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9. 为落实五育并举，某学校为九年级6个班设立了一块劳动教育实践基地，旨在通过实践活动促进学生全面发展.如图，该基地是一块长18 m、宽12 m的矩形空地，为区分各班的区域，要修三条宽度相同的小路，且每条小路的两边都平行，各班基地的使用总面积为176 m².若设小路的宽度为x m，则根据题意，可列方程 【 】
A.$(18 - x)(12 - 2x) = 176$
B.$(18 - 2x)(12 - x) = 176$
C.$2x(12 - x) = 176$
D.$x(18 - 2x) = 176$
A.$(18 - x)(12 - 2x) = 176$
B.$(18 - 2x)(12 - x) = 176$
C.$2x(12 - x) = 176$
D.$x(18 - 2x) = 176$
答案
B
解析
【分析】
解决这类道路分隔区域的面积问题，我们可以用平移法简化计算：先将分散的各班使用区域拼接成一个完整的矩形，只需要求出拼接后矩形的长和宽，再结合已知的总面积列方程即可。首先观察小路的数量和方向：图中共有2条纵向的小路、1条横向的小路，宽度均为x m，我们只需要用原矩形的长、宽分别减去对应方向小路占据的长度，就能得到拼接后矩形的长和宽。
【解析】
我们将6个班级的实践区域平移拼接，可得到一个新的矩形：
1. 原矩形长为18 m，2条纵向小路各宽x m，因此拼接后矩形的长为$(18-2x)\mathrm{m}$；
2. 原矩形宽为12 m，1条横向小路宽x m，因此拼接后矩形的宽为$(12-x)\mathrm{m}$；
3. 已知各班使用总面积为$176\mathrm{m}^2$，即拼接后矩形的面积为$176\mathrm{m}^2$，根据矩形面积公式$S=长×宽$，可列方程：
$(18-2x)(12-x)=176$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用；平移法求面积；矩形面积计算
【点评】
本题是面积类方程应用的常规题型，平移法的使用是解题的关键，可避免单独计算各块面积、重复减去小路重叠部分的易错点，熟练掌握该方法能快速解决这类题型。
【难度系数】
0.7
解决这类道路分隔区域的面积问题，我们可以用平移法简化计算：先将分散的各班使用区域拼接成一个完整的矩形，只需要求出拼接后矩形的长和宽，再结合已知的总面积列方程即可。首先观察小路的数量和方向：图中共有2条纵向的小路、1条横向的小路，宽度均为x m，我们只需要用原矩形的长、宽分别减去对应方向小路占据的长度，就能得到拼接后矩形的长和宽。
【解析】
我们将6个班级的实践区域平移拼接，可得到一个新的矩形：
1. 原矩形长为18 m，2条纵向小路各宽x m，因此拼接后矩形的长为$(18-2x)\mathrm{m}$；
2. 原矩形宽为12 m，1条横向小路宽x m，因此拼接后矩形的宽为$(12-x)\mathrm{m}$；
3. 已知各班使用总面积为$176\mathrm{m}^2$，即拼接后矩形的面积为$176\mathrm{m}^2$，根据矩形面积公式$S=长×宽$，可列方程：
$(18-2x)(12-x)=176$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用；平移法求面积；矩形面积计算
【点评】
本题是面积类方程应用的常规题型，平移法的使用是解题的关键，可避免单独计算各块面积、重复减去小路重叠部分的易错点，熟练掌握该方法能快速解决这类题型。
【难度系数】
0.7
10. 如图，现有一块矩形铁皮，其长是宽的2倍，在铁皮的四角各剪去一个边长为4 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是480 cm³。设矩形的宽为x cm，则可列方程：
