登录
6. 如图，已知 $AE ⊥ BC$，$∠ ADB=120°$，$∠ B=40°$，$∠ CAE=30°$。
（1）求证：$△ ACD$ 为等边三角形。
（2）求 $∠ BAC$ 的度数。
（1）求证：$△ ACD$ 为等边三角形。
（2）求 $∠ BAC$ 的度数。
答案
6. (1) 证明：
∵$∠ADB=120°$，
∴$∠ADB+∠ADC=180°$，
∴$∠ADC=180°−∠ADB=180°−120°=60°$.
∵$AE ⊥ BC$，
∴$∠AEC=90°$，
∴$∠C+∠CAE=90°$.
∵$∠CAE=30°$，
∴$∠C=90°−∠CAE=90°−30°=60°$，
∴$∠ADC=∠C=60°$，
∴$AD=AC$，
∴$△ACD$为等边三角形.
(2) 解：由(1)得$∠C=60°$，
∵在$△ABC$中，$∠B+∠C+∠BAC=180°$，$∠B=40°$，
∴$∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−40°−60°=80°$.
∵$∠ADB=120°$，
∴$∠ADB+∠ADC=180°$，
∴$∠ADC=180°−∠ADB=180°−120°=60°$.
∵$AE ⊥ BC$，
∴$∠AEC=90°$，
∴$∠C+∠CAE=90°$.
∵$∠CAE=30°$，
∴$∠C=90°−∠CAE=90°−30°=60°$，
∴$∠ADC=∠C=60°$，
∴$AD=AC$，
∴$△ACD$为等边三角形.
(2) 解：由(1)得$∠C=60°$，
∵在$△ABC$中，$∠B+∠C+∠BAC=180°$，$∠B=40°$，
∴$∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−40°−60°=80°$.
解析
【分析】
（1）要证明△ACD为等边三角形，可通过证明该三角形是含60°角的等腰三角形来推导。首先利用邻补角的性质，由已知∠ADB的度数求出∠ADC的度数；再结合AE⊥BC的垂直关系，利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠C的度数，得到△ACD中两个内角均为60°，即可推导出AD=AC，进而判定△ACD为等边三角形。
（2）求∠BAC的度数时，可直接利用三角形内角和定理，代入已知的∠B和第一问求出的∠C的度数，计算即可得到结果。
【解析】
（1）证明：
∵$∠ ADB=120°$，$∠ ADB+∠ ADC=180°$，
∴$∠ ADC=180°-∠ ADB=180°-120°=60°$。
∵$AE ⊥ BC$，
∴$∠ AEC=90°$，
∴$∠ C+∠ CAE=90°$。
∵$∠ CAE=30°$，
∴$∠ C=90°-∠ CAE=90°-30°=60°$，
∴$∠ ADC=∠ C=60°$，
∴$AD=AC$，
∴$△ ACD$为等边三角形。
（2）解：由（1）得$∠ C=60°$，
∵在$△ ABC$中，$∠ B+∠ C+∠ BAC=180°$，$∠ B=40°$，
∴$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-40°-60°=80°$。
【答案】
（1）$△ ACD$为等边三角形，证明成立；
（2）$∠ BAC=80°$
【知识点】
等边三角形的判定，直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何题，侧重考察角度计算和特殊三角形的判定，解题核心是理清已知角和待求角的关系，熟练掌握相关性质和判定定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
（1）要证明△ACD为等边三角形，可通过证明该三角形是含60°角的等腰三角形来推导。首先利用邻补角的性质，由已知∠ADB的度数求出∠ADC的度数；再结合AE⊥BC的垂直关系，利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠C的度数，得到△ACD中两个内角均为60°，即可推导出AD=AC，进而判定△ACD为等边三角形。
（2）求∠BAC的度数时，可直接利用三角形内角和定理，代入已知的∠B和第一问求出的∠C的度数，计算即可得到结果。
【解析】
（1）证明：
∵$∠ ADB=120°$，$∠ ADB+∠ ADC=180°$，
∴$∠ ADC=180°-∠ ADB=180°-120°=60°$。
∵$AE ⊥ BC$，
∴$∠ AEC=90°$，
∴$∠ C+∠ CAE=90°$。
∵$∠ CAE=30°$，
∴$∠ C=90°-∠ CAE=90°-30°=60°$，
∴$∠ ADC=∠ C=60°$，
∴$AD=AC$，
∴$△ ACD$为等边三角形。
（2）解：由（1）得$∠ C=60°$，
∵在$△ ABC$中，$∠ B+∠ C+∠ BAC=180°$，$∠ B=40°$，
∴$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-40°-60°=80°$。
【答案】
（1）$△ ACD$为等边三角形，证明成立；
（2）$∠ BAC=80°$
【知识点】
等边三角形的判定，直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何题，侧重考察角度计算和特殊三角形的判定，解题核心是理清已知角和待求角的关系，熟练掌握相关性质和判定定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
7.如图，等边三角形的一个顶点在长方形的一条边上，如果$2∠1=∠2$，那么$∠1$的度数为
40°
。答案
7. 40°
解析
