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1. 下列说法：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形；③有两个角为$60°$的三角形是等边三角形；④底角的角平分线所在的直线是这个等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形. 其中正确的个数是（
A.1
B.2
C.3
D.4
D
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查等边三角形的判定相关内容，解题思路如下：首先回忆等边三角形的定义、判定定理以及等腰三角形的性质，然后对4个说法逐一验证是否符合等边三角形的判定规则，最终统计正确说法的数量即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
① 三条边都相等的三角形是等边三角形，这是等边三角形的定义，说法正确；
② 根据等边三角形的判定定理，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形（无论这个60°角是顶角还是底角，都可推出剩余两个角也为60°），说法正确；
③ 若三角形有两个角为60°，根据三角形内角和为180°，可得第三个角为180°-60°-60°=60°，三个角都相等的三角形三边也相等，是等边三角形，说法正确；
④ 等腰三角形原本的对称轴是顶角平分线、底边中线、底边上的高所在的直线，若底角的角平分线所在直线也是对称轴，说明折叠后腰与底边重合，即腰长等于底边长，该三角形三边相等，是等边三角形，说法正确。
综上，4个说法都正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点围绕等边三角形的判定规则设置，需要学生熟练掌握等边三角形和等腰三角形的性质，逐一验证每个说法即可，注意推导第四个说法时结合对称轴的含义分析，避免误判。
【难度系数】
0.8
本题考查等边三角形的判定相关内容，解题思路如下：首先回忆等边三角形的定义、判定定理以及等腰三角形的性质，然后对4个说法逐一验证是否符合等边三角形的判定规则，最终统计正确说法的数量即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
① 三条边都相等的三角形是等边三角形，这是等边三角形的定义，说法正确；
② 根据等边三角形的判定定理，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形（无论这个60°角是顶角还是底角，都可推出剩余两个角也为60°），说法正确；
③ 若三角形有两个角为60°，根据三角形内角和为180°，可得第三个角为180°-60°-60°=60°，三个角都相等的三角形三边也相等，是等边三角形，说法正确；
④ 等腰三角形原本的对称轴是顶角平分线、底边中线、底边上的高所在的直线，若底角的角平分线所在直线也是对称轴，说明折叠后腰与底边重合，即腰长等于底边长，该三角形三边相等，是等边三角形，说法正确。
综上，4个说法都正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点围绕等边三角形的判定规则设置，需要学生熟练掌握等边三角形和等腰三角形的性质，逐一验证每个说法即可，注意推导第四个说法时结合对称轴的含义分析，避免误判。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在等边$△ ABC$中，$AB=4$，$BD$是$AC$边上的高，点$E$在$BC$的延长线上，$∠ ACB=2∠ E$，则$BE$的长为（
A.4.5
B.5
C.6
D.9
C
）A.4.5
B.5
C.6
D.9
答案
2. C
解析
【分析】
解题时先从已知的等边三角形条件入手，首先回忆等边三角形的性质：三边相等、三个内角均为60°，且高、中线、角平分线三线合一。第一步先根据∠ACB=2∠E求出∠E的度数；第二步利用三角形外角的性质，推导∠CDE和∠E的关系，得到CE=CD的结论；第三步利用等边三角形三线合一的性质求出CD的长度，最后将BC与CE相加即可得到BE的长。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AB=4，
∴BC=AC=AB=4，∠ACB=60°。
∵∠ACB=2∠E，
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°。
∵∠ACB是△DCE的外角，
∴∠ACB=∠CDE+∠E，
∴∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30°，
∴∠CDE=∠E，
∴CE=CD。
又
∵BD是等边△ABC中AC边上的高，根据等边三角形三线合一的性质，D为AC的中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴CE=2，
∴BE=BC+CE=4+2=6。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；等角对等边；三角形外角的性质
【点评】
本题是等边三角形性质应用的基础题，解题的核心是结合角的数量关系和等腰三角形的判定推出CE与CD的等量关系，再结合三线合一求出线段长度，解题时注意结合图形分析角与角、边与边的关系，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的等边三角形条件入手，首先回忆等边三角形的性质：三边相等、三个内角均为60°，且高、中线、角平分线三线合一。第一步先根据∠ACB=2∠E求出∠E的度数；第二步利用三角形外角的性质，推导∠CDE和∠E的关系，得到CE=CD的结论；第三步利用等边三角形三线合一的性质求出CD的长度，最后将BC与CE相加即可得到BE的长。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AB=4，
∴BC=AC=AB=4，∠ACB=60°。
∵∠ACB=2∠E，
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°。
∵∠ACB是△DCE的外角，
∴∠ACB=∠CDE+∠E，
∴∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30°，
∴∠CDE=∠E，
∴CE=CD。
又
∵BD是等边△ABC中AC边上的高，根据等边三角形三线合一的性质，D为AC的中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴CE=2，
∴BE=BC+CE=4+2=6。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；等角对等边；三角形外角的性质
