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【知识点1】等边三角形的性质
等边三角形的三个
等边三角形的三个
角
都相等，并且每一个角
都等于60°
.答案
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°。
解析
【分析】
本题考查等边三角形的基本性质，解题时可结合已学知识推导：首先等边三角形是三条边都相等的特殊等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可推出它的三个内角都相等；再结合三角形内角和为180°，可算出每个内角的度数为180°÷3=60°，据此即可完成填空。
【解析】
根据等边三角形的性质推导：
1. 等边三角形三条边长度相等，由等腰三角形“等边对等角”的性质，可得三个角都相等；
2. 结合三角形内角和为180°，因此每个角的度数为180°÷3=60°，即每一个角都等于60°。
【答案】
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°。
【知识点】
等边三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础识记类题型，直接考查等边三角形的核心性质，牢记相关基础概念即可快速得分，是等边三角形相关知识的入门考查题。
【难度系数】
0.9
本题考查等边三角形的基本性质，解题时可结合已学知识推导：首先等边三角形是三条边都相等的特殊等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可推出它的三个内角都相等；再结合三角形内角和为180°，可算出每个内角的度数为180°÷3=60°，据此即可完成填空。
【解析】
根据等边三角形的性质推导：
1. 等边三角形三条边长度相等，由等腰三角形“等边对等角”的性质，可得三个角都相等；
2. 结合三角形内角和为180°，因此每个角的度数为180°÷3=60°，即每一个角都等于60°。
【答案】
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°。
【知识点】
等边三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础识记类题型，直接考查等边三角形的核心性质，牢记相关基础概念即可快速得分，是等边三角形相关知识的入门考查题。
【难度系数】
0.9
1. 如图15.3-8，$△ ABC$是等边三角形，BD是中线，延长BC至点E，使$CE=CD$，则下列结论错误的是（
A.$∠ CED=30°$
B.$∠ BDE=120°$
C.$DE=BD$
D.$DE=AB$
D
）A.$∠ CED=30°$
B.$∠ BDE=120°$
C.$DE=BD$
D.$DE=AB$
答案
1. D
解析
【分析】
解题时先利用等边三角形的性质推导相关角的度数和线段的关系，再结合等腰三角形的性质逐一判断每个选项：首先回忆等边三角形三个内角均为60°，且中线、高、角平分线三线合一，可先求出BD相关的角度；再根据CE=CD得到等腰△CDE，求出它的底角度数，最后结合角的关系判断线段是否相等即可。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=AC，
∵BD是AC边上的中线，由等边三角形三线合一的性质可得：BD⊥AC，BD平分∠ABC，
∴∠BDC=90°，$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$。
∵CE=CD，
∴△CDE是等腰三角形，∠CED=∠CDE，
又
∵∠DCE=180°-∠ACB=180°-60°=120°，
∴$∠ CED=∠ CDE=\frac{180°-120°}{2}=30°$，故A选项结论正确，不符合题意；
∴∠BDE=∠BDC+∠CDE=90°+30°=120°，故B选项结论正确，不符合题意；
∵∠DBC=∠CED=30°，根据等角对等边可得BD=DE，故C选项结论正确，不符合题意；
在Rt△ABD中，AB是斜边，BD是直角边，
∴BD＜AB，又
∵BD=DE，
∴DE＜AB，即DE≠AB，故D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题核心是对等边三角形和等腰三角形性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握等边三角形三线合一的性质，通过角度推导得到边和角的等量关系，再逐个验证选项。
【难度系数】
0.7
解题时先利用等边三角形的性质推导相关角的度数和线段的关系，再结合等腰三角形的性质逐一判断每个选项：首先回忆等边三角形三个内角均为60°，且中线、高、角平分线三线合一，可先求出BD相关的角度；再根据CE=CD得到等腰△CDE，求出它的底角度数，最后结合角的关系判断线段是否相等即可。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=AC，
∵BD是AC边上的中线，由等边三角形三线合一的性质可得：BD⊥AC，BD平分∠ABC，
∴∠BDC=90°，$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$。
∵CE=CD，
∴△CDE是等腰三角形，∠CED=∠CDE，
又
∵∠DCE=180°-∠ACB=180°-60°=120°，
