【例 3】(湖北十堰中考)已知关于$x$的方程$x^2 + (2k - 1)x + k^2 - 1 = 0$有两个实数根$x_1,x_2$.
(1) 求实数$k$的取值范围；
(2) 若$x_1,x_2$满足$x_1^2 + x_2^2 = 16 + x_1x_2$，求实数$k$的值.
解：

1. （1）求实数$k$的取值范围：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$x^{2}+(2k - 1)x + k^{2}-1 = 0$中，$a = 1$，$b=(2k - 1)$，$c = k^{2}-1$。
因为方程有两个实数根，所以$\Delta=(2k - 1)^{2}-4(k^{2}-1)\geq0$。
展开$(2k - 1)^{2}-4(k^{2}-1)$：
根据完全平方公式$(m - n)^{2}=m^{2}-2mn + n^{2}$，$(2k - 1)^{2}=4k^{2}-4k + 1$。
则$(2k - 1)^{2}-4(k^{2}-1)=4k^{2}-4k + 1-4k^{2}+4$。
化简得$-4k + 5\geq0$。
移项得$4k\leq5$，解得$k\leq\frac{5}{4}$。
2. （2）求实数$k$的值：
根据韦达定理，对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，若方程的两根为$x_{1}$和$x_{2}$，则$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
在方程$x^{2}+(2k - 1)x + k^{2}-1 = 0$中，$x_{1}+x_{2}=-(2k - 1)=1 - 2k$，$x_{1}x_{2}=k^{2}-1$。
因为$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=16 + x_{1}x_{2}$，根据完全平方公式$(x_{1}+x_{2})^{2}=x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}$，则$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$。
所以$(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=16 + x_{1}x_{2}$，即$(x_{1}+x_{2})^{2}=16 + 3x_{1}x_{2}$。
把$x_{1}+x_{2}=1 - 2k$，$x_{1}x_{2}=k^{2}-1$代入$(x_{1}+x_{2})^{2}=16 + 3x_{1}x_{2}$得：
$(1 - 2k)^{2}=16+3(k^{2}-1)$。
展开$(1 - 2k)^{2}$得$1-4k + 4k^{2}$，则$1-4k + 4k^{2}=16+3k^{2}-3$。
移项得$4k^{2}-3k^{2}-4k+1 - 16 + 3 = 0$。
合并同类项得$k^{2}-4k - 12 = 0$。
因式分解得$(k - 6)(k + 2)=0$。
所以$k - 6 = 0$或$k + 2 = 0$，解得$k = 6$或$k=-2$。
又因为$k\leq\frac{5}{4}$，所以$k=-2$。
综上，（1）$k$的取值范围是$k\leq\frac{5}{4}$；（2）$k$的值为$-2$。

5. 已知关于$x$的方程$x^2 - 6x + k = 0$的两根分别是$x_1,x_2$，且满足$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 3$，则$k$的值是.

5.2

解：由韦达定理得$x_1 + x_2 = 6$，$x_1x_2 = k$。
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{6}{k} = 3$，解得$k = 2$。
2

6. 已知关于$x$的一元二次方程$2x^2 - mx - 2m + 1 = 0$的两根的平方和是$\frac{29}{4}$，求$m$的值.

6.解:m的值为3.

解：设方程的两根为$x_1$，$x_2$。
由韦达定理得：
$x_1 + x_2 = \frac{m}{2}$，$x_1x_2 = \frac{-2m + 1}{2}$。
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (\frac{m}{2})^2 - 2×\frac{-2m + 1}{2} = \frac{m^2}{4} + 2m - 1$。
已知$x_1^2 + x_2^2 = \frac{29}{4}$，则：
$\frac{m^2}{4} + 2m - 1 = \frac{29}{4}$
$m^2 + 8m - 4 = 29$
$m^2 + 8m - 33 = 0$
$(m + 11)(m - 3) = 0$
解得$m_1 = -11$，$m_2 = 3$。
判别式$\Delta = m^2 - 4×2×(-2m + 1) = m^2 + 16m - 8$。
当$m = -11$时，$\Delta = (-11)^2 + 16×(-11) - 8 = 121 - 176 - 8 = -63 ＜ 0$，舍去。
当$m = 3$时，$\Delta = 3^2 + 16×3 - 8 = 9 + 48 - 8 = 49 ＞ 0$，符合题意。
故$m$的值为$3$。

1. (湖北黄冈中考)若方程$3x^2 - 4x - 4 = 0$的两个实数根分别为$x_1,x_2$，则$x_1 + x_2 = $()

A.-4
B.3
C.$-\frac{4}{3}$
D.$\frac{4}{3}$

1.D

对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$），两根之和为$-\frac{b}{a}$。
在方程$3x^2 - 4x - 4 = 0$中，$a = 3$，$b=-4$，所以$x_1 + x_2=-\frac{-4}{3}=\frac{4}{3}$。
D

2. (山东枣庄中考)已知关于$x$的方程$x^2 + 3x + a = 0$有一个根为 -2，则另一个根为()

A.5
B.-1
C.2
D.-5

2.B

设方程的另一个根为$x_1$。
对于一元二次方程$x^2 + 3x + a = 0$，根据韦达定理，两根之和为$-\frac{3}{1}=-3$。
已知一个根为$-2$，则$-2 + x_1=-3$，解得$x_1=-1$。
B

3. (山东威海中考)已知$x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^2 + ax - 2b = 0$的两个实数根，且$x_1 + x_2 = -2,x_1 \cdot x_2 = 1$，则$b^a$的值是()

A.$\frac{1}{4}$
B.$-\frac{1}{4}$
C.4
D.-1

3.A

由根与系数的关系得：
$x_1 + x_2 = -a = -2$，解得$a = 2$；
$x_1 \cdot x_2 = -2b = 1$，解得$b = -\frac{1}{2}$。
则$b^a = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$。
A

4. (四川眉山中考)已知一元二次方程$x^2 - 3x - 2 = 0$的两个实数根为$x_1,x_2$，则$(x_1 - 1)(x_2 - 1)$的值是.

4.-4

解：对于一元二次方程$x^2 - 3x - 2 = 0$，根据韦达定理，得$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = -2$。
$(x_1 - 1)(x_2 - 1) = x_1x_2 - x_1 - x_2 + 1 = x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1$
将$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = -2$代入上式，得：
$-2 - 3 + 1 = -4$
故答案为$-4$。

5. 写出二次项系数为 1，且两个实数根分别为 1 和 -2 的一元二次方程的一般形式.

5.$x^{2}+x-2=0$

6. (湖北黄石中考)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 4x - m^2 = 0$.
(1) 求证：该方程有两个不等的实数根；
(2) 若该方程的两个实数根$x_1,x_2$满足$x_1 + 2x_2 = 9$，求$m$的值.

6.
(1)证明:$\Delta=(-4)^{2}-4×1×(-m^{2})=16+4m^{2}$. 因为$m^{2}\geq0$,所以$16+4m^{2}＞0$, 所以该方程有两个不相等的实数根.
(2)解:$m=\pm\sqrt{5}$.