【点评】
本题是等边三角形性质应用的基础题，解题的核心是结合角的数量关系和等腰三角形的判定推出CE与CD的等量关系，再结合三线合一求出线段长度，解题时注意结合图形分析角与角、边与边的关系，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
3. 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=∠ B=60°$，$D$为$BC$的中点，$AB=4$， 第2题图
则$BD=$
则$BD=$
2
。答案
3. 2
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先根据三角形内角和定理计算△ABC的第三个角的度数，判断三角形的类型；第二步，利用该特殊三角形的边的性质求出BC的长度；第三步，结合D是BC中点的条件，根据线段中点的定义求出BD的长度。
首先已知△ABC中∠BAC和∠B都是60°，由三角形内角和为180°可算出∠C也为60°，三个角都相等的三角形是等边三角形，因此△ABC三边相等，已知AB=4即可得BC的长度，再根据中点将线段分为相等的两段，就能求出BD的长。
【解析】
解：在△ABC中，
∵∠BAC=∠B=60°，
∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-60°-60°=60°，
∴∠BAC=∠B=∠C，即△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=4，
又
∵D为BC的中点，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×4=2。
【答案】
2
【知识点】
等边三角形的判定与性质；三角形内角和定理；线段中点的定义
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是通过已知角的度数判定三角形为等边三角形，再结合线段中点的性质求解线段长度，解题时熟练掌握等边三角形的判定条件和边的性质，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步，先根据三角形内角和定理计算△ABC的第三个角的度数，判断三角形的类型；第二步，利用该特殊三角形的边的性质求出BC的长度；第三步，结合D是BC中点的条件，根据线段中点的定义求出BD的长度。
首先已知△ABC中∠BAC和∠B都是60°，由三角形内角和为180°可算出∠C也为60°，三个角都相等的三角形是等边三角形，因此△ABC三边相等，已知AB=4即可得BC的长度，再根据中点将线段分为相等的两段，就能求出BD的长。
【解析】
解：在△ABC中，
∵∠BAC=∠B=60°，
∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-60°-60°=60°，
∴∠BAC=∠B=∠C，即△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=4，
又
∵D为BC的中点，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×4=2。
【答案】
2
【知识点】
等边三角形的判定与性质；三角形内角和定理；线段中点的定义
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是通过已知角的度数判定三角形为等边三角形，再结合线段中点的性质求解线段长度，解题时熟练掌握等边三角形的判定条件和边的性质，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
4. 已知有一个角为$60°$的等腰三角形的腰长为4，则这个等腰三角形的周长为
12
。答案
4. 12
解析
【分析】
解题时首先回忆等腰三角形与等边三角形的关联判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。我们可以通过分类讨论60°角是顶角还是底角的两种情况，验证该三角形为等边三角形，再根据等边三角形三边相等的性质，结合已知腰长计算周长即可。
【解析】
解：分两种情况讨论已知的60°角：
① 若60°角是等腰三角形的顶角：
根据等腰三角形两底角相等的性质，两个底角的度数均为$(180° - 60°) ÷ 2 = 60°$，此时三角形三个内角均为60°，为等边三角形；
② 若60°角是等腰三角形的底角：
根据等腰三角形两底角相等的性质，另一个底角也为60°，顶角度数为$180° - 60° × 2 = 60°$，此时三角形三个内角也均为60°，为等边三角形。
综上，该三角形为等边三角形，三边长均等于腰长4，因此周长为$4 × 3 = 12$。
【答案】
12
【知识点】
等腰三角形的性质，等边三角形的判定，三角形周长计算
【点评】
本题是基础几何题，核心考察“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”这一判定定理，解题时通过分类讨论角的类型可避免错漏，熟练掌握特殊三角形的判定和性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆等腰三角形与等边三角形的关联判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。我们可以通过分类讨论60°角是顶角还是底角的两种情况，验证该三角形为等边三角形，再根据等边三角形三边相等的性质，结合已知腰长计算周长即可。
【解析】
解：分两种情况讨论已知的60°角：
① 若60°角是等腰三角形的顶角：
根据等腰三角形两底角相等的性质，两个底角的度数均为$(180° - 60°) ÷ 2 = 60°$，此时三角形三个内角均为60°，为等边三角形；
② 若60°角是等腰三角形的底角：
根据等腰三角形两底角相等的性质，另一个底角也为60°，顶角度数为$180° - 60° × 2 = 60°$，此时三角形三个内角也均为60°，为等边三角形。
综上，该三角形为等边三角形，三边长均等于腰长4，因此周长为$4 × 3 = 12$。
【答案】
12
【知识点】
等腰三角形的性质，等边三角形的判定，三角形周长计算
【点评】
本题是基础几何题，核心考察“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”这一判定定理，解题时通过分类讨论角的类型可避免错漏，熟练掌握特殊三角形的判定和性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.9
5. 如图，$△ ABC$是等边三角形，$D$，$E$，$F$分别是边$AB$，$BC$，$CA$上的点，且$AD=BE=CF$，求证：$△ DEF$是等边三角形。
答案
5. 证明：
∵$△ABC$是等边三角形，
∴$∠A=∠B=∠C=60°$，$AB=BC=AC$.