∴$∠ CED=∠ CDE=\frac{180°-120°}{2}=30°$，故A选项结论正确，不符合题意；
∴∠BDE=∠BDC+∠CDE=90°+30°=120°，故B选项结论正确，不符合题意；
∵∠DBC=∠CED=30°，根据等角对等边可得BD=DE，故C选项结论正确，不符合题意；
在Rt△ABD中，AB是斜边，BD是直角边，
∴BD＜AB，又
∵BD=DE，
∴DE＜AB，即DE≠AB，故D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题核心是对等边三角形和等腰三角形性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握等边三角形三线合一的性质，通过角度推导得到边和角的等量关系，再逐个验证选项。
【难度系数】
0.7
2. 如图15.3-9，BE是等边$△ ABD$的中线，作$BC ⊥ AB$，交AD的延长线于点C. 若$CE=6$，则AB的长为（
A.8
B.6
C.5
D.4
D
）A.8
B.6
C.5
D.4
答案
2. D
解析
【分析】
解题时先从已知的等边三角形性质入手：首先等边△ABD三边相等、内角均为60°，结合BE是中线，根据等边三角形三线合一可推出AE是AB的一半；再由BC⊥AB可得△ABC是直角三角形，结合∠A=60°可推出∠C=30°，利用含30°角的直角三角形性质可得AC是AB的2倍；最后CE的长度等于AC减去AE，将AC、AE都用AB表示后，代入CE=6即可建立方程求出AB的长度。
【解析】
解：
∵△ABD是等边三角形
∴AB=AD，∠A=60°
∵BE是等边△ABD的中线，由等边三角形三线合一的性质可得：
$AE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}AB$
∵$BC⊥AB$，
∴$∠ABC=90°$
在$Rt△ABC$中，$∠C=180°-∠ABC-∠A=180°-90°-60°=30°$
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得：
$AC=2AB$
∵$CE=AC-AE$，且$CE=6$
将$AC=2AB$、$AE=\frac{1}{2}AB$代入得：
$2AB-\frac{1}{2}AB=6$
$\frac{3}{2}AB=6$
解得$AB=4$
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；线段和差计算
【点评】
本题是特殊三角形性质的基础应用题，解题核心是熟练运用等边三角形和含30°角直角三角形的性质，将未知线段统一用待求量AB表示，建立等量关系求解，掌握特殊三角形的性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的等边三角形性质入手：首先等边△ABD三边相等、内角均为60°，结合BE是中线，根据等边三角形三线合一可推出AE是AB的一半；再由BC⊥AB可得△ABC是直角三角形，结合∠A=60°可推出∠C=30°，利用含30°角的直角三角形性质可得AC是AB的2倍；最后CE的长度等于AC减去AE，将AC、AE都用AB表示后，代入CE=6即可建立方程求出AB的长度。
【解析】
解：
∵△ABD是等边三角形
∴AB=AD，∠A=60°
∵BE是等边△ABD的中线，由等边三角形三线合一的性质可得：
$AE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}AB$
∵$BC⊥AB$，
∴$∠ABC=90°$
在$Rt△ABC$中，$∠C=180°-∠ABC-∠A=180°-90°-60°=30°$
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得：
$AC=2AB$
∵$CE=AC-AE$，且$CE=6$
将$AC=2AB$、$AE=\frac{1}{2}AB$代入得：
$2AB-\frac{1}{2}AB=6$
$\frac{3}{2}AB=6$
解得$AB=4$
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；线段和差计算
【点评】
本题是特殊三角形性质的基础应用题，解题核心是熟练运用等边三角形和含30°角直角三角形的性质，将未知线段统一用待求量AB表示，建立等量关系求解，掌握特殊三角形的性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
有
下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（
A.∠A=∠B=∠C
B.AB=AC，∠B=60°
C.∠A=60°，∠B=60°
D.AB=AC，且∠B=∠C
一个角是60°
的等腰三角形是等边三角形.下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（
D
）A.∠A=∠B=∠C
B.AB=AC，∠B=60°
C.∠A=60°，∠B=60°
D.AB=AC，且∠B=∠C
答案
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；D
解析
【分析】
本题考查等边三角形的判定，首先回忆等边三角形的判定定理：1.三个角都相等的三角形是等边三角形；2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。第一空直接对应判定定理内容填写即可；第二问逐一分析每个选项，结合判定定理判断是否能推出△ABC是等边三角形即可。
