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10. 先化简,再求值:$(a+2b)^2+(b+a)(b-a)$,其中$a=-1, b=2.$
答案
原式$=a^2+4ab+4b^2+b^2-a^2=4ab+5b^2$. 当$a=-1, b=2$时,原式$=4×(-1)×2+5×2^2=12$
解析
【分析】
本题是整式化简求值类题目，解题思路清晰明确：第一步先观察算式结构，识别出$(a+2b)^2$符合完全平方和公式的结构，$(b+a)(b-a)$符合平方差公式的结构；第二步分别运用对应乘法公式展开两个乘积项，再合并同类项得到最简整式；第三步将已知的$a$、$b$的值代入最简整式计算结果，先化简再求值的方式能降低运算难度，减少计算失误。
【解析】
解：根据乘法公式展开计算：
1. 展开完全平方项：$(a+2b)^2=a^2+4ab+4b^2$
2. 展开平方差项：$(b+a)(b-a)=b^2-a^2$
3. 合并同类项化简：
原式$=a^2+4ab+4b^2+b^2-a^2=4ab+5b^2$
4. 代入$a=-1$，$b=2$求值：
原式$=4×(-1)×2+5×2^2=-8+20=12$
【答案】
12
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题核心考查整式乘法两个基础公式的应用，准确识别公式的结构特征、熟练掌握公式的展开规则是解题关键，先化简后代入的运算思路能有效提升计算准确率。
【难度系数】
0.8
本题是整式化简求值类题目，解题思路清晰明确：第一步先观察算式结构，识别出$(a+2b)^2$符合完全平方和公式的结构，$(b+a)(b-a)$符合平方差公式的结构；第二步分别运用对应乘法公式展开两个乘积项，再合并同类项得到最简整式；第三步将已知的$a$、$b$的值代入最简整式计算结果，先化简再求值的方式能降低运算难度，减少计算失误。
【解析】
解：根据乘法公式展开计算：
1. 展开完全平方项：$(a+2b)^2=a^2+4ab+4b^2$
2. 展开平方差项：$(b+a)(b-a)=b^2-a^2$
3. 合并同类项化简：
原式$=a^2+4ab+4b^2+b^2-a^2=4ab+5b^2$
4. 代入$a=-1$，$b=2$求值：
原式$=4×(-1)×2+5×2^2=-8+20=12$
【答案】
12
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题核心考查整式乘法两个基础公式的应用，准确识别公式的结构特征、熟练掌握公式的展开规则是解题关键，先化简后代入的运算思路能有效提升计算准确率。
【难度系数】
0.8
11. 若$(x-3y)^2=(x+3y)^2+A$，则A等于 【 】
A.$6xy$
B.$-6xy$
C.$12xy$
D.$-12xy$
A.$6xy$
B.$-6xy$
C.$12xy$
D.$-12xy$
答案
D
解析
【分析】
要求出A的值，首先可通过移项将A单独放在等式一侧，得到$A=(x-3y)^2 - (x+3y)^2$，接下来回忆完全平方公式，分别将两个完全平方式展开，再通过去括号、合并同类项化简，就能得到A的结果。
【解析】
首先对等式移项可得：
$A=(x-3y)^2 - (x+3y)^2$
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，分别展开两个平方项：
$(x-3y)^2=x^2 - 6xy + 9y^2$
$(x+3y)^2=x^2 + 6xy + 9y^2$
将展开结果代入A的表达式：
$A=(x^2 - 6xy + 9y^2) - (x^2 + 6xy + 9y^2)$
去括号（括号前为负号，括号内各项需变号）：
$A=x^2 - 6xy + 9y^2 - x^2 - 6xy - 9y^2$
合并同类项后得：
$A=-12xy$
因此A的值为$-12xy$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；整式的加减运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查完全平方公式的应用，解题时要注意完全平方公式展开后中间项的符号，以及去括号时的符号变化，熟练掌握公式是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
要求出A的值，首先可通过移项将A单独放在等式一侧，得到$A=(x-3y)^2 - (x+3y)^2$，接下来回忆完全平方公式，分别将两个完全平方式展开，再通过去括号、合并同类项化简，就能得到A的结果。
【解析】
首先对等式移项可得：
$A=(x-3y)^2 - (x+3y)^2$
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，分别展开两个平方项：
$(x-3y)^2=x^2 - 6xy + 9y^2$
$(x+3y)^2=x^2 + 6xy + 9y^2$
将展开结果代入A的表达式：
$A=(x^2 - 6xy + 9y^2) - (x^2 + 6xy + 9y^2)$
去括号（括号前为负号，括号内各项需变号）：
$A=x^2 - 6xy + 9y^2 - x^2 - 6xy - 9y^2$
合并同类项后得：
$A=-12xy$
因此A的值为$-12xy$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；整式的加减运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查完全平方公式的应用，解题时要注意完全平方公式展开后中间项的符号，以及去括号时的符号变化，熟练掌握公式是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
