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8. 如图，已知AB=AC，DB=DC，P是AD上一点，求证：∠ABP=∠ACP. 
第8题图
第8题图答案
证明：连接BC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB. 又
∵DB=DC，两点确定一条直线，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∴∠ABC-∠PBC=∠ACB-∠PCB，
∴∠ABP=∠ACP.
解析
【分析】
要证明∠ABP=∠ACP，首先观察已知条件：AB=AC、DB=DC，我们可以先连接辅助线BC，利用等腰三角形等边对等角的性质先得到∠ABC=∠ACB；再根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可知点A、D都在BC的垂直平分线上，结合两点确定一条直线，可得AD是BC的垂直平分线；由于P在AD上，根据线段垂直平分线的性质可得PB=PC，再次利用等边对等角得到∠PBC=∠PCB，最后通过角的和差关系，用∠ABC减去∠PBC、∠ACB减去∠PCB，即可推导出待证的两个角相等。
【解析】
证明：连接BC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB。
又
∵DB=DC，
∴点A、D均在线段BC的垂直平分线上，结合两点确定一条直线，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∵点P在AD上，
∴PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∴∠ABC - ∠PBC = ∠ACB - ∠PCB，
即∠ABP=∠ACP。
【答案】
证明：连接BC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB. 又
∵DB=DC，两点确定一条直线，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∴∠ABC-∠PBC=∠ACB-∠PCB，
∴∠ABP=∠ACP.
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的判定与性质；角的和差运算
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的核心是合理构造辅助线BC，将已知的边相等的条件转化为角相等和垂直平分线的相关结论，再通过角的和差关系推导待证结论，需要熟练掌握等腰三角形和线段垂直平分线的性质，熟悉这类常见辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.8
要证明∠ABP=∠ACP，首先观察已知条件：AB=AC、DB=DC，我们可以先连接辅助线BC，利用等腰三角形等边对等角的性质先得到∠ABC=∠ACB；再根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可知点A、D都在BC的垂直平分线上，结合两点确定一条直线，可得AD是BC的垂直平分线；由于P在AD上，根据线段垂直平分线的性质可得PB=PC，再次利用等边对等角得到∠PBC=∠PCB，最后通过角的和差关系，用∠ABC减去∠PBC、∠ACB减去∠PCB，即可推导出待证的两个角相等。
【解析】
证明：连接BC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB。
又
∵DB=DC，
∴点A、D均在线段BC的垂直平分线上，结合两点确定一条直线，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∵点P在AD上，
∴PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∴∠ABC - ∠PBC = ∠ACB - ∠PCB，
即∠ABP=∠ACP。
【答案】
证明：连接BC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB. 又
∵DB=DC，两点确定一条直线，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∴∠ABC-∠PBC=∠ACB-∠PCB，
∴∠ABP=∠ACP.
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的判定与性质；角的和差运算
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的核心是合理构造辅助线BC，将已知的边相等的条件转化为角相等和垂直平分线的相关结论，再通过角的和差关系推导待证结论，需要熟练掌握等腰三角形和线段垂直平分线的性质，熟悉这类常见辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.8
9. 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=130°$，$AB$的垂直平分线分别交$AB$，$BC$于点$E$，$F$，$AC$的垂直平分线分别交$AC$，$BC$于点$M$，$N$，直线$EF$，$MN$交于点$P$.
(1) 求$∠ FAN$的度数.
(2) 求证：点$P$在线段$BC$的垂直平分线上.
(1) 求$∠ FAN$的度数.
(2) 求证：点$P$在线段$BC$的垂直平分线上.
答案
(1) 解：
∵∠BAC=130°，
∴∠B+∠C=180°-130°=50°，
∵EF是AB的垂直平分线，MN是AC的垂直平分线，
∴FA = FB，NA = NC，
∴∠FAB=∠B，∠NAC=∠C，
∴∠FAB+∠NAC=∠B+∠C=50°，
∴∠FAN=130°-50°=80°.
(2) 证明：如图，连接PA，PB，PC，
∵EP是AB的垂直平分线，MP是AC的垂直平分线，
∴PB=PA，PC=PA，
∴PB=PC，
∴点P在线段BC的垂直平分线上.
解析
【分析】
(1) 求解∠FAN的度数时，先利用三角形内角和定理算出∠B与∠C的和，再结合线段垂直平分线的性质得到FA=FB、NA=NC，由等边对等角可知∠FAB=∠B，∠NAC=∠C，从而得到∠FAB与∠NAC的和，最后用∠BAC减去这两个角的和就能得到∠FAN的度数。
(2) 要证明点P在BC的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的判定，只需证明点P到B、C两点的距离相等即可；连接PA、PB、PC，利用线段垂直平分线的性质可得PB=PA、PC=PA，等量代换得PB=PC，即可证明结论。
【解析】
(1) 解：
∵∠BAC=130°，
∴∠B+∠C=180°-130°=50°，
∵EF是AB的垂直平分线，MN是AC的垂直平分线，
∴FA = FB，NA = NC，
∴∠FAB=∠B，∠NAC=∠C，
∴∠FAB+∠NAC=∠B+∠C=50°，
∴∠FAN=130°-50°=80°.