【解析】
第一空：根据等边三角形的判定定理可知，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
第二问逐选项分析：
A. 已知∠A=∠B=∠C，结合三角形内角和为180°，可得三个内角均为60°，满足“三个角都相等的三角形是等边三角形”，能判定△ABC是等边三角形，不符合题意；
B. 已知AB=AC，说明△ABC是等腰三角形，又∠B=60°，满足“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，能判定△ABC是等边三角形，不符合题意；
C. 已知∠A=60°，∠B=60°，由三角形内角和得∠C=180°-60°-60°=60°，三个内角都相等，能判定△ABC是等边三角形，不符合题意；
D. 已知AB=AC，根据等腰三角形等边对等角的性质，天然可得∠B=∠C，仅能说明△ABC是等腰三角形，无法判定是等边三角形，符合题意。
【答案】
一个角是60°；D
【知识点】
等边三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查对等边三角形判定定理的掌握程度，解题时要注意区分等腰三角形和等边三角形的判定条件，避免将等腰三角形的性质错当成等边三角形的判定依据。
【难度系数】
0.85
本题考查等边三角形的判定，首先回忆等边三角形的判定定理：1.三个角都相等的三角形是等边三角形；2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。第一空直接对应判定定理内容填写即可；第二问逐一分析每个选项，结合判定定理判断是否能推出△ABC是等边三角形即可。
【解析】
第一空：根据等边三角形的判定定理可知，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
第二问逐选项分析：
A. 已知∠A=∠B=∠C，结合三角形内角和为180°，可得三个内角均为60°，满足“三个角都相等的三角形是等边三角形”，能判定△ABC是等边三角形，不符合题意；
B. 已知AB=AC，说明△ABC是等腰三角形，又∠B=60°，满足“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，能判定△ABC是等边三角形，不符合题意；
C. 已知∠A=60°，∠B=60°，由三角形内角和得∠C=180°-60°-60°=60°，三个内角都相等，能判定△ABC是等边三角形，不符合题意；
D. 已知AB=AC，根据等腰三角形等边对等角的性质，天然可得∠B=∠C，仅能说明△ABC是等腰三角形，无法判定是等边三角形，符合题意。
【答案】
一个角是60°；D
【知识点】
等边三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查对等边三角形判定定理的掌握程度，解题时要注意区分等腰三角形和等边三角形的判定条件，避免将等腰三角形的性质错当成等边三角形的判定依据。
【难度系数】
0.85
【例】已知在$△ ACD$中，$P$是$CD$的中点，$B$是$AD$延长线上的一点，连接$BC$，$AP$.
（1）如图1，若$∠ ACB=90°$，$∠ CAD=60°$，$AC=BD$，试判断$AP$与$CD$的位置关系.
（2）过点$D$作$DE// AC$，交$AP$的延长线于点$E$，连接$BE$，如图2所示，若$∠ CAD=60°$，$BD=AC$，试说明：$BC=2AP$.
（1）如图1，若$∠ ACB=90°$，$∠ CAD=60°$，$AC=BD$，试判断$AP$与$CD$的位置关系.
（2）过点$D$作$DE// AC$，交$AP$的延长线于点$E$，连接$BE$，如图2所示，若$∠ CAD=60°$，$BD=AC$，试说明：$BC=2AP$.
答案
解：(1) $AP⊥CD$，理由如下：
∵$∠ACB=90°$，$∠CAD=60°$，
∴$∠B=30°$，
∴$AB=2AC$.
∵$BD=AC$，
∴$AD=AC$，
∴$△ADC$是等边三角形.
∵P是CD的中点，
∴$AP⊥CD$.
(2)
∵$DE// AC$，
∴$∠CAP=∠DEP$，
∵$CP=DP$，$∠CPA = ∠DPE$，
∴$△CPA ≌ △DPE$（AAS），
∴$AP=EP=\frac{1}{2}AE$，$DE=AC$，
∵$BD=AC$，
∴$BD=DE$，又
∵$DE// AC$，
∴$∠BDE=∠CAD=60°$，
∴$△BDE$是等边三角形，
∴$BD=BE$，$∠EBD=60°$，
∵$BD=AC$，
∴$AC=BE$，$AB=AB$，
∴$△CBA ≌ △EAB$（SAS），
∴$BC=AE=2AP$.
∵$∠ACB=90°$，$∠CAD=60°$，
∴$∠B=30°$，
∴$AB=2AC$.
∵$BD=AC$，
∴$AD=AC$，
∴$△ADC$是等边三角形.
∵P是CD的中点，
∴$AP⊥CD$.
(2)
∵$DE// AC$，
∴$∠CAP=∠DEP$，
∵$CP=DP$，$∠CPA = ∠DPE$，
∴$△CPA ≌ △DPE$（AAS），
∴$AP=EP=\frac{1}{2}AE$，$DE=AC$，
∵$BD=AC$，
∴$BD=DE$，又
∵$DE// AC$，
∴$∠BDE=∠CAD=60°$，
∴$△BDE$是等边三角形，
∴$BD=BE$，$∠EBD=60°$，
∵$BD=AC$，
∴$AC=BE$，$AB=AB$，
∴$△CBA ≌ △EAB$（SAS），
∴$BC=AE=2AP$.
