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13. 福建铁观音是一种珍贵的天然饮料.
（1）安溪县某茶庄种植铁观音，由于规模不断扩大，现计划开辟一块面积为$600\ \mathrm{m}^2$的长方形采茶基地，如图①所示，已知该采茶基地的长比宽多$10\ \mathrm{m}$.
① 分别求该采茶基地的长和宽.
② 若要在采茶基地的四周围建篱笆，问：需要多长的篱笆？
（2）如图②，该茶庄开设了一片观光园区，园区内原有一块长方形空地，该空地与（1）中的采茶基地大小、形状相同，后计划在此区域栽种鲜花（阴影部分）并铺设宽度相同的小路（空白部分）供游客观光. 若鲜花的种植面积为$486\ \mathrm{m}^2$，求小路的宽度.
（1）安溪县某茶庄种植铁观音，由于规模不断扩大，现计划开辟一块面积为$600\ \mathrm{m}^2$的长方形采茶基地，如图①所示，已知该采茶基地的长比宽多$10\ \mathrm{m}$.
① 分别求该采茶基地的长和宽.
② 若要在采茶基地的四周围建篱笆，问：需要多长的篱笆？
（2）如图②，该茶庄开设了一片观光园区，园区内原有一块长方形空地，该空地与（1）中的采茶基地大小、形状相同，后计划在此区域栽种鲜花（阴影部分）并铺设宽度相同的小路（空白部分）供游客观光. 若鲜花的种植面积为$486\ \mathrm{m}^2$，求小路的宽度.
答案
（1）① 设采茶基地的宽为$x$ m,则长为$(x+10)$m. 根据题意,得$x(x+10)=600$. 解得$x_1=20$,$x_2=-30$(不符合题意,舍去). $x_1+10=30$. $\therefore$该采茶基地的长为30 m,宽为20 m
② 根据题意,得$2×(20+30)=2×50=100(\mathrm{m})$. 即需要100 m长的篱笆
（2）设小路的宽度为$y$ m. 根据题意,得$(20-2y)(30-3y)=486$. 解得$y_1=1$,$y_2=19$(不符合题意,舍去). $\therefore$小路的宽度为1 m
② 根据题意,得$2×(20+30)=2×50=100(\mathrm{m})$. 即需要100 m长的篱笆
（2）设小路的宽度为$y$ m. 根据题意,得$(20-2y)(30-3y)=486$. 解得$y_1=1$,$y_2=19$(不符合题意,舍去). $\therefore$小路的宽度为1 m
解析
【分析】
（1）① 本题是已知长方形面积和长宽差的实际问题，我们可以通过设未知数建立一元二次方程求解：设宽为$x$ m，则长为$(x+10)$ m，利用长方形面积=长×宽的等量关系列方程，求解后舍去不符合实际的负根即可得到长宽。
② 围建篱笆的长度就是长方形的周长，直接代入①得到的长宽，用长方形周长公式计算即可。
（2）设小路宽度为$y$ m，先分析阴影部分的尺寸：竖直方向上下各有宽为$y$的小路，因此阴影高度为$(20-2y)$ m；水平方向左右各有宽为$y$的小路，两个阴影中间还有宽为$y$的小路，因此阴影总长度为$(30-3y)$ m，结合阴影总面积为486$\mathrm{m}^2$列方程，求解后舍去不符合实际的根即可得到小路宽度。
【解析】
（1）① 设该采茶基地的宽为$x\ \mathrm{m}$，则长为$(x+10)\ \mathrm{m}$。
根据题意列方程：
$x(x+10)=600$
解得$x_1=20$，$x_2=-30$（宽度不能为负，舍去）
则长为$x+10=20+10=30\ \mathrm{m}$。
② 篱笆长度为长方形采茶基地的周长：
$2×(20+30)=100\ \mathrm{m}$。
（2）设小路的宽度为$y\ \mathrm{m}$。
根据阴影面积列方程：
$(20-2y)(30-3y)=486$
整理得$y^2-20y+19=0$
解得$y_1=1$，$y_2=19$（当$y=19$时，$20-2y＜0$，不符合实际，舍去）
因此$y=1$。
【答案】
（1）① 长为30 m，宽为20 m；② 需要篱笆长100 m；（2）小路的宽度为1 m。
【知识点】
一元二次方程的应用、长方形面积计算、长方形周长计算
【点评】
本题结合实际生活场景考查一元二次方程在面积问题中的应用，解题核心是找准等量关系列方程，同时要注意结合实际意义对方程的根进行取舍，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）① 本题是已知长方形面积和长宽差的实际问题，我们可以通过设未知数建立一元二次方程求解：设宽为$x$ m，则长为$(x+10)$ m，利用长方形面积=长×宽的等量关系列方程，求解后舍去不符合实际的负根即可得到长宽。
② 围建篱笆的长度就是长方形的周长，直接代入①得到的长宽，用长方形周长公式计算即可。