(2) 证明：如图，连接PA，PB，PC，
∵EP是AB的垂直平分线，MP是AC的垂直平分线，
∴PB=PA，PC=PA，
∴PB=PC，
∴点P在线段BC的垂直平分线上.
【答案】
(1) $\boldsymbol{80°}$
(2) 点P在线段BC的垂直平分线上，证明如上。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是线段垂直平分线相关性质和判定的基础应用题，解题的核心是熟练掌握垂直平分线的性质与判定定理，结合等腰三角形的性质实现角度和线段的等量转化，侧重对基础知识点的理解与运用考查。
【难度系数】
0.8
(1) 求解∠FAN的度数时，先利用三角形内角和定理算出∠B与∠C的和，再结合线段垂直平分线的性质得到FA=FB、NA=NC，由等边对等角可知∠FAB=∠B，∠NAC=∠C，从而得到∠FAB与∠NAC的和，最后用∠BAC减去这两个角的和就能得到∠FAN的度数。
(2) 要证明点P在BC的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的判定，只需证明点P到B、C两点的距离相等即可；连接PA、PB、PC，利用线段垂直平分线的性质可得PB=PA、PC=PA，等量代换得PB=PC，即可证明结论。
【解析】
(1) 解：
∵∠BAC=130°，
∴∠B+∠C=180°-130°=50°，
∵EF是AB的垂直平分线，MN是AC的垂直平分线，
∴FA = FB，NA = NC，
∴∠FAB=∠B，∠NAC=∠C，
∴∠FAB+∠NAC=∠B+∠C=50°，
∴∠FAN=130°-50°=80°.
(2) 证明：如图，连接PA，PB，PC，
∵EP是AB的垂直平分线，MP是AC的垂直平分线，
∴PB=PA，PC=PA，
∴PB=PC，
∴点P在线段BC的垂直平分线上.
【答案】
(1) $\boldsymbol{80°}$
(2) 点P在线段BC的垂直平分线上，证明如上。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是线段垂直平分线相关性质和判定的基础应用题，解题的核心是熟练掌握垂直平分线的性质与判定定理，结合等腰三角形的性质实现角度和线段的等量转化，侧重对基础知识点的理解与运用考查。
【难度系数】
0.8
10. (2025·连云港) 如图，在$△ ABC$中，$BC=7$，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，则$△ AEG$的周长为（
A.5
B.6
C.7
D.8
C
）A.5
B.6
C.7
D.8
答案
10. C
解析
【分析】
遇到含线段垂直平分线的题目，首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。要求△AEG的周长，其周长公式为$AE+EG+AG$，我们可以利用垂直平分线的性质，将AE、AG转化为BC边上的线段：DE是AB的垂直平分线，可得$AE=BE$；FG是AC的垂直平分线，可得$AG=CG$，代入周长公式即可将周长转化为BC的长度，直接代入已知数值即可求解。
【解析】
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上
∴$AE=BE$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∵FG是AC的垂直平分线，点G在FG上
∴$AG=CG$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
△AEG的周长为$AE+EG+AG$，将$AE=BE$、$AG=CG$代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{周长}&=BE+EG+CG\\&=BC\end{aligned}$
已知$BC=7$，因此△AEG的周长为7。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是基础类题型，核心考查线段垂直平分线性质的应用，解题关键是通过性质将待求三角形的周长转化为已知边长，无需复杂计算，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
遇到含线段垂直平分线的题目，首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。要求△AEG的周长，其周长公式为$AE+EG+AG$，我们可以利用垂直平分线的性质，将AE、AG转化为BC边上的线段：DE是AB的垂直平分线，可得$AE=BE$；FG是AC的垂直平分线，可得$AG=CG$，代入周长公式即可将周长转化为BC的长度，直接代入已知数值即可求解。
【解析】
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上
∴$AE=BE$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∵FG是AC的垂直平分线，点G在FG上
∴$AG=CG$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
△AEG的周长为$AE+EG+AG$，将$AE=BE$、$AG=CG$代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{周长}&=BE+EG+CG\\&=BC\end{aligned}$
已知$BC=7$，因此△AEG的周长为7。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是基础类题型，核心考查线段垂直平分线性质的应用，解题关键是通过性质将待求三角形的周长转化为已知边长，无需复杂计算，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
