1 + 4 + 9 = 15$
计算倍数：$15÷5=3$
因此结果是5的3倍。
(2) 已知五个连续整数的中间一个为$n$，则其余4个整数分别为$n-2$、$n-1$、$n+1$、$n+2$。
它们的平方和为：
$\begin{aligned}&(n-2)^2+(n-1)^2+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2\\=&n^2-4n+4 + n^2-2n+1 + n^2 + n^2+2n+1 + n^2+4n+4\\=&5n^2+10\\=&5(n^2+2)\end{aligned}$
因为$n$是整数，所以$n^2+2$也是整数，因此$5(n^2+2)$是5的倍数，即五个连续整数的平方和是5的倍数。
【答案】
(1) 结果是5的3倍；(2) 平方和为$5(n^2+2)$，是5的倍数，理由见解析。
【知识点】
完全平方公式，整式化简，倍数判定
【点评】
本题结合规律探究考查基础运算与代数推理能力，既检验了有理数计算、整式运算的基础掌握程度，也引导学生理解用字母表示数进行一般性证明的思路，属于基础综合类题型。
【难度系数】
0.8
(1) 第一小问属于基础计算类问题，解题思路为先分别计算各数的平方，求和得到总结果后，再除以5即可得到对应的倍数。
(2) 第二小问为代数证明类问题，首先结合连续整数的特点，以中间数$n$为基准，表示出其余四个连续整数；接着写出五个数的平方和表达式，利用完全平方公式展开所有平方项，再合并同类项完成化简，最后将化简结果整理为5乘以一个整式的形式，结合整数的性质即可证明其为5的倍数。
【解析】
(1) 计算平方和：
$(-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 0 + 1 + 4 + 9 = 15$
计算倍数：$15÷5=3$
因此结果是5的3倍。
(2) 已知五个连续整数的中间一个为$n$，则其余4个整数分别为$n-2$、$n-1$、$n+1$、$n+2$。
它们的平方和为：
$\begin{aligned}&(n-2)^2+(n-1)^2+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2\\=&n^2-4n+4 + n^2-2n+1 + n^2 + n^2+2n+1 + n^2+4n+4\\=&5n^2+10\\=&5(n^2+2)\end{aligned}$
因为$n$是整数，所以$n^2+2$也是整数，因此$5(n^2+2)$是5的倍数，即五个连续整数的平方和是5的倍数。
【答案】
(1) 结果是5的3倍；(2) 平方和为$5(n^2+2)$，是5的倍数，理由见解析。
【知识点】
完全平方公式，整式化简，倍数判定
【点评】
本题结合规律探究考查基础运算与代数推理能力，既检验了有理数计算、整式运算的基础掌握程度，也引导学生理解用字母表示数进行一般性证明的思路，属于基础综合类题型。
【难度系数】
0.8