12. 若$(x+y)^2=11$，$(x-y)^2=7$，则$xy$的值为 【 】
A.$-2$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$
A.$-2$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$
答案
C
解析
【分析】
观察已知条件，两个等式分别是两数和的平方、两数差的平方，首先想到利用完全平方公式将两个等式展开。展开后两个式子均含有$x^2+y^2$项，将两个等式作差即可消去$x^2$和$y^2$，得到仅含$xy$的等式，进而求出$xy$的值。
【解析】
解：根据完全平方公式展开已知等式：
$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=11$ ①
$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=7$ ②
用①式减去②式，得：
$(x^2+2xy+y^2)-(x^2-2xy+y^2)=11-7$
化简左边：$x^2+2xy+y^2-x^2+2xy-y^2=4xy$
右边计算得$4$，因此$4xy=4$
两边同时除以4，得$xy=1$
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活应用，通过对两个完全平方式作差消去公共项是求解这类问题的常用技巧，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键。
【难度系数】
0.8
观察已知条件，两个等式分别是两数和的平方、两数差的平方，首先想到利用完全平方公式将两个等式展开。展开后两个式子均含有$x^2+y^2$项，将两个等式作差即可消去$x^2$和$y^2$，得到仅含$xy$的等式，进而求出$xy$的值。
【解析】
解：根据完全平方公式展开已知等式：
$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=11$ ①
$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=7$ ②
用①式减去②式，得：
$(x^2+2xy+y^2)-(x^2-2xy+y^2)=11-7$
化简左边：$x^2+2xy+y^2-x^2+2xy-y^2=4xy$
右边计算得$4$，因此$4xy=4$
两边同时除以4，得$xy=1$
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活应用，通过对两个完全平方式作差消去公共项是求解这类问题的常用技巧，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键。
【难度系数】
0.8
13. 无论$a$、$b$为任何实数，$a^2 + b^2 - 2a -4b +5$的值总是 【 】
A.负数
B.0
C.正数
D.非负数
A.负数
B.0
C.正数
D.非负数
答案
D
解析
【分析】
要判断这个代数式的值的取值范围，我们可以利用配方法，将含有a的项和含有b的项分别配成完全平方的形式，再结合平方的非负性判断整体的取值。首先观察式子结构：a²-2a加上1可以凑成完全平方，b²-4b加上4可以凑成完全平方，而原式的常数项5正好可以拆成1+4，刚好满足配方的需求，配方后根据平方数的非负性就能得出结果。
【解析】
对原式进行配方：
$\begin{aligned}a^2 + b^2 - 2a -4b +5&=(a^2-2a+1)+(b^2-4b+4)\\&=(a-1)^2 + (b-2)^2\end{aligned}$
∵ 任何实数的平方都是非负数，即$(a-1)^2≥0$，$(b-2)^2≥0$
∴ $(a-1)^2 + (b-2)^2≥0$
即原式的值总是非负数。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；配方法；平方的非负性
【点评】
本题核心考查配方法的应用以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式的结构特征是正确配方的关键，通过配方将原式转化为平方和的形式，即可快速判断代数式的取值范围。
【难度系数】
0.8
要判断这个代数式的值的取值范围，我们可以利用配方法，将含有a的项和含有b的项分别配成完全平方的形式，再结合平方的非负性判断整体的取值。首先观察式子结构：a²-2a加上1可以凑成完全平方，b²-4b加上4可以凑成完全平方，而原式的常数项5正好可以拆成1+4，刚好满足配方的需求，配方后根据平方数的非负性就能得出结果。
【解析】
对原式进行配方：
$\begin{aligned}a^2 + b^2 - 2a -4b +5&=(a^2-2a+1)+(b^2-4b+4)\\&=(a-1)^2 + (b-2)^2\end{aligned}$
∵ 任何实数的平方都是非负数，即$(a-1)^2≥0$，$(b-2)^2≥0$
∴ $(a-1)^2 + (b-2)^2≥0$
即原式的值总是非负数。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；配方法；平方的非负性
【点评】
本题核心考查配方法的应用以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式的结构特征是正确配方的关键，通过配方将原式转化为平方和的形式，即可快速判断代数式的取值范围。
【难度系数】
0.8
14. 若$m - \frac{1}{m}=5$，则$m^2 + \frac{1}{m^2}$的值为
