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8.（临夏州中考）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质生成.某学习小组在延时课上制作了A、B、C、D四张卡片,四张卡片除图片内容不同外,其他没有区别,将四张卡片放置于暗箱中摇匀.
（1）小临从四张卡片中随机抽取一张,抽中C卡片的概率是
（2）小夏从四张卡片中随机抽取两张,用列表法或画树状图法求小夏抽取的两张卡片内容均为化学变化的概率.
（1）小临从四张卡片中随机抽取一张,抽中C卡片的概率是
$\frac{1}{4}$
；（2）小夏从四张卡片中随机抽取两张,用列表法或画树状图法求小夏抽取的两张卡片内容均为化学变化的概率.
答案
8. (1) $\frac{1}{4}$ (2) 列表或画树状图略. 四张卡片内容中是化学变化的有A、D.共有12种等可能的结果,其中小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有AD、DA,共2种.
∴概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$
∴概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$
解析
【分析】
（1）第一问是基础的古典概型计算，4张卡片被抽取的可能性均等，抽中C卡片的情况仅1种，直接用符合条件的情况数除以总情况数即可得到概率。
（2）第二问首先要根据“是否有新物质生成”的判断标准，区分4种变化所属的类型，找出属于化学变化的卡片；再用列表法或树状图法罗列出抽取2张卡片的所有等可能结果，统计出两张均为化学变化的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）总共有4张除内容外完全相同的卡片，随机抽取1张时每张卡片被抽中的概率相等，抽中C卡片的情况有1种，因此：
$P(\mathrm{抽中C卡片})=\frac{1}{4}$。
（2）先判别变化类型：
A铁钉生锈生成新物质铁锈，属于化学变化；
B滴水成冰是水的状态变化，无新物质生成，属于物理变化；
C矿石粉碎仅形状改变，无新物质生成，属于物理变化；
D牛奶变质生成新的有害物质，属于化学变化；
因此属于化学变化的卡片为A、D共2张。
从4张卡片中随机抽取2张，共有12种等可能的结果：(A,B)、(A,C)、(A,D)、(B,A)、(B,C)、(B,D)、(C,A)、(C,B)、(C,D)、(D,A)、(D,B)、(D,C)，其中两张均为化学变化的结果有(A,D)、(D,A)共2种，因此：
$P(\mathrm{两张均为化学变化})=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{\dfrac{1}{4}}$；（2）$\boldsymbol{\dfrac{1}{6}}$
【知识点】
1. 物变与化变判别
2. 简单概率计算
3. 列举法求概率
【点评】
本题结合化学变化的判别考查概率计算，属于基础题，解题时需先准确判断化学变化的卡片，再完整列举所有等可能的抽取结果，避免漏数或多数结果即可正确解答。
【难度系数】
0.7
（1）第一问是基础的古典概型计算，4张卡片被抽取的可能性均等，抽中C卡片的情况仅1种，直接用符合条件的情况数除以总情况数即可得到概率。
（2）第二问首先要根据“是否有新物质生成”的判断标准，区分4种变化所属的类型，找出属于化学变化的卡片；再用列表法或树状图法罗列出抽取2张卡片的所有等可能结果，统计出两张均为化学变化的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）总共有4张除内容外完全相同的卡片，随机抽取1张时每张卡片被抽中的概率相等，抽中C卡片的情况有1种，因此：
$P(\mathrm{抽中C卡片})=\frac{1}{4}$。
（2）先判别变化类型：
A铁钉生锈生成新物质铁锈，属于化学变化；
B滴水成冰是水的状态变化，无新物质生成，属于物理变化；
C矿石粉碎仅形状改变，无新物质生成，属于物理变化；
D牛奶变质生成新的有害物质，属于化学变化；
因此属于化学变化的卡片为A、D共2张。
从4张卡片中随机抽取2张，共有12种等可能的结果：(A,B)、(A,C)、(A,D)、(B,A)、(B,C)、(B,D)、(C,A)、(C,B)、(C,D)、(D,A)、(D,B)、(D,C)，其中两张均为化学变化的结果有(A,D)、(D,A)共2种，因此：
$P(\mathrm{两张均为化学变化})=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{\dfrac{1}{4}}$；（2）$\boldsymbol{\dfrac{1}{6}}$
【知识点】
1. 物变与化变判别
2. 简单概率计算
3. 列举法求概率
【点评】
本题结合化学变化的判别考查概率计算，属于基础题，解题时需先准确判断化学变化的卡片，再完整列举所有等可能的抽取结果，避免漏数或多数结果即可正确解答。
【难度系数】
0.7
9.（武汉中考）某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，其上分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两个小球上金额的和为50元的概率是
【 】
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