∵$AD=BE=CF$，
∴$BD=CE=AF$. 在$△ADF$和$△BED$ 中，$\begin{cases} AD=BE, \\ ∠A=∠B, \\ AF=BD, \end{cases}$
∴$△ADF ≌ △BED$（SAS），
∴$DF=DE$. 同理 $DE=EF$，
∴$DE=DF=EF$，
∴$△DEF$是等边三角形.
∵$△ABC$是等边三角形，
∴$∠A=∠B=∠C=60°$，$AB=BC=AC$.
∵$AD=BE=CF$，
∴$BD=CE=AF$. 在$△ADF$和$△BED$ 中，$\begin{cases} AD=BE, \\ ∠A=∠B, \\ AF=BD, \end{cases}$
∴$△ADF ≌ △BED$（SAS），
∴$DF=DE$. 同理 $DE=EF$，
∴$DE=DF=EF$，
∴$△DEF$是等边三角形.
解析
【分析】
要证明△DEF是等边三角形，可通过证明其三边相等推导结论。首先根据等边三角形的性质，可得△ABC的三个角均为60°、三边相等；结合已知AD=BE=CF，可推出BD=CE=AF，此时就能利用SAS判定定理证明△ADF≌△BED≌△CFE，得到DE=DF=EF，最后根据等边三角形的判定定理即可得证。
【解析】
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC.
∵AD=BE=CF，
∴BD=CE=AF.
在△ADF和△BED中，
$\begin{cases} AD=BE, \\ ∠A=∠B, \\ AF=BD, \end{cases}$
∴△ADF ≌ △BED（SAS），
∴DF=DE.
同理可证△BED≌△CFE，得DE=EF，
∴DE=DF=EF，
∴△DEF是等边三角形.
【答案】
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC.
∵AD=BE=CF，
∴BD=CE=AF. 在△ADF和△BED 中，$\begin{cases} AD=BE, \\ ∠A=∠B, \\ AF=BD, \end{cases}$
∴△ADF ≌ △BED（SAS），
∴DF=DE. 同理 $DE=EF$，
∴$DE=DF=EF$，
∴△DEF是等边三角形.
【知识点】
等边三角形的性质与判定；SAS判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是合理利用等边三角形的边角性质，构造全等三角形得到对应边相等，进而完成等边三角形的判定，这类题能很好地考查对基础几何定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
要证明△DEF是等边三角形，可通过证明其三边相等推导结论。首先根据等边三角形的性质，可得△ABC的三个角均为60°、三边相等；结合已知AD=BE=CF，可推出BD=CE=AF，此时就能利用SAS判定定理证明△ADF≌△BED≌△CFE，得到DE=DF=EF，最后根据等边三角形的判定定理即可得证。
【解析】
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC.
∵AD=BE=CF，
∴BD=CE=AF.
在△ADF和△BED中，
$\begin{cases} AD=BE, \\ ∠A=∠B, \\ AF=BD, \end{cases}$
∴△ADF ≌ △BED（SAS），
∴DF=DE.
同理可证△BED≌△CFE，得DE=EF，
∴DE=DF=EF，
∴△DEF是等边三角形.
【答案】
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC.
∵AD=BE=CF，
∴BD=CE=AF. 在△ADF和△BED 中，$\begin{cases} AD=BE, \\ ∠A=∠B, \\ AF=BD, \end{cases}$
∴△ADF ≌ △BED（SAS），
∴DF=DE. 同理 $DE=EF$，
∴$DE=DF=EF$，
∴△DEF是等边三角形.
【知识点】
等边三角形的性质与判定；SAS判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是合理利用等边三角形的边角性质，构造全等三角形得到对应边相等，进而完成等边三角形的判定，这类题能很好地考查对基础几何定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