（2）设小路宽度为$y$ m，先分析阴影部分的尺寸：竖直方向上下各有宽为$y$的小路，因此阴影高度为$(20-2y)$ m；水平方向左右各有宽为$y$的小路，两个阴影中间还有宽为$y$的小路，因此阴影总长度为$(30-3y)$ m，结合阴影总面积为486$\mathrm{m}^2$列方程，求解后舍去不符合实际的根即可得到小路宽度。
【解析】
（1）① 设该采茶基地的宽为$x\ \mathrm{m}$，则长为$(x+10)\ \mathrm{m}$。
根据题意列方程：
$x(x+10)=600$
解得$x_1=20$，$x_2=-30$（宽度不能为负，舍去）
则长为$x+10=20+10=30\ \mathrm{m}$。
② 篱笆长度为长方形采茶基地的周长：
$2×(20+30)=100\ \mathrm{m}$。
（2）设小路的宽度为$y\ \mathrm{m}$。
根据阴影面积列方程：
$(20-2y)(30-3y)=486$
整理得$y^2-20y+19=0$
解得$y_1=1$，$y_2=19$（当$y=19$时，$20-2y＜0$，不符合实际，舍去）
因此$y=1$。
【答案】
（1）① 长为30 m，宽为20 m；② 需要篱笆长100 m；（2）小路的宽度为1 m。
【知识点】
一元二次方程的应用、长方形面积计算、长方形周长计算
【点评】
本题结合实际生活场景考查一元二次方程在面积问题中的应用，解题核心是找准等量关系列方程，同时要注意结合实际意义对方程的根进行取舍，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
14. 如图,已知矩形ABCD,AB=7cm,AD=5cm,点P从点B开始沿边BC向点C以1cm/s的速度移动,点Q从点C开始沿边CD向点D以2cm/s的速度移动,两点同时出发,当一个点运动到终点时另一个点也停止运动,设运动时间为t s(t＞0).
(1)填空:CQ=
(2)当t为何值时,PQ=5cm?
(3)当t为何值时,△APQ的面积为16cm²?
(1)填空:CQ=
2t
cm,CP=$5-t$
cm.(用含t的代数式表示)(2)当t为何值时,PQ=5cm?
(3)当t为何值时,△APQ的面积为16cm²?
答案
14. （1）$2t$ $（5-t）$
（2）$\because$四边形$ABCD$是矩形,$\therefore∠ C=90°$. $\therefore(5-t)^2+(2t)^2=5^2$. 解得$t=2$或$t=0$(不符合题意,舍去). $\therefore$当$t=2$时,$PQ=5\ \mathrm{cm}$
（3）$\because$四边形$ABCD$是矩形,$\therefore∠ B=∠ C=∠ D=90°$. $\because S_{△ APQ}=S_{\mathrm{矩形}ABCD}-S_{△ ABP}-S_{△ ADQ}-S_{△ CPQ}$,$\therefore7×5-\dfrac{7}{2}t -(\dfrac{7×5}{2}-5t)-(5t-t^2)=16$. 解得$t=\dfrac{1}{2}$或$t=3$. 即当$t=\dfrac{1}{2}$或$t=3$时,$△ APQ$的面积为$16\ \mathrm{cm}^2$
（2）$\because$四边形$ABCD$是矩形,$\therefore∠ C=90°$. $\therefore(5-t)^2+(2t)^2=5^2$. 解得$t=2$或$t=0$(不符合题意,舍去). $\therefore$当$t=2$时,$PQ=5\ \mathrm{cm}$
（3）$\because$四边形$ABCD$是矩形,$\therefore∠ B=∠ C=∠ D=90°$. $\because S_{△ APQ}=S_{\mathrm{矩形}ABCD}-S_{△ ABP}-S_{△ ADQ}-S_{△ CPQ}$,$\therefore7×5-\dfrac{7}{2}t -(\dfrac{7×5}{2}-5t)-(5t-t^2)=16$. 解得$t=\dfrac{1}{2}$或$t=3$. 即当$t=\dfrac{1}{2}$或$t=3$时,$△ APQ$的面积为$16\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
(1) 根据路程=速度×时间，结合点P、Q的运动速度和方向，即可用含t的代数式表示CQ、CP的长度；(2) 矩形中∠C为直角，△CPQ是直角三角形，已知斜边PQ=5cm，可利用勾股定理列一元二次方程求解，注意舍去不符合运动实际的解；(3) △APQ是不规则图形，直接求面积较复杂，可采用割补法，用矩形ABCD的面积减去周围三个直角三角形△ABP、△ADQ、△CPQ的面积，列方程求解即可，最后验证解是否在t的有效取值范围内。
