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13.（呼伦贝尔中考）如图，A、B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是-6、-1、5，转盘B上的数字分别是6、-7、4（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）.小聪和小明同时转动A、B两个转盘，使之旋转（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）.
（1）转动转盘，转盘A的指针指向正数的概率是
（2）若同时转动两个转盘，转盘A的指针所指的数字记为$a$，转盘B的指针所指的数字记为$b$，若$a + b ＞ 0$，则小聪获胜；若$a + b ＜ 0$，则小明获胜.请用列表法或画树状图法说明这个游戏是否公平.
（1）转动转盘，转盘A的指针指向正数的概率是
$\frac{1}{3}$
.（2）若同时转动两个转盘，转盘A的指针所指的数字记为$a$，转盘B的指针所指的数字记为$b$，若$a + b ＞ 0$，则小聪获胜；若$a + b ＜ 0$，则小明获胜.请用列表法或画树状图法说明这个游戏是否公平.
答案
13. (1) $\frac{1}{3}$ (2) 列表或画树状图略.一共有9种等可能的结果,其中$a + b ＞ 0$有4种等可能的结果,$a + b ＜ 0$有4种等可能的结果.
∴$P$(小聪获胜)$=\frac{4}{9}$,$P$(小明获胜)$=\frac{4}{9}$.
∵$P$(小聪获胜)$=P$(小明获胜),
∴这个游戏公平
∴$P$(小聪获胜)$=\frac{4}{9}$,$P$(小明获胜)$=\frac{4}{9}$.
∵$P$(小聪获胜)$=P$(小明获胜),
∴这个游戏公平
解析
【分析】
（1）求解转盘A指针指向正数的概率，先确定转盘A所有等可能的结果总数，再找出其中是正数的结果数，根据概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”计算即可。
（2）要判断游戏是否公平，需先通过列表法列举出两个转盘数字组合的所有等可能结果，再分别计算$a+b＞0$（小聪获胜）和$a+b＜0$（小明获胜）的情况数，求出两人获胜的概率，比较两个概率是否相等，若相等则游戏公平，否则不公平。
【解析】
（1）转盘A被分成3个面积相等的扇形，转动转盘A时，指针指向-6、-1、5这3个结果是等可能的，其中正数只有5这1种结果，因此转盘A的指针指向正数的概率为$\frac{1}{3}$。
（2）列表如下，列出所有$a$和$b$的组合及对应的$a+b$的值：
| $a\diagdown b$ | 6 | -7 | 4 |
|-----|---|----|---|
| -6 | 0 | -13| -2|
| -1 | 5 | -8 | 3 |
| 5 | 11| -2 | 9 |
由表可知，一共有9种等可能的结果：
其中$a+b＞0$的结果有$(-1,6),(-1,4),(5,6),(5,4)$，共4种；
$a+b＜0$的结果有$(-6,-7),(-6,4),(-1,-7),(5,-7)$，共4种；
剩余1种结果为$a+b=0$，不属于双方获胜的情况。
因此$P$(小聪获胜)$=\frac{4}{9}$，$P$(小明获胜)$=\frac{4}{9}$。
因为$P$(小聪获胜)$=P$(小明获胜)，所以这个游戏公平。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$；(2) 这个游戏公平
【知识点】
概率公式，列表法求概率，游戏公平性判断
【点评】
本题以转盘游戏为背景，考查概率的实际应用，解题的核心是准确列举所有等可能的事件，再结合概率公式计算对应事件的概率进行判断，需要注意和为0的情况不属于任何一方的获胜情况，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
（1）求解转盘A指针指向正数的概率，先确定转盘A所有等可能的结果总数，再找出其中是正数的结果数，根据概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”计算即可。
（2）要判断游戏是否公平，需先通过列表法列举出两个转盘数字组合的所有等可能结果，再分别计算$a+b＞0$（小聪获胜）和$a+b＜0$（小明获胜）的情况数，求出两人获胜的概率，比较两个概率是否相等，若相等则游戏公平，否则不公平。
【解析】
（1）转盘A被分成3个面积相等的扇形，转动转盘A时，指针指向-6、-1、5这3个结果是等可能的，其中正数只有5这1种结果，因此转盘A的指针指向正数的概率为$\frac{1}{3}$。
（2）列表如下，列出所有$a$和$b$的组合及对应的$a+b$的值：
| $a\diagdown b$ | 6 | -7 | 4 |
|-----|---|----|---|
| -6 | 0 | -13| -2|
| -1 | 5 | -8 | 3 |
| 5 | 11| -2 | 9 |
由表可知，一共有9种等可能的结果：
其中$a+b＞0$的结果有$(-1,6),(-1,4),(5,6),(5,4)$，共4种；
$a+b＜0$的结果有$(-6,-7),(-6,4),(-1,-7),(5,-7)$，共4种；
剩余1种结果为$a+b=0$，不属于双方获胜的情况。
因此$P$(小聪获胜)$=\frac{4}{9}$，$P$(小明获胜)$=\frac{4}{9}$。
因为$P$(小聪获胜)$=P$(小明获胜)，所以这个游戏公平。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$；(2) 这个游戏公平
【知识点】
概率公式，列表法求概率，游戏公平性判断
【点评】
本题以转盘游戏为背景，考查概率的实际应用，解题的核心是准确列举所有等可能的事件，再结合概率公式计算对应事件的概率进行判断，需要注意和为0的情况不属于任何一方的获胜情况，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
14.（河北中考）甲、乙、丙三张卡片正面分别写有$a+b$、$2a+b$、$a-b$，除正面的代数式不同外，其余均相同.
