登录
12. 在△ABC中，AB≠AC，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，MN经过点O，分别与AB，AC相交于点M，N，且MN//BC.
（1）如图
，直接写出图中所有的等腰三角形；猜想MN与BM，CN之间有怎样的数量关系，并说明理由.
（2）如图
，在△ABC中，∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O，过点O作OM//BC交AB于点M，交AC于点N. 图中有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们. 写出MN与BM，CN之间的数量关系，并说明理由.
（1）如图
，直接写出图中所有的等腰三角形；猜想MN与BM，CN之间有怎样的数量关系，并说明理由.（2）如图
，在△ABC中，∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O，过点O作OM//BC交AB于点M，交AC于点N. 图中有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们. 写出MN与BM，CN之间的数量关系，并说明理由.答案
12. 解： （1）BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB，
∴∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCB.
∵MN//BC，
∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB，
∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠NCO，
∴BM=OM，CN=ON，
∴△BMO，△CNO 是等腰三角形，即图中等腰三角形有△BMO，△CNO. MN 与 BM，CN 之间的关系是 MN=BN+CN.
（2）BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACH，
∴∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCH.
∵OM//BC，
∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCH.
∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠NCO.
∴BM=OM，CN=ON.
∴△BMO，△CNO 是等腰三角形，即图中等腰三角形有△BMO，△CNO. MN 与 BM，CN 之间的关系是 MN=BN−CN.
∴∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCB.
∵MN//BC，
∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB，
∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠NCO，
∴BM=OM，CN=ON，
∴△BMO，△CNO 是等腰三角形，即图中等腰三角形有△BMO，△CNO. MN 与 BM，CN 之间的关系是 MN=BN+CN.
（2）BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACH，
∴∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCH.
∵OM//BC，
∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCH.
∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠NCO.
∴BM=OM，CN=ON.
∴△BMO，△CNO 是等腰三角形，即图中等腰三角形有△BMO，△CNO. MN 与 BM，CN 之间的关系是 MN=BN−CN.
解析
【分析】
（1）解题时先抓住“角平分线+平行线”的典型组合特征：首先由角平分线可得一组等角，再由平行线的内错角相等可得另一组等角，等量代换后即可得到同一个三角形的两个内角相等，利用“等角对等边”就能判定等腰三角形；推导线段关系时，将MN拆分为OM和ON的和，再用相等的线段替换即可得到MN与BM、CN的关系。
（2）解题思路和（1）一致，只是其中一个角是外角，同样利用角平分线、平行线的性质得到等角，判定等腰三角形；此时MN为OM减去ON的差，替换相等线段后即可得到对应的数量关系。
【解析】
（1）解：
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCB。
∵MN//BC，
∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB（两直线平行，内错角相等），
∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠NCO，
∴BM=OM，CN=ON（等角对等边），
∴△BMO、△CNO为等腰三角形。
MN与BM、CN的数量关系推导：
∵MN=OM+ON，且OM=BM，ON=CN，
∴MN=BM+CN。
（2）解：图中有等腰三角形，为△BMO和△CNO。
MN与BM、CN的数量关系推导：
∵BO平分∠ABC，CO平分△ABC的外角∠ACH，
∴∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCH。
∵OM//BC，
∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCH（两直线平行，内错角相等），
∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠NCO，
∴BM=OM，CN=ON（等角对等边）。