【 】
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
C
解析
【分析】
解决本题首先要掌握古典概型的概率计算方法：概率等于符合条件的事件数除以所有等可能发生的事件总数。解题时先列举出一次性摸2个小球的所有等可能结果，再从中找出金额和为50元的结果数，最后代入公式计算即可。
【解析】
首先列举一次性摸出两个小球的所有等可能结果，共3种：
1. 摸出标有10元、20元的小球，金额和为$10+20=30$元；
2. 摸出标有10元、30元的小球，金额和为$10+30=40$元；
3. 摸出标有20元、30元的小球，金额和为$20+30=50$元。
其中金额和为50元的结果有1种，根据概率公式可得：
$P(\mathrm{金额和为50元})=\dfrac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}}=\dfrac{1}{3}$
【答案】
C
【知识点】
列举法求概率、概率公式
【点评】
本题是概率基础题型，解题核心是准确列举所有等可能结果，注意一次性摸取两个小球无需考虑先后顺序，避免重复计数即可正确求解。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要掌握古典概型的概率计算方法：概率等于符合条件的事件数除以所有等可能发生的事件总数。解题时先列举出一次性摸2个小球的所有等可能结果，再从中找出金额和为50元的结果数，最后代入公式计算即可。
【解析】
首先列举一次性摸出两个小球的所有等可能结果，共3种：
1. 摸出标有10元、20元的小球，金额和为$10+20=30$元；
2. 摸出标有10元、30元的小球，金额和为$10+30=40$元；
3. 摸出标有20元、30元的小球，金额和为$20+30=50$元。
其中金额和为50元的结果有1种，根据概率公式可得：
$P(\mathrm{金额和为50元})=\dfrac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}}=\dfrac{1}{3}$
【答案】
C
【知识点】
列举法求概率、概率公式
【点评】
本题是概率基础题型，解题核心是准确列举所有等可能结果，注意一次性摸取两个小球无需考虑先后顺序，避免重复计数即可正确求解。
【难度系数】
0.8
10.（黑龙江中考）
，随机闭合开关$\mathrm{K}_1$、$\mathrm{K}_2$、$\mathrm{K}_3$中的两个，能让两盏灯泡$\mathrm{L}_1$、$\mathrm{L}_2$同时发光的概率为
，随机闭合开关$\mathrm{K}_1$、$\mathrm{K}_2$、$\mathrm{K}_3$中的两个，能让两盏灯泡$\mathrm{L}_1$、$\mathrm{L}_2$同时发光的概率为$\frac{1}{3}$
。答案
10. $\frac{1}{3}$
解析
【分析】
本题是概率计算结合电路判断的综合题，解题思路分为三步：首先用列举法找出随机闭合2个开关的所有等可能结果；其次逐一分析每种结果下的电路通断情况，筛选出能让两盏灯同时发光的结果；最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”的公式计算即可。
【解析】
首先列举随机闭合$\mathrm{K}_1$、$\mathrm{K}_2$、$\mathrm{K}_3$中两个开关的所有等可能情况，共3种：
① 闭合$\mathrm{K}_1$、$\mathrm{K}_2$：此时$\mathrm{K}_3$断开，整个电路为断路，两灯均不发光，不符合要求；
② 闭合$\mathrm{K}_1$、$\mathrm{K}_3$：电流路径为电源正极→$\mathrm{K}_3$→$\mathrm{L}_2$→$\mathrm{K}_1$→$\mathrm{L}_1$→电源负极，$\mathrm{L}_1$、$\mathrm{L}_2$均接入通路，同时发光，符合要求；
③ 闭合$\mathrm{K}_2$、$\mathrm{K}_3$：电流路径为电源正极→$\mathrm{K}_3$→$\mathrm{L}_2$→$\mathrm{K}_2$→电源负极，$\mathrm{L}_1$被$\mathrm{K}_2$短路，只有$\mathrm{L}_2$发光，不符合要求。
综上，符合两灯同时发光的情况有1种，总共有3种等可能的情况，因此概率为$\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
列举法求概率、电路通断判断、短路的判断
【点评】
本题跨学科结合了电路知识与概率计算，重点考查学生的综合分析能力，解题的核心是准确判断不同开关组合下的电路工作状态，避免错算符合条件的情况。
【难度系数】
0.6
本题是概率计算结合电路判断的综合题，解题思路分为三步：首先用列举法找出随机闭合2个开关的所有等可能结果；其次逐一分析每种结果下的电路通断情况，筛选出能让两盏灯同时发光的结果；最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”的公式计算即可。
【解析】
首先列举随机闭合$\mathrm{K}_1$、$\mathrm{K}_2$、$\mathrm{K}_3$中两个开关的所有等可能情况，共3种：
① 闭合$\mathrm{K}_1$、$\mathrm{K}_2$：此时$\mathrm{K}_3$断开，整个电路为断路，两灯均不发光，不符合要求；