（1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当$a=1$，$b=-2$时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率；
（2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张，请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率.
（1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当$a=1$，$b=-2$时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率；
（2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张，请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率.
答案
(1) 当$a=1, b=-2$时,$a + b = -1$,$2a + b = 0$,$a - b = 3$. 从三张卡片中随机抽取一张,共有3种等可能的结果,其中取出的卡片上代数式的值为负数的结果有1种,
∴取出的卡片上代数式的值为负数的概率是$\frac{1}{3}$ (2) 各行空格处依次填: $3a+2b$; $3a+2b, 4a+2b, 3a$; $3a, 2a-2b$. 共有9种等可能的结果,其中和为单项式的结果有:$2a, 3a, 2a, 3a$,共4种.
∴和为单项式的概率是$\frac{4}{9}$
∴取出的卡片上代数式的值为负数的概率是$\frac{1}{3}$ (2) 各行空格处依次填: $3a+2b$; $3a+2b, 4a+2b, 3a$; $3a, 2a-2b$. 共有9种等可能的结果,其中和为单项式的结果有:$2a, 3a, 2a, 3a$,共4种.
∴和为单项式的概率是$\frac{4}{9}$
解析
【分析】
（1）第一问先将$a=1$、$b=-2$代入三个代数式求出对应值，统计值为负数的结果数量，再根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。
（2）第二问先按“第一次抽取的代数式+第二次抽取的代数式”的规则，计算表格空缺处的和并化简，再根据单项式的定义筛选出符合要求的结果，最后代入概率公式求解即可，注意是放回抽取，总共有$3×3=9$种等可能结果。
【解析】
（1）当$a=1$，$b=-2$时，分别计算三个代数式的值：
$a+b=1+(-2)=-1$，
$2a+b=2×1+(-2)=0$，
$a-b=1-(-2)=3$，
随机抽取1张卡片共有3种等可能的结果，其中代数式的值为负数的结果仅有1种，
因此取出的卡片上代数式的值为负数的概率为$\frac{1}{3}$。
（2）逐个计算表格空缺的和：
①第二行（第二次取$a+b$）第二列空缺：$(a+b)+(2a+b)=3a+2b$；
②第三行（第二次取$2a+b$）的三个空缺：
与第一次$a+b$相加：$(2a+b)+(a+b)=3a+2b$，
与第一次$2a+b$相加：$(2a+b)+(2a+b)=4a+2b$，
与第一次$a-b$相加：$(2a+b)+(a-b)=3a$；
③第四行（第二次取$a-b$）的后两个空缺：
与第一次$2a+b$相加：$(a-b)+(2a+b)=3a$，
与第一次$a-b$相加：$(a-b)+(a-b)=2a-2b$。
所有等可能结果共9种，其中和为单项式的结果有$2a、3a、2a、3a$，共4种，
因此和为单项式的概率为$\frac{4}{9}$。
【答案】
（1）$\frac{1}{3}$；
（2）表格空格依次填：$3a+2b$；$3a+2b，4a+2b，3a$；$3a，2a-2b$，和为单项式的概率为$\frac{4}{9}$。
【知识点】
概率计算；整式加减；单项式定义
【点评】
本题结合整式运算与概率知识点考查基础应用能力，解题时需注意放回抽取的总情况数，化简代数式和判断单项式时要仔细，避免计算失误导致结果错误。
【难度系数】
0.7
（1）第一问先将$a=1$、$b=-2$代入三个代数式求出对应值，统计值为负数的结果数量，再根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。
（2）第二问先按“第一次抽取的代数式+第二次抽取的代数式”的规则，计算表格空缺处的和并化简，再根据单项式的定义筛选出符合要求的结果，最后代入概率公式求解即可，注意是放回抽取，总共有$3×3=9$种等可能结果。
【解析】
（1）当$a=1$，$b=-2$时，分别计算三个代数式的值：
$a+b=1+(-2)=-1$，
$2a+b=2×1+(-2)=0$，
$a-b=1-(-2)=3$，
随机抽取1张卡片共有3种等可能的结果，其中代数式的值为负数的结果仅有1种，
因此取出的卡片上代数式的值为负数的概率为$\frac{1}{3}$。
（2）逐个计算表格空缺的和：
①第二行（第二次取$a+b$）第二列空缺：$(a+b)+(2a+b)=3a+2b$；
②第三行（第二次取$2a+b$）的三个空缺：
与第一次$a+b$相加：$(2a+b)+(a+b)=3a+2b$，
与第一次$2a+b$相加：$(2a+b)+(2a+b)=4a+2b$，
与第一次$a-b$相加：$(2a+b)+(a-b)=3a$；
③第四行（第二次取$a-b$）的后两个空缺：
与第一次$2a+b$相加：$(a-b)+(2a+b)=3a$，
与第一次$a-b$相加：$(a-b)+(a-b)=2a-2b$。
所有等可能结果共9种，其中和为单项式的结果有$2a、3a、2a、3a$，共4种，
因此和为单项式的概率为$\frac{4}{9}$。
【答案】
（1）$\frac{1}{3}$；
（2）表格空格依次填：$3a+2b$；$3a+2b，4a+2b，3a$；$3a，2a-2b$，和为单项式的概率为$\frac{4}{9}$。
【知识点】
概率计算；整式加减；单项式定义
【点评】
本题结合整式运算与概率知识点考查基础应用能力，解题时需注意放回抽取的总情况数，化简代数式和判断单项式时要仔细，避免计算失误导致结果错误。
【难度系数】
0.7