【分析】
首先梳理已知条件：等边三角形的每个内角都是60°，长方形的对边互相平行，且题目给出2∠1=∠2。解题时先利用平行线的性质，可得∠2和它的内错角相等，再结合平角为180°，可推出∠1、等边三角形的60°内角与∠2三者之和为180°，最后代入∠2=2∠1的数量关系列方程求解即可。
【解析】
解：
∵长方形的对边互相平行，
∴∠2和它的内错角相等（两直线平行，内错角相等），
∵平角的度数为180°，等边三角形的内角为60°，
∴∠1 + 60° + ∠2 = 180°，
将已知条件∠2=2∠1代入上式得：
$∠ 1 + 60° + 2∠ 1 = 180°$
$3∠ 1 = 120°$
解得$∠ 1 = 40°$
【答案】
40°
【知识点】
平行线的性质；等边三角形的性质；平角的定义
【点评】
本题属于基础几何应用题，主要考查基础几何性质的综合运用，解题的关键是找到角之间的和差关系，结合已知的角的倍数关系建立方程求解。
【难度系数】
0.7
首先梳理已知条件：等边三角形的每个内角都是60°，长方形的对边互相平行，且题目给出2∠1=∠2。解题时先利用平行线的性质，可得∠2和它的内错角相等，再结合平角为180°，可推出∠1、等边三角形的60°内角与∠2三者之和为180°，最后代入∠2=2∠1的数量关系列方程求解即可。
【解析】
解：
∵长方形的对边互相平行，
∴∠2和它的内错角相等（两直线平行，内错角相等），
∵平角的度数为180°，等边三角形的内角为60°，
∴∠1 + 60° + ∠2 = 180°，
将已知条件∠2=2∠1代入上式得：
$∠ 1 + 60° + 2∠ 1 = 180°$
$3∠ 1 = 120°$
解得$∠ 1 = 40°$
【答案】
40°
【知识点】
平行线的性质；等边三角形的性质；平角的定义
【点评】
本题属于基础几何应用题，主要考查基础几何性质的综合运用，解题的关键是找到角之间的和差关系，结合已知的角的倍数关系建立方程求解。
【难度系数】
0.7
8. 如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间最小的三角形的边长是3，则六边形的周长为（
A.90
B.60
C.50
D.30
A
）A.90
B.60
C.50
D.30
答案
8. A
解析
【分析】
本题可利用等边三角形三边相等的性质求解，首先观察图形可知，所有等边三角形的边长按大小依次相差最小三角形的边长3。我们可以设第二小的等边三角形边长为x，将其余三角形的边长用含x的代数式表示，再根据最大等边三角形的边长有两种等价表示方法列方程求出x的值，最后计算六边形六条边的和即可得到周长。
【解析】
解：设第二小的等边三角形的边长为$ x $。
∵ 所有三角形都是等边三角形，最小的等边三角形边长为3，
∴ 其余等边三角形的边长可分别表示为$ x $、$ x+3 $、$ x+6 $、$ x+9 $。
观察图形可得最大等边三角形的边长满足等量关系：
$ 2x = x + 9 $
解得$ x=9 $
六边形的六条边长分别为：$ x+3=12 $、$ x+3=12 $、$ x+6=15 $、$ x+6=15 $、$ x+9=18 $、$ x+9=18 $
则六边形的周长为：$ 12+12+15+15+18+18=90 $
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题目，解题核心是通过观察图形找到不同等边三角形边长的规律，利用方程思想建立等量关系求解，需要学生具备一定的图形观察能力和知识综合应用能力。
【难度系数】
0.6
本题可利用等边三角形三边相等的性质求解，首先观察图形可知，所有等边三角形的边长按大小依次相差最小三角形的边长3。我们可以设第二小的等边三角形边长为x，将其余三角形的边长用含x的代数式表示，再根据最大等边三角形的边长有两种等价表示方法列方程求出x的值，最后计算六边形六条边的和即可得到周长。
【解析】
解：设第二小的等边三角形的边长为$ x $。
∵ 所有三角形都是等边三角形，最小的等边三角形边长为3，
∴ 其余等边三角形的边长可分别表示为$ x $、$ x+3 $、$ x+6 $、$ x+9 $。
观察图形可得最大等边三角形的边长满足等量关系：
$ 2x = x + 9 $
解得$ x=9 $
六边形的六条边长分别为：$ x+3=12 $、$ x+3=12 $、$ x+6=15 $、$ x+6=15 $、$ x+9=18 $、$ x+9=18 $
则六边形的周长为：$ 12+12+15+15+18+18=90 $
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题目，解题核心是通过观察图形找到不同等边三角形边长的规律，利用方程思想建立等量关系求解，需要学生具备一定的图形观察能力和知识综合应用能力。
【难度系数】
0.6
9. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$BE ⊥ AC$，$△ BDE$是等边三角形，若$AD=4$，则线段$BE$的长为
4
。答案
9. 4
解析
【分析】
解题时先从已知的等边三角形入手，先得到BE与BD相等、∠DBE的度数；再结合BE⊥AC的条件，可判断△ABE是直角三角形，进而求出∠A的度数；利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，得到AB与BE的数量关系；最后结合AB=AD+BD的线段和差关系，代入已知AD的长度即可求出BE的长。
【解析】
解：
∵△BDE是等边三角形，
∴BE=BD，∠DBE=60°，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，∠A = 90° - ∠DBE = 90° - 60° = 30°，
