1. (四川凉山州中考)一元二次方程$3x^2 - 1 = 2x + 5$的两个实数根的和与积分别是()

A.$\frac{3}{2},-2$
B.$\frac{2}{3},-2$
C.$-\frac{2}{3},2$
D.$-\frac{3}{2},2$

1.B

解：将方程化为一般形式：$3x^2 - 2x - 6 = 0$
设方程的两个实数根为$x_1$，$x_2$
则$x_1 + x_2 = \frac{2}{3}$，$x_1x_2 = -2$
答案：B

2. (湖北荆门中考)已知方程$x^2 + 5x + 1 = 0$的两个实数根分别为$x_1,x_2$，则$x_1^2 + x_2^2 = $.

2.23

解：对于方程$x^2 + 5x + 1 = 0$，由根与系数的关系得$x_1 + x_2 = -5$，$x_1x_2 = 1$。
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (-5)^2 - 2×1 = 25 - 2 = 23$。
23

【例 2】关于$x$的方程$3x^2 + mx - 8 = 0$有一个根是$\frac{2}{3}$，求另一个根及$m$的值.
解：
(一题多解) 请尝试用其他方法求解.

解:方程的另一个根是-4,m=10. [一题多解] 解:把$x=\frac{2}{3}$代入原方程,得$3×(\frac{2}{3})^{2}+\frac{2}{3}m-8=0$,解得m=10.所以原方程为$3x^{2}+10x-8=0$,解得$x_{1}=\frac{2}{3}$,$x_{2}=-4$.所以方程的另一个根是-4.

解：设方程的另一个根为$x_1$。
由韦达定理得：$\frac{2}{3} \cdot x_1 = -\frac{8}{3}$，解得$x_1 = -4$。
又因为$\frac{2}{3} + x_1 = -\frac{m}{3}$，将$x_1 = -4$代入得：$\frac{2}{3} + (-4) = -\frac{m}{3}$，解得$m = 10$。
所以方程的另一个根是$-4$，$m$的值是$10$。
[一题多解] 解：把$x = \frac{2}{3}$代入原方程，得$3×(\frac{2}{3})^{2} + \frac{2}{3}m - 8 = 0$，解得$m = 10$。
所以原方程为$3x^2 + 10x - 8 = 0$，因式分解得$(3x - 2)(x + 4) = 0$，解得$x_1 = \frac{2}{3}$，$x_2 = -4$。
所以方程的另一个根是$-4$。

3. 已知一元二次方程$x^2 - 6x + c = 0$有一个根为 2，则另一个根为()

A.2
B.3
C.4
D.8

3.C

设方程的另一个根为$x_1$，
对于一元二次方程$x^2 - 6x + c = 0$，
由根与系数的关系得：$2 + x_1 = 6$，
解得$x_1 = 4$。
C

4. (江苏南京中考)已知关于$x$的方程$x^2 + px + q = 0$的两根为 -3 和 -1，则$p = $，$q = $.

4.4 3

根据韦达定理，对于方程$x^2 + px + q = 0$，两根$x_1$，$x_2$有：
$x_1 + x_2 = -p$，$x_1x_2 = q$。
已知两根为$-3$和$-1$，则：
$-p = -3 + (-1) = -4$，解得$p = 4$；
$q = (-3)×(-1) = 3$。
4 3