$4(2x - 8)(x - 8) = 480$
。答案
10. $4(2x - 8)(x - 8) = 480$
解析
【分析】
解题时首先根据题干给出的长宽关系得到原矩形的长，再分析剪去小正方形后无盖盒子的长宽高：无盖盒子的高等于剪去的小正方形的边长，盒子底面的长、宽分别为原矩形的长、宽各减去2个小正方形的边长，最后结合长方体容积公式（容积=长×宽×高）代入对应量即可列出方程。
【解析】
已知矩形的宽为$x\ \mathrm{cm}$，且长是宽的2倍，因此原矩形的长为$2x\ \mathrm{cm}$。
在四角各剪去边长为$4\ \mathrm{cm}$的小正方形后，折成的无盖盒子：
① 高为小正方形的边长，即$4\ \mathrm{cm}$；
② 底面的长为原矩形长减去左右两个小正方形的边长：$2x - 4×2 = (2x - 8)\ \mathrm{cm}$；
③ 底面的宽为原矩形宽减去上下两个小正方形的边长：$x - 4×2 = (x - 8)\ \mathrm{cm}$。
根据长方体容积公式$\mathrm{容积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}×\mathrm{高}$，已知盒子容积为$480\ \mathrm{cm}^3$，代入得：
$4(2x - 8)(x - 8) = 480$
【答案】
$4(2x - 8)(x - 8) = 480$
【知识点】
一元二次方程实际应用，长方体容积计算，列代数式
【点评】
本题属于基础的几何实际应用类题目，解题核心是准确推导折叠后无盖盒子的长宽高参数，注意原矩形的长宽需各减去2倍小正方形边长，避免出现仅减去1倍边长的错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据题干给出的长宽关系得到原矩形的长，再分析剪去小正方形后无盖盒子的长宽高：无盖盒子的高等于剪去的小正方形的边长，盒子底面的长、宽分别为原矩形的长、宽各减去2个小正方形的边长，最后结合长方体容积公式（容积=长×宽×高）代入对应量即可列出方程。
【解析】
已知矩形的宽为$x\ \mathrm{cm}$，且长是宽的2倍，因此原矩形的长为$2x\ \mathrm{cm}$。
在四角各剪去边长为$4\ \mathrm{cm}$的小正方形后，折成的无盖盒子：
① 高为小正方形的边长，即$4\ \mathrm{cm}$；
② 底面的长为原矩形长减去左右两个小正方形的边长：$2x - 4×2 = (2x - 8)\ \mathrm{cm}$；
③ 底面的宽为原矩形宽减去上下两个小正方形的边长：$x - 4×2 = (x - 8)\ \mathrm{cm}$。
根据长方体容积公式$\mathrm{容积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}×\mathrm{高}$，已知盒子容积为$480\ \mathrm{cm}^3$，代入得：
$4(2x - 8)(x - 8) = 480$
【答案】
$4(2x - 8)(x - 8) = 480$
【知识点】
一元二次方程实际应用，长方体容积计算，列代数式
【点评】
本题属于基础的几何实际应用类题目，解题核心是准确推导折叠后无盖盒子的长宽高参数，注意原矩形的长宽需各减去2倍小正方形边长，避免出现仅减去1倍边长的错误。
【难度系数】
0.7