根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
AB = 2BE，
又
∵AB = AD + BD，且BD=BE，AD=4，
∴2BE = 4 + BE，
解得：BE=4。
【答案】
4
【知识点】
等边三角形的性质，直角三角形30°角的性质，线段和差计算
【点评】
本题重点考查等边三角形性质与直角三角形性质的综合应用，解题的核心是找到边的等量关系，结合图形分析角的度数是推导边关系的关键，解题时注意不要被多余条件干扰。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的等边三角形入手，先得到BE与BD相等、∠DBE的度数；再结合BE⊥AC的条件，可判断△ABE是直角三角形，进而求出∠A的度数；利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，得到AB与BE的数量关系；最后结合AB=AD+BD的线段和差关系，代入已知AD的长度即可求出BE的长。
【解析】
解：
∵△BDE是等边三角形，
∴BE=BD，∠DBE=60°，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，∠A = 90° - ∠DBE = 90° - 60° = 30°，
根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
AB = 2BE，
又
∵AB = AD + BD，且BD=BE，AD=4，
∴2BE = 4 + BE，
解得：BE=4。
【答案】
4
【知识点】
等边三角形的性质，直角三角形30°角的性质，线段和差计算
【点评】
本题重点考查等边三角形性质与直角三角形性质的综合应用，解题的核心是找到边的等量关系，结合图形分析角的度数是推导边关系的关键，解题时注意不要被多余条件干扰。
【难度系数】
0.7
10. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，BC上.把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B'处，DB'，EB'分别与AC交于点F，G.若∠EDF=50°，则∠EGC=
80°
.答案
10. 80°
解析
【分析】
解题时首先回忆等边三角形和折叠的性质：等边三角形三个内角都为60°，折叠前后对应角相等。首先根据已知的∠EDF=50°，结合折叠性质得到∠BDE=∠B'DE=50°，先计算出∠ADF的度数；再在△ADF中利用三角形内角和算出∠AFD的度数，由对顶角相等得到∠B'FG的度数；接着在△B'FG中再次用三角形内角和算出∠B'GF的度数，最后利用对顶角相等得到∠EGC的度数即可。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=60°，
由折叠的性质可得：∠B'=∠B=60°，∠BDE=∠B'DE=∠EDF=50°，
∴∠ADF=180°-∠BDE-∠B'DE=180°-50°-50°=80°，
在△ADF中，根据三角形内角和为180°：
∠AFD=180°-∠A-∠ADF=180°-60°-80°=40°，
∵∠AFD和∠B'FG是对顶角，
∴∠B'FG=∠AFD=40°，
在△B'FG中：
∠B'GF=180°-∠B'-∠B'FG=180°-60°-40°=80°，
又
∵∠B'GF和∠EGC是对顶角，
∴∠EGC=∠B'GF=80°。
【答案】
80°
【知识点】
等边三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础的角度计算题，核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合等边三角形内角为60°的特点，多次运用三角形内角和与对顶角相等推导所求角度，解题时注意梳理角之间的等量关系即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆等边三角形和折叠的性质：等边三角形三个内角都为60°，折叠前后对应角相等。首先根据已知的∠EDF=50°，结合折叠性质得到∠BDE=∠B'DE=50°，先计算出∠ADF的度数；再在△ADF中利用三角形内角和算出∠AFD的度数，由对顶角相等得到∠B'FG的度数；接着在△B'FG中再次用三角形内角和算出∠B'GF的度数，最后利用对顶角相等得到∠EGC的度数即可。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=60°，
由折叠的性质可得：∠B'=∠B=60°，∠BDE=∠B'DE=∠EDF=50°，
∴∠ADF=180°-∠BDE-∠B'DE=180°-50°-50°=80°，
在△ADF中，根据三角形内角和为180°：
∠AFD=180°-∠A-∠ADF=180°-60°-80°=40°，
∵∠AFD和∠B'FG是对顶角，
∴∠B'FG=∠AFD=40°，
在△B'FG中：
∠B'GF=180°-∠B'-∠B'FG=180°-60°-40°=80°，
又
∵∠B'GF和∠EGC是对顶角，
∴∠EGC=∠B'GF=80°。
【答案】
80°
【知识点】
等边三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础的角度计算题，核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合等边三角形内角为60°的特点，多次运用三角形内角和与对顶角相等推导所求角度，解题时注意梳理角之间的等量关系即可。
【难度系数】
0.7