27
。答案
14. 27
解析
【分析】
首先观察已知条件$m - \frac{1}{m}=5$和待求式$m^2 + \frac{1}{m^2}$的结构特征，两者符合完全平方差公式的展开形式。完全平方差公式为$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，将已知等式两边同时平方，展开后会出现待求的$m^2+\frac{1}{m^2}$，且交叉项$2· m· \frac{1}{m}=2$是常数，移项即可求出待求式的值。
【解析】
已知$m - \frac{1}{m}=5$，将等式两边同时平方，得：
$(m - \frac{1}{m})^2 = 5^2$
根据完全平方差公式展开左边：
$m^2 - 2· m· \frac{1}{m} + \frac{1}{m^2}=25$
化简中间项可得：
$m^2 - 2 + \frac{1}{m^2}=25$
移项计算得：
$m^2 + \frac{1}{m^2}=25 + 2 =27$
【答案】
27
【知识点】
1. 完全平方差公式
2. 代数式变形求值
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活应用，解题核心是识别已知式和待求式的结构关联，通过平方已知等式建立两者的联系，是整式乘法模块的基础常考题，熟练掌握完全平方公式的变形是解题关键。
【难度系数】
0.8
首先观察已知条件$m - \frac{1}{m}=5$和待求式$m^2 + \frac{1}{m^2}$的结构特征，两者符合完全平方差公式的展开形式。完全平方差公式为$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，将已知等式两边同时平方，展开后会出现待求的$m^2+\frac{1}{m^2}$，且交叉项$2· m· \frac{1}{m}=2$是常数，移项即可求出待求式的值。
【解析】
已知$m - \frac{1}{m}=5$，将等式两边同时平方，得：
$(m - \frac{1}{m})^2 = 5^2$
根据完全平方差公式展开左边：
$m^2 - 2· m· \frac{1}{m} + \frac{1}{m^2}=25$
化简中间项可得：
$m^2 - 2 + \frac{1}{m^2}=25$
移项计算得：
$m^2 + \frac{1}{m^2}=25 + 2 =27$
【答案】
27
【知识点】
1. 完全平方差公式
2. 代数式变形求值
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活应用，解题核心是识别已知式和待求式的结构关联，通过平方已知等式建立两者的联系，是整式乘法模块的基础常考题，熟练掌握完全平方公式的变形是解题关键。
【难度系数】
0.8
15. 已知$a^2 + b^2 = 5$，$ab = 2$，则$a - b =$
$\pm1$
.答案
15. $\pm1$
解析
【分析】
本题要求$a-b$的值，观察已知条件给出了$a^2+b^2$和$ab$的数值，可联想到完全平方差公式的展开形式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，这个式子刚好可以代入已知的$a^2+b^2$和$ab$计算，先求出$(a-b)^2$的结果，再对其开平方就能得到$a-b$的值，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
根据完全平方差公式可得：
$\begin{aligned}(a-b)^2&=a^2-2ab+b^2\\&=(a^2+b^2)-2ab\end{aligned}$
将$a^2+b^2=5$，$ab=2$代入上式：
$\begin{aligned}(a-b)^2&=5-2×2\\&=5-4\\&=1\end{aligned}$
对等式两边开平方，得：
$a-b=\pm\sqrt{1}=\pm1$
【答案】
$\pm1$
【知识点】
1. 完全平方差公式
2. 平方根的性质
【点评】
本题属于完全平方公式的基础应用题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的变形应用，计算时注意正数开平方有正负两个结果，避免漏解。
【难度系数】
0.8
本题要求$a-b$的值，观察已知条件给出了$a^2+b^2$和$ab$的数值，可联想到完全平方差公式的展开形式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，这个式子刚好可以代入已知的$a^2+b^2$和$ab$计算，先求出$(a-b)^2$的结果，再对其开平方就能得到$a-b$的值，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
根据完全平方差公式可得：
$\begin{aligned}(a-b)^2&=a^2-2ab+b^2\\&=(a^2+b^2)-2ab\end{aligned}$
将$a^2+b^2=5$，$ab=2$代入上式：
$\begin{aligned}(a-b)^2&=5-2×2\\&=5-4\\&=1\end{aligned}$
对等式两边开平方，得：
$a-b=\pm\sqrt{1}=\pm1$
【答案】
$\pm1$
【知识点】
1. 完全平方差公式
2. 平方根的性质
【点评】
本题属于完全平方公式的基础应用题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的变形应用，计算时注意正数开平方有正负两个结果，避免漏解。
【难度系数】
0.8
16. 计算：
(1) $(a - 2b)(a + 2b) - (a - 2b)^2$；