11. 如图，在$△ ACB$中，$∠ C=90°$，$AC=30\ \mathrm{cm}$，$BC=25\ \mathrm{cm}$，动点$P$从点$C$出发，以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度沿$CA$方向运动；同时动点$Q$从点$B$出发，以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度沿$BC$方向运动。则运动
10
$\mathrm{s}$后，$P$、$Q$两点相距$25\ \mathrm{cm}$。答案
11. 10
解析
【分析】
遇到直角三角形中的动点距离问题，首先设运动时间为t秒，先分别用含t的代数式表示出Rt△PCQ的两条直角边CP、CQ的长度，再根据勾股定理“两直角边的平方和等于斜边的平方”，结合PQ=25cm的条件列方程，最后求解方程并结合实际运动情况舍去不符合题意的解即可。
【解析】
设运动t秒后，P、Q两点相距25cm。
由题意得：$CP = 2t\ \mathrm{cm}$，$CQ = BC - BQ = (25 - t)\ \mathrm{cm}$，
∵$∠C=90°$，
∴在$Rt△PCQ$中，由勾股定理得：
$CP^2 + CQ^2 = PQ^2$
代入数据得：$(2t)^2 + (25 - t)^2 = 25^2$
展开计算：
$4t^2 + 625 - 50t + t^2 = 625$
整理得：$5t^2 - 50t = 0$
因式分解得：$5t(t - 10) = 0$
解得：$t_1 = 0$，$t_2 = 10$，
$t=0$为运动初始状态，不符合“运动后”的要求，故舍去，得$t=10$。
【答案】
10
【知识点】
勾股定理，动点问题，一元二次方程的应用
【点评】
本题是典型的几何动点结合代数方程的题型，解题关键是将动点运动的路程转化为对应线段的长度，利用几何性质列方程求解，注意最终结果要符合实际运动的意义。
【难度系数】
0.7
遇到直角三角形中的动点距离问题，首先设运动时间为t秒，先分别用含t的代数式表示出Rt△PCQ的两条直角边CP、CQ的长度，再根据勾股定理“两直角边的平方和等于斜边的平方”，结合PQ=25cm的条件列方程，最后求解方程并结合实际运动情况舍去不符合题意的解即可。
【解析】
设运动t秒后，P、Q两点相距25cm。
由题意得：$CP = 2t\ \mathrm{cm}$，$CQ = BC - BQ = (25 - t)\ \mathrm{cm}$，
∵$∠C=90°$，
∴在$Rt△PCQ$中，由勾股定理得：
$CP^2 + CQ^2 = PQ^2$
代入数据得：$(2t)^2 + (25 - t)^2 = 25^2$
展开计算：
$4t^2 + 625 - 50t + t^2 = 625$
整理得：$5t^2 - 50t = 0$
因式分解得：$5t(t - 10) = 0$
解得：$t_1 = 0$，$t_2 = 10$，
$t=0$为运动初始状态，不符合“运动后”的要求，故舍去，得$t=10$。
【答案】
10
【知识点】
勾股定理，动点问题，一元二次方程的应用
【点评】
本题是典型的几何动点结合代数方程的题型，解题关键是将动点运动的路程转化为对应线段的长度，利用几何性质列方程求解，注意最终结果要符合实际运动的意义。
【难度系数】
0.7
12. 如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为30 m 的篱笆围成，墙长为16 m，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x m.
（1）若苗圃园的面积为108 m²，求x 的值.
（2）苗圃园的面积能达到120 m²吗？若能，求出x 的值；若不能，说明理由.
（1）若苗圃园的面积为108 m²，求x 的值.
（2）苗圃园的面积能达到120 m²吗？若能，求出x 的值；若不能，说明理由.