【解析】
(1) 点Q的速度为2cm/s，运动时间为t s，故CQ=2t cm；点P的速度为1cm/s，运动t s时BP=t cm，BC=AD=5cm，故CP=BC-BP=(5-t) cm。
(2)
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，即△CPQ为直角三角形。
根据勾股定理得：$CP^2+CQ^2=PQ^2$，代入已知条件得：
$(5-t)^2+(2t)^2=5^2$
展开整理得$5t^2-10t=0$，解得$t=2$或$t=0$。
∵t＞0，
∴t=0不符合题意，舍去，故t=2。
(3) 矩形ABCD的面积为$AB×AD=7×5=35\ \mathrm{cm}^2$。
三个小三角形的面积分别为：
$S_{△ABP}=\frac{1}{2}×AB×BP=\frac{7}{2}t$；
$DQ=CD-CQ=7-2t$，故$S_{△ADQ}=\frac{1}{2}×AD×DQ=\frac{35}{2}-5t$；
$S_{△CPQ}=\frac{1}{2}×CP×CQ=5t-t^2$。
由$S_{△APQ}=S_{矩形ABCD}-S_{△ABP}-S_{△ADQ}-S_{△CPQ}=16$，代入得：
$35-\frac{7}{2}t -(\frac{35}{2}-5t)-(5t-t^2)=16$
整理得$2t^2-7t+3=0$，解得$t=\frac{1}{2}$或$t=3$。
验证可得两个解均在动点的有效运动时间范围内，符合要求。
【答案】
（1）$2t$，$5-t$
（2）当$t=2$时，$PQ=5\ \mathrm{cm}$
（3）当$t=\frac{1}{2}$或$t=3$时，$△ APQ$的面积为$16\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
列代数式、勾股定理、割补法求面积
【点评】
本题属于动点几何基础题，解题关键是用含t的代数式准确表示各线段长度，遇到不规则图形面积计算时优先考虑割补法转化为规则图形面积的和差，求解方程后要注意结合动点的运动范围验证解的合理性。
【难度系数】
0.7
(1) 根据路程=速度×时间，结合点P、Q的运动速度和方向，即可用含t的代数式表示CQ、CP的长度；(2) 矩形中∠C为直角，△CPQ是直角三角形，已知斜边PQ=5cm，可利用勾股定理列一元二次方程求解，注意舍去不符合运动实际的解；(3) △APQ是不规则图形，直接求面积较复杂，可采用割补法，用矩形ABCD的面积减去周围三个直角三角形△ABP、△ADQ、△CPQ的面积，列方程求解即可，最后验证解是否在t的有效取值范围内。
【解析】
(1) 点Q的速度为2cm/s，运动时间为t s，故CQ=2t cm；点P的速度为1cm/s，运动t s时BP=t cm，BC=AD=5cm，故CP=BC-BP=(5-t) cm。
(2)
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，即△CPQ为直角三角形。
根据勾股定理得：$CP^2+CQ^2=PQ^2$，代入已知条件得：
$(5-t)^2+(2t)^2=5^2$
展开整理得$5t^2-10t=0$，解得$t=2$或$t=0$。
∵t＞0，
∴t=0不符合题意，舍去，故t=2。
(3) 矩形ABCD的面积为$AB×AD=7×5=35\ \mathrm{cm}^2$。
三个小三角形的面积分别为：
$S_{△ABP}=\frac{1}{2}×AB×BP=\frac{7}{2}t$；
$DQ=CD-CQ=7-2t$，故$S_{△ADQ}=\frac{1}{2}×AD×DQ=\frac{35}{2}-5t$；
$S_{△CPQ}=\frac{1}{2}×CP×CQ=5t-t^2$。
由$S_{△APQ}=S_{矩形ABCD}-S_{△ABP}-S_{△ADQ}-S_{△CPQ}=16$，代入得：
$35-\frac{7}{2}t -(\frac{35}{2}-5t)-(5t-t^2)=16$
整理得$2t^2-7t+3=0$，解得$t=\frac{1}{2}$或$t=3$。
验证可得两个解均在动点的有效运动时间范围内，符合要求。
【答案】
（1）$2t$，$5-t$
（2）当$t=2$时，$PQ=5\ \mathrm{cm}$
（3）当$t=\frac{1}{2}$或$t=3$时，$△ APQ$的面积为$16\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
列代数式、勾股定理、割补法求面积
【点评】
本题属于动点几何基础题，解题关键是用含t的代数式准确表示各线段长度，遇到不规则图形面积计算时优先考虑割补法转化为规则图形面积的和差，求解方程后要注意结合动点的运动范围验证解的合理性。
【难度系数】
0.7