解析
【分析】
（1）要判断AP与CD的位置关系，先利用直角三角形内角和求出∠B的度数，结合直角三角形30°角的性质得到AB=2AC，再由BD=AC推出AD=AC，结合∠CAD=60°可证△ACD是等边三角形，最后根据等边三角形三线合一的性质，由P是CD中点即可得出AP与CD的位置关系。
（2）要说明BC=2AP，首先通过DE//AC和P是CD中点证明△CPA≌△DPE，得到AP=½AE、DE=AC，结合BD=AC推出BD=DE，再由平行线的性质得∠BDE=60°，证△BDE是等边三角形得到BE=AC，最后证明△CBA≌△EAB得到BC=AE，即可推出BC=2AP。
【解析】
(1) $AP⊥CD$，理由如下：
∵$∠ACB=90°$，$∠CAD=60°$，
∴$∠B=180°-90°-60°=30°$，
∴在$Rt△ACB$中，$AB=2AC$（直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
∵$BD=AC$，
∴$AD=AB-BD=2AC-AC=AC$，
又
∵$∠CAD=60°$，
∴$△ADC$是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。
∵P是CD的中点，
∴$AP⊥CD$（等边三角形三线合一）。
(2) 证明：
∵$DE// AC$，
∴$∠CAP=∠DEP$（两直线平行，内错角相等），
∵P是CD中点，
∴$CP=DP$，
在$△CPA$和$△DPE$中：
$\{\begin{array}{l}∠CAP=∠DEP\\∠CPA = ∠DPE\\CP=DP\end{array} $
∴$△CPA ≌ △DPE$（AAS），
∴$AP=EP=\frac{1}{2}AE$，$DE=AC$，
∵$BD=AC$，
∴$BD=DE$，
∵$DE// AC$，
∴$∠BDE=∠CAD=60°$（两直线平行，同位角相等），
∴$△BDE$是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴$BD=BE$，$∠EBD=∠CAD=60°$，
∵$BD=AC$，
∴$AC=BE$，
在$△CBA$和$△EAB$中：
$\{\begin{array}{l}AC=BE\\∠CAB=∠EBA=60°\\AB=BA\end{array} $
∴$△CBA ≌ △EAB$（SAS），
∴$BC=AE$，
又
∵$AE=2AP$，
∴$BC=2AP$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{AP⊥CD}$；
（2）证明成立，$\boldsymbol{BC=2AP}$。
【知识点】
等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形的综合应用类题目，解题的关键是熟练掌握特殊三角形的性质以及全等三角形的判定方法，通过构造全等转化线段关系，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
（1）要判断AP与CD的位置关系，先利用直角三角形内角和求出∠B的度数，结合直角三角形30°角的性质得到AB=2AC，再由BD=AC推出AD=AC，结合∠CAD=60°可证△ACD是等边三角形，最后根据等边三角形三线合一的性质，由P是CD中点即可得出AP与CD的位置关系。
（2）要说明BC=2AP，首先通过DE//AC和P是CD中点证明△CPA≌△DPE，得到AP=½AE、DE=AC，结合BD=AC推出BD=DE，再由平行线的性质得∠BDE=60°，证△BDE是等边三角形得到BE=AC，最后证明△CBA≌△EAB得到BC=AE，即可推出BC=2AP。
【解析】
(1) $AP⊥CD$，理由如下：
∵$∠ACB=90°$，$∠CAD=60°$，
∴$∠B=180°-90°-60°=30°$，
∴在$Rt△ACB$中，$AB=2AC$（直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
∵$BD=AC$，
∴$AD=AB-BD=2AC-AC=AC$，
又
∵$∠CAD=60°$，
∴$△ADC$是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。
∵P是CD的中点，
∴$AP⊥CD$（等边三角形三线合一）。
(2) 证明：
∵$DE// AC$，
∴$∠CAP=∠DEP$（两直线平行，内错角相等），
∵P是CD中点，
∴$CP=DP$，
在$△CPA$和$△DPE$中：
$\{\begin{array}{l}∠CAP=∠DEP\\∠CPA = ∠DPE\\CP=DP\end{array} $
∴$△CPA ≌ △DPE$（AAS），
∴$AP=EP=\frac{1}{2}AE$，$DE=AC$，
∵$BD=AC$，
∴$BD=DE$，
∵$DE// AC$，
∴$∠BDE=∠CAD=60°$（两直线平行，同位角相等），
∴$△BDE$是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴$BD=BE$，$∠EBD=∠CAD=60°$，
∵$BD=AC$，
∴$AC=BE$，
在$△CBA$和$△EAB$中：
$\{\begin{array}{l}AC=BE\\∠CAB=∠EBA=60°\\AB=BA\end{array} $
∴$△CBA ≌ △EAB$（SAS），
∴$BC=AE$，
又
∵$AE=2AP$，
∴$BC=2AP$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{AP⊥CD}$；
（2）证明成立，$\boldsymbol{BC=2AP}$。
【知识点】
等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形的综合应用类题目，解题的关键是熟练掌握特殊三角形的性质以及全等三角形的判定方法，通过构造全等转化线段关系，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