答案
（1）根据题意,得$x(30-2x)=108$. 整理,得$x^2-15x+54=0$. 解得$x=6$或$x=9$. 当$x=6$时,$30-2x=30-2×6=18＞16$,不符合题意,舍去;当$x=9$时,$30-2x=30-2×9=12＜16$,符合题意. $\therefore x$的值为9
（2）不能达到$120\ \mathrm{m}^2$. 理由如下：假设苗圃园的面积能达到$120\ \mathrm{m}^2$,根据题意,得$x(30-2x)=120$. 整理,得$x^2-15x+60=0$. $\because\Delta=(-15)^2-4×1×60=-15＜0$,$\therefore$方程没有实数根. $\therefore$假设不成立,即苗圃园的面积不能达到$120\ \mathrm{m}^2$
（2）不能达到$120\ \mathrm{m}^2$. 理由如下：假设苗圃园的面积能达到$120\ \mathrm{m}^2$,根据题意,得$x(30-2x)=120$. 整理,得$x^2-15x+60=0$. $\because\Delta=(-15)^2-4×1×60=-15＜0$,$\therefore$方程没有实数根. $\therefore$假设不成立,即苗圃园的面积不能达到$120\ \mathrm{m}^2$
解析
【分析】
首先明确矩形苗圃的边长关系：垂直于墙的边长为x m，平行于墙的边长为篱笆总长减去2倍垂直边长，即(30-2x)m，同时要注意平行于墙的边长不能超过墙长16m，且边长为正数，即隐含限制条件为$0＜30-2x≤16$。
(1) 已知面积为108$m^2$，根据矩形面积=长×宽列一元二次方程，求解后结合限制条件验根，舍去不符合题意的解即可得到x的值。
(2) 假设面积能达到120$m^2$，同第一问的思路列方程，通过计算根的判别式$\Delta$的值判断方程是否有实数根，若$\Delta＜0$则方程无实根，说明面积无法达到，反之则可以达到。
【解析】
(1) 由题意得苗圃园平行于墙的边长为$(30-2x)\mathrm{m}$，根据矩形面积公式列方程：
$x(30-2x)=108$
整理得：$x^2-15x+54=0$
解得$x=6$或$x=9$
验根：
当$x=6$时，$30-2x=30-2×6=18＞16$，超过墙长，不符合题意，舍去；
当$x=9$时，$30-2x=30-2×9=12＜16$，符合题意。
(2) 不能达到$120\ \mathrm{m}^2$，理由如下：
假设面积能达到$120\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(30-2x)=120$
整理得：$x^2-15x+60=0$
计算根的判别式：$\Delta=(-15)^2-4×1×60=-15＜0$，因此该方程没有实数根，假设不成立。
【答案】
（1）$x$的值为9；
（2）不能达到$120\ \mathrm{m}^2$，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程应用，根的判别式，矩形面积计算
【点评】
本题是实际场景下的方程应用典型题，解题核心是准确梳理边长的数量关系，求解后要注意结合实际限制条件验根，避免得出不符合现实的结果；判断面积是否可达时，用根的判别式判断方程解的情况即可快速得出结论。
【难度系数】
0.7
首先明确矩形苗圃的边长关系：垂直于墙的边长为x m，平行于墙的边长为篱笆总长减去2倍垂直边长，即(30-2x)m，同时要注意平行于墙的边长不能超过墙长16m，且边长为正数，即隐含限制条件为$0＜30-2x≤16$。
(1) 已知面积为108$m^2$，根据矩形面积=长×宽列一元二次方程，求解后结合限制条件验根，舍去不符合题意的解即可得到x的值。
(2) 假设面积能达到120$m^2$，同第一问的思路列方程，通过计算根的判别式$\Delta$的值判断方程是否有实数根，若$\Delta＜0$则方程无实根，说明面积无法达到，反之则可以达到。
【解析】
(1) 由题意得苗圃园平行于墙的边长为$(30-2x)\mathrm{m}$，根据矩形面积公式列方程：
$x(30-2x)=108$
整理得：$x^2-15x+54=0$
解得$x=6$或$x=9$
验根：
当$x=6$时，$30-2x=30-2×6=18＞16$，超过墙长，不符合题意，舍去；
当$x=9$时，$30-2x=30-2×9=12＜16$，符合题意。
(2) 不能达到$120\ \mathrm{m}^2$，理由如下：
假设面积能达到$120\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(30-2x)=120$
整理得：$x^2-15x+60=0$
计算根的判别式：$\Delta=(-15)^2-4×1×60=-15＜0$，因此该方程没有实数根，假设不成立。
【答案】
（1）$x$的值为9；
（2）不能达到$120\ \mathrm{m}^2$，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程应用，根的判别式，矩形面积计算
【点评】
本题是实际场景下的方程应用典型题，解题核心是准确梳理边长的数量关系，求解后要注意结合实际限制条件验根，避免得出不符合现实的结果；判断面积是否可达时，用根的判别式判断方程解的情况即可快速得出结论。
【难度系数】
0.7