② 闭合$\mathrm{K}_1$、$\mathrm{K}_3$：电流路径为电源正极→$\mathrm{K}_3$→$\mathrm{L}_2$→$\mathrm{K}_1$→$\mathrm{L}_1$→电源负极，$\mathrm{L}_1$、$\mathrm{L}_2$均接入通路，同时发光，符合要求；
③ 闭合$\mathrm{K}_2$、$\mathrm{K}_3$：电流路径为电源正极→$\mathrm{K}_3$→$\mathrm{L}_2$→$\mathrm{K}_2$→电源负极，$\mathrm{L}_1$被$\mathrm{K}_2$短路，只有$\mathrm{L}_2$发光，不符合要求。
综上，符合两灯同时发光的情况有1种，总共有3种等可能的情况，因此概率为$\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
列举法求概率、电路通断判断、短路的判断
【点评】
本题跨学科结合了电路知识与概率计算，重点考查学生的综合分析能力，解题的核心是准确判断不同开关组合下的电路工作状态，避免错算符合条件的情况。
【难度系数】
0.6
11.（成都中考）从－1、1、2这三个数中任取两个数分别作为a、b的值，则关于x的一元二次方程$ax^2 + bx + 1 = 0$有实数根的概率为
$\frac{1}{2}$
。（第10题）答案
11. $\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解题时可分三步思考：第一步，先确定从三个数中任取两个不同的数分别作为a、b的所有等可能结果，因为a、b取值有序，所以要按排列列举所有情况；第二步，回忆一元二次方程有实数根的条件：一是二次项系数a≠0，二是判别式Δ=b²-4ac≥0，本题中c=1，即需满足b²-4a≥0；第三步，逐一验证每种情况是否满足条件，用符合条件的情况数除以总情况数即可得到概率。
【解析】
解：从-1、1、2三个数中任取两个不同的数作为a、b，所有等可能的有序组合共6种，分别为：(-1,1)、(-1,2)、(1,-1)、(1,2)、(2,-1)、(2,1)。
一元二次方程$ax^2+bx+1=0$有实数根需满足$\Delta = b^2 - 4a ≥ 0$且$a≠0$（本题a的取值均不为0，只需验证判别式）：
1. 当$a=-1,b=1$时，$\Delta=1^2 -4×(-1)×1=5≥0$，符合要求；
2. 当$a=-1,b=2$时，$\Delta=2^2 -4×(-1)×1=8≥0$，符合要求；
3. 当$a=1,b=-1$时，$\Delta=(-1)^2 -4×1×1=-3＜0$，不符合要求；
4. 当$a=1,b=2$时，$\Delta=2^2 -4×1×1=0≥0$，符合要求；
5. 当$a=2,b=-1$时，$\Delta=(-1)^2 -4×2×1=-7＜0$，不符合要求；
6. 当$a=2,b=1$时，$\Delta=1^2 -4×2×1=-7＜0$，不符合要求。
综上，符合条件的情况共3种，所以概率$P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
根的判别式，列举法求概率，一元二次方程定义
【点评】
本题是方程与概率的基础综合题，解题关键是先不重不漏地列举出所有等可能结果，再结合一元二次方程有实根的条件筛选符合情况，计算概率时要注意结果化为最简分数。
【难度系数】
0.6
解题时可分三步思考：第一步，先确定从三个数中任取两个不同的数分别作为a、b的所有等可能结果，因为a、b取值有序，所以要按排列列举所有情况；第二步，回忆一元二次方程有实数根的条件：一是二次项系数a≠0，二是判别式Δ=b²-4ac≥0，本题中c=1，即需满足b²-4a≥0；第三步，逐一验证每种情况是否满足条件，用符合条件的情况数除以总情况数即可得到概率。
【解析】
解：从-1、1、2三个数中任取两个不同的数作为a、b，所有等可能的有序组合共6种，分别为：(-1,1)、(-1,2)、(1,-1)、(1,2)、(2,-1)、(2,1)。
一元二次方程$ax^2+bx+1=0$有实数根需满足$\Delta = b^2 - 4a ≥ 0$且$a≠0$（本题a的取值均不为0，只需验证判别式）：
1. 当$a=-1,b=1$时，$\Delta=1^2 -4×(-1)×1=5≥0$，符合要求；
2. 当$a=-1,b=2$时，$\Delta=2^2 -4×(-1)×1=8≥0$，符合要求；
3. 当$a=1,b=-1$时，$\Delta=(-1)^2 -4×1×1=-3＜0$，不符合要求；
4. 当$a=1,b=2$时，$\Delta=2^2 -4×1×1=0≥0$，符合要求；
5. 当$a=2,b=-1$时，$\Delta=(-1)^2 -4×2×1=-7＜0$，不符合要求；
6. 当$a=2,b=1$时，$\Delta=1^2 -4×2×1=-7＜0$，不符合要求。
综上，符合条件的情况共3种，所以概率$P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
根的判别式，列举法求概率，一元二次方程定义
【点评】
本题是方程与概率的基础综合题，解题关键是先不重不漏地列举出所有等可能结果，再结合一元二次方程有实根的条件筛选符合情况，计算概率时要注意结果化为最简分数。
【难度系数】
0.6
12. 二十四节气是上古农耕文明的产物，蕴含了中华民族悠久的文化内涵和历史积淀. 张涛收集了四张节气图案的卡片：A. 小满；B. 芒种；C. 夏至；D. 小暑，这些卡片除正面图案不同外无其他差别，将它们洗匀后背面朝上放置.