(2) $(x - 3)^2(x + 3)^2$；
(3) $(3x - 5)^2 - (2x + 7)^2$；
(4) $(x + y + 1)(x + y - 1)$；
(1) $(a - 2b)(a + 2b) - (a - 2b)^2$；
(2) $(x - 3)^2(x + 3)^2$；
(3) $(3x - 5)^2 - (2x + 7)^2$；
(4) $(x + y + 1)(x + y - 1)$；
答案
(1) $4ab-8b^2$ (2) $x^4-18x^2+81$ (3) $5x^2-58x-24$ (4) $x^2+2xy+y^2-1$
解析
【分析】
本题属于整式的混合运算题，解题核心是熟练掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，结合式子特点灵活选择方法简化计算：
1. 遇到两数和乘两数差的结构优先用平方差公式展开；
2. 遇到两数和（差）的平方结构用完全平方公式展开；
3. 观察式子是否能用整体思想简化运算，如第(2)题逆用积的乘方、第(4)题将$(x+y)$看作整体，可减少计算量；
4. 运算顺序为先算乘方、乘法，再算加减，去括号时注意符号变化，最后要合并同类项。
【解析】
(1) 原式利用平方差公式和完全平方公式分别展开，再合并同类项：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=a^2-(2b)^2-(a^2-4ab+4b^2)\\&=a^2-4b^2-a^2+4ab-4b^2\\&=4ab-8b^2\end{aligned}$
(2) 原式先逆用积的乘方公式，再依次用平方差公式、完全平方公式展开：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(x-3)(x+3)]^2\\&=(x^2-9)^2\\&=x^4-18x^2+81\end{aligned}$
(3) 原式分别利用完全平方公式展开，再合并同类项：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(9x^2-30x+25)-(4x^2+28x+49)\\&=9x^2-30x+25-4x^2-28x-49\\&=5x^2-58x-24\end{aligned}$
(4) 原式将$x+y$看作整体，先利用平方差公式展开，再用完全平方公式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(x+y)+1][(x+y)-1]\\&=(x+y)^2-1^2\\&=x^2+2xy+y^2-1\end{aligned}$
【答案】
(1) $4ab-8b^2$；(2) $x^4-18x^2+81$；(3) $5x^2-58x-24$；(4) $x^2+2xy+y^2-1$
【知识点】
平方差公式；完全平方公式；整式混合运算
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活运用，解题时需先观察式子结构，优先选择简便方法降低计算量，去括号时要注意符号变化，合并同类项要确保不重不漏。
【难度系数】
0.75
本题属于整式的混合运算题，解题核心是熟练掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，结合式子特点灵活选择方法简化计算：
1. 遇到两数和乘两数差的结构优先用平方差公式展开；
2. 遇到两数和（差）的平方结构用完全平方公式展开；
3. 观察式子是否能用整体思想简化运算，如第(2)题逆用积的乘方、第(4)题将$(x+y)$看作整体，可减少计算量；
4. 运算顺序为先算乘方、乘法，再算加减，去括号时注意符号变化，最后要合并同类项。
【解析】
(1) 原式利用平方差公式和完全平方公式分别展开，再合并同类项：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=a^2-(2b)^2-(a^2-4ab+4b^2)\\&=a^2-4b^2-a^2+4ab-4b^2\\&=4ab-8b^2\end{aligned}$
(2) 原式先逆用积的乘方公式，再依次用平方差公式、完全平方公式展开：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(x-3)(x+3)]^2\\&=(x^2-9)^2\\&=x^4-18x^2+81\end{aligned}$
(3) 原式分别利用完全平方公式展开，再合并同类项：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(9x^2-30x+25)-(4x^2+28x+49)\\&=9x^2-30x+25-4x^2-28x-49\\&=5x^2-58x-24\end{aligned}$
(4) 原式将$x+y$看作整体，先利用平方差公式展开，再用完全平方公式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(x+y)+1][(x+y)-1]\\&=(x+y)^2-1^2\\&=x^2+2xy+y^2-1\end{aligned}$
【答案】
(1) $4ab-8b^2$；(2) $x^4-18x^2+81$；(3) $5x^2-58x-24$；(4) $x^2+2xy+y^2-1$
【知识点】
平方差公式；完全平方公式；整式混合运算
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活运用，解题时需先观察式子结构，优先选择简便方法降低计算量，去括号时要注意符号变化，合并同类项要确保不重不漏。
【难度系数】
0.75