∵MN=OM-ON，
∴MN=BM-CN。
【答案】
（1）等腰三角形：$△ BMO$，$△ CNO$；数量关系：$\boldsymbol{MN=BM+CN}$；
（2）等腰三角形：$△ BMO$，$△ CNO$；数量关系：$\boldsymbol{MN=BM-CN}$。
【知识点】
等腰三角形的判定；角平分线的性质；平行线的性质
【点评】
本题属于等腰三角形判定的经典模型题，重点考查“角平分线+平行线得等腰三角形”这一常用结论，解题时要注意观察线段的和差组成，通过等量代换即可快速得到所求线段关系。
【难度系数】
0.7
（1）解题时先抓住“角平分线+平行线”的典型组合特征：首先由角平分线可得一组等角，再由平行线的内错角相等可得另一组等角，等量代换后即可得到同一个三角形的两个内角相等，利用“等角对等边”就能判定等腰三角形；推导线段关系时，将MN拆分为OM和ON的和，再用相等的线段替换即可得到MN与BM、CN的关系。
（2）解题思路和（1）一致，只是其中一个角是外角，同样利用角平分线、平行线的性质得到等角，判定等腰三角形；此时MN为OM减去ON的差，替换相等线段后即可得到对应的数量关系。
【解析】
（1）解：
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCB。
∵MN//BC，
∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB（两直线平行，内错角相等），
∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠NCO，
∴BM=OM，CN=ON（等角对等边），
∴△BMO、△CNO为等腰三角形。
MN与BM、CN的数量关系推导：
∵MN=OM+ON，且OM=BM，ON=CN，
∴MN=BM+CN。
（2）解：图中有等腰三角形，为△BMO和△CNO。
MN与BM、CN的数量关系推导：
∵BO平分∠ABC，CO平分△ABC的外角∠ACH，
∴∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCH。
∵OM//BC，
∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCH（两直线平行，内错角相等），
∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠NCO，
∴BM=OM，CN=ON（等角对等边）。
∵MN=OM-ON，
∴MN=BM-CN。
【答案】
（1）等腰三角形：$△ BMO$，$△ CNO$；数量关系：$\boldsymbol{MN=BM+CN}$；
（2）等腰三角形：$△ BMO$，$△ CNO$；数量关系：$\boldsymbol{MN=BM-CN}$。
【知识点】
等腰三角形的判定；角平分线的性质；平行线的性质
【点评】
本题属于等腰三角形判定的经典模型题，重点考查“角平分线+平行线得等腰三角形”这一常用结论，解题时要注意观察线段的和差组成，通过等量代换即可快速得到所求线段关系。
【难度系数】
0.7
13. (2025·陕西) 如图，在$△ ABC$中，点D在边BC上，$∠ ADB=2∠ C$. 若$AB=5$，$BC=6$，则$△ ABD$的周长为（
A.8
B.10
C.11
D.12
C
）A.8
B.10
C.11
D.12
答案
13. C
解析
【分析】
解题时先从已知角的关系入手，首先∠ADB是△ADC的外角，根据三角形外角性质可得到∠ADB与∠C、∠DAC的关系，结合题目给出的∠ADB=2∠C，可推导出∠DAC=∠C，再根据等腰三角形“等角对等边”的性质得到AD=CD，最后将△ABD的周长中的AD替换为CD，即可将周长转化为已知的AB与BC的和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADB = ∠C + ∠DAC，
又
∵∠ADB=2∠C，
∴2∠C = ∠C + ∠DAC，
化简得∠DAC = ∠C，
根据等角对等边可得：AD = CD，
△ABD的周长为：$C_{△ ABD}=AB+BD+AD$，
将AD替换为CD得：$C_{△ ABD}=AB+BD+CD=AB+BC$，
代入AB=5，BC=6，得$C_{△ ABD}=5+6=11$。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角性质；等腰三角形的判定；三角形周长计算
【点评】
本题的核心是通过角的关系推导得到相等的线段，再通过线段替换将未知周长转化为已知线段的和，解题思路灵活，属于几何基础类题型，掌握外角性质和等腰三角形判定即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知角的关系入手，首先∠ADB是△ADC的外角，根据三角形外角性质可得到∠ADB与∠C、∠DAC的关系，结合题目给出的∠ADB=2∠C，可推导出∠DAC=∠C，再根据等腰三角形“等角对等边”的性质得到AD=CD，最后将△ABD的周长中的AD替换为CD，即可将周长转化为已知的AB与BC的和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADB = ∠C + ∠DAC，
又
∵∠ADB=2∠C，
∴2∠C = ∠C + ∠DAC，
化简得∠DAC = ∠C，
根据等角对等边可得：AD = CD，
△ABD的周长为：$C_{△ ABD}=AB+BD+AD$，
将AD替换为CD得：$C_{△ ABD}=AB+BD+CD=AB+BC$，
代入AB=5，BC=6，得$C_{△ ABD}=5+6=11$。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角性质；等腰三角形的判定；三角形周长计算
【点评】
本题的核心是通过角的关系推导得到相等的线段，再通过线段替换将未知周长转化为已知线段的和，解题思路灵活，属于几何基础类题型，掌握外角性质和等腰三角形判定即可快速求解。
【难度系数】
0.7