（1）张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A. 小满”的概率是
（2）若张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，不放回，洗匀后妹妹再从剩下的三张卡片中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求两人都没有抽到“C. 夏至”的概率.
（1）张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A. 小满”的概率是
$\frac{1}{4}$
；（2）若张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，不放回，洗匀后妹妹再从剩下的三张卡片中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求两人都没有抽到“C. 夏至”的概率.
答案
12. (1) $\frac{1}{4}$ (2) 画树状图或列表略. 共有12种等可能的结果,其中两人都没有抽到“C. 夏至”的有6种.
∴概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$
∴概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$
解析
【分析】
（1）第一问为一步概率计算，首先明确总共有4种等可能的抽取结果，抽到“A.小满”的结果仅1种，直接利用“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”的公式即可求解。
（2）第二问是不放回的两步概率问题，第一步张涛抽取有4种可能，不放回后妹妹抽取仅3种可能，因此总共有$4×3=12$种等可能结果；若两人都没抽到“C.夏至”，则张涛只能从剩余3张卡片中抽取，妹妹再从剩下的2张非夏至卡片中抽取，符合条件的结果共$3×2=6$种，也可以通过画树状图或列表的方式直观列出所有结果后计数计算概率。
【解析】
（1）已知4张卡片除图案外无其他差别，随机抽取1张时每张卡片被抽到的可能性相等，其中抽到“A.小满”的结果有1种，因此：
$P(\mathrm{抽到小满})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{1}{4}$
（2）用列表法列出所有等可能结果，设四张卡片为A、B、C、D，列表如下：
| 张涛\妹妹 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | - | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | - | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | - | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | - |
由表可得，总共有12种等可能的结果，其中两人都没有抽到“C.夏至”的结果有(A,B)、(A,D)、(B,A)、(B,D)、(D,A)、(D,B)，共6种，因此：
$P(\mathrm{两人都没抽到夏至})=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{4}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
【知识点】
概率公式，列表法求概率，不放回事件概率
【点评】
本题结合二十四节气的传统文化背景考查概率计算，难度适中，既考察了基础的概率计算能力，也需要学生区分“不放回抽样”和“放回抽样”的差异，避免计数错误，同时能引导学生了解传统文化内涵。
【难度系数】
0.75
（1）第一问为一步概率计算，首先明确总共有4种等可能的抽取结果，抽到“A.小满”的结果仅1种，直接利用“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”的公式即可求解。
（2）第二问是不放回的两步概率问题，第一步张涛抽取有4种可能，不放回后妹妹抽取仅3种可能，因此总共有$4×3=12$种等可能结果；若两人都没抽到“C.夏至”，则张涛只能从剩余3张卡片中抽取，妹妹再从剩下的2张非夏至卡片中抽取，符合条件的结果共$3×2=6$种，也可以通过画树状图或列表的方式直观列出所有结果后计数计算概率。
【解析】
（1）已知4张卡片除图案外无其他差别，随机抽取1张时每张卡片被抽到的可能性相等，其中抽到“A.小满”的结果有1种，因此：
$P(\mathrm{抽到小满})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{1}{4}$
（2）用列表法列出所有等可能结果，设四张卡片为A、B、C、D，列表如下：
| 张涛\妹妹 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | - | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | - | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | - | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | - |
由表可得，总共有12种等可能的结果，其中两人都没有抽到“C.夏至”的结果有(A,B)、(A,D)、(B,A)、(B,D)、(D,A)、(D,B)，共6种，因此：
$P(\mathrm{两人都没抽到夏至})=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{4}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
【知识点】
概率公式，列表法求概率，不放回事件概率
【点评】
本题结合二十四节气的传统文化背景考查概率计算，难度适中，既考察了基础的概率计算能力，也需要学生区分“不放回抽样”和“放回抽样”的差异，避免计数错误，同时能引导学生了解传统文化内涵。
【难度系数】
0.75
