1. 已知方程$x^2 + 3x + 4 = 0$，下列说法正确的是()

A.方程两根之和为 -3
B.方程两根之和为 3
C.方程两根之积为 4
D.以上说法都不对

1.D

对于方程$x^2 + 3x + 4 = 0$，计算判别式$\Delta = 3^2 - 4×1×4 = 9 - 16 = -7$。因为$\Delta = -7 ＜ 0$，所以方程无实数根，A、B、C选项中关于两根之和与两根之积的说法均不成立。
D

2. (四川绵阳中考)若关于$x$的方程$2x^2 + mx + n = 0$的两个根是 -2 和 1，则$n^m$的值为()

A.-8
B.8
C.16
D.-16

2.C

由根与系数的关系得：
$-2 + 1 = -\dfrac{m}{2}$，解得$m = 2$；
$-2 × 1 = \dfrac{n}{2}$，解得$n = -4$。
$n^m = (-4)^2 = 16$。
答案：C

3. 设$x_1,x_2$是方程$x^2 - 4x + m = 0$的两个根，且$x_1 + x_2 - x_1x_2 = 1$，则$x_1 + x_2 = $，$m = $.

3.4 3

解：对于方程$x^2 - 4x + m = 0$，由根与系数的关系得$x_1 + x_2 = 4$，$x_1x_2 = m$。
因为$x_1 + x_2 - x_1x_2 = 1$，所以$4 - m = 1$，解得$m = 3$。
$x_1 + x_2 = 4$，$m = 3$。

4. 关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x - 2m + 1 = 0$的两个实数根之积为负数，则实数$m$的取值范围是.

4.$m＞\frac{1}{2}$

解：设方程的两个实数根为$x_1$，$x_2$。
由根与系数的关系得：$x_1x_2 = -2m + 1$。
因为两个实数根之积为负数，所以$x_1x_2 ＜ 0$，即$-2m + 1 ＜ 0$，解得$m ＞ \frac{1}{2}$。
又因为方程有两个实数根，所以判别式$\Delta \geq 0$。
$\Delta = 2^2 - 4×1×(-2m + 1) = 4 + 8m - 4 = 8m$。
$8m \geq 0$，解得$m \geq 0$。
综上，$m$的取值范围是$m ＞ \frac{1}{2}$。
$m＞\frac{1}{2}$

5. (江苏盐城中考)若方程$x^2 - 4x + 1 = 0$的两个根是$x_1,x_2$，则$x_1(1 + x_2) + x_2$的值为.

5.5

由韦达定理得，$x_1 + x_2 = 4$，$x_1x_2 = 1$。
$x_1(1 + x_2) + x_2 = x_1 + x_1x_2 + x_2 = (x_1 + x_2) + x_1x_2$
将$x_1 + x_2 = 4$，$x_1x_2 = 1$代入上式，得$4 + 1 = 5$。
5

6. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + x + m^2 - 2m = 0$有一个实根为 -1，求$m$的值及方程的另一个实根.

6.解:m的值是0或2,方程的另一实根为0.

解：将$x = -1$代入方程$x^2 + x + m^2 - 2m = 0$，得$(-1)^2 + (-1) + m^2 - 2m = 0$，即$1 - 1 + m^2 - 2m = 0$，化简得$m^2 - 2m = 0$，解得$m(m - 2) = 0$，所以$m = 0$或$m = 2$。
设方程的另一个根为$x_1$，由根与系数的关系得$-1 + x_1 = -1$，解得$x_1 = 0$。
综上，$m$的值是$0$或$2$，方程的另一个实根为$0$。

7. 下列一元二次方程的两根均为负数的是()

A.$7x^2 - 12x + 5 = 0$
B.$6x^2 - 13x - 5 = 0$
C.$4x^2 + 21x + 5 = 0$
D.$x^2 + 15x - 8 = 0$

7.C

对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$，设两根为$x_1$，$x_2$，则$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。两根均为负数需满足：$\begin{cases}x_1 + x_2 ＜ 0 \\ x_1x_2 ＞ 0\end{cases}$。
A选项：$7x^2 - 12x + 5 = 0$，$x_1 + x_2 = \frac{12}{7} ＞ 0$，不符合。
B选项：$6x^2 - 13x - 5 = 0$，$x_1x_2 = -\frac{5}{6} ＜ 0$，不符合。
C选项：$4x^2 + 21x + 5 = 0$，$x_1 + x_2 = -\frac{21}{4} ＜ 0$，$x_1x_2 = \frac{5}{4} ＞ 0$，符合。
D选项：$x^2 + 15x - 8 = 0$，$x_1x_2 = -8 ＜ 0$，不符合。
C

8. (湖北潜江中考)若$\alpha,\beta$为方程$2x^2 - 5x - 1 = 0$的两个实数根，则$2\alpha^2 + 3\alpha\beta + 5\beta$的值为()

A.-13
B.12
C.14
D.15

8.B

因为$\alpha$是方程$2x^2 - 5x - 1 = 0$的根，所以$2\alpha^2 - 5\alpha - 1 = 0$，即$2\alpha^2 = 5\alpha + 1$。
由韦达定理，得$\alpha + \beta = \frac{5}{2}$，$\alpha\beta = -\frac{1}{2}$。
$2\alpha^2 + 3\alpha\beta + 5\beta = 5\alpha + 1 + 3\alpha\beta + 5\beta = 5(\alpha + \beta) + 3\alpha\beta + 1$
将$\alpha + \beta = \frac{5}{2}$，$\alpha\beta = -\frac{1}{2}$代入上式：
$5×\frac{5}{2} + 3×(-\frac{1}{2}) + 1 = \frac{25}{2} - \frac{3}{2} + 1 = 11 + 1 = 12$
答案：B

9. 已知$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 5x + a = 0$的两个实数根，且$x_1^2 - x_2^2 = 10$，则$a = $.

9.$\frac{21}{4}$

解：因为$x_1,x_2$是方程$x^2 - 5x + a = 0$的两个实数根，所以由韦达定理得$x_1 + x_2 = 5$，$x_1x_2 = a$。
$x_1^2 - x_2^2 = (x_1 + x_2)(x_1 - x_2) = 10$，已知$x_1 + x_2 = 5$，则$5(x_1 - x_2) = 10$，所以$x_1 - x_2 = 2$。
$(x_1 - x_2)^2 = x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$，即$2^2 = 5^2 - 4a$，$4 = 25 - 4a$，$4a = 21$，解得$a = \frac{21}{4}$。
$\frac{21}{4}$

10. 关于$x$的一元二次方程$x^2 + (2k + 1)x + k^2 + 1 = 0$有两个不等实根$x_1,x_2$.
(1) 求实数$k$的取值范围；
(2) 若方程的两实根$x_1,x_2$满足$|x_1| + |x_2| = x_1x_2$，求$k$的值.

$(1)$ 求实数$k$的取值范围
解：对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。
在方程$x^2 + (2k + 1)x + k^2 + 1 = 0$中，$a = 1$，$b = 2k + 1$，$c = k^2 + 1$。
因为方程有两个不等实根，所以$\Delta＞0$，即$(2k + 1)^2 - 4(k^2 + 1)＞0$。
展开式子得：
$\begin{aligned}4k^2 + 4k + 1 - 4k^2 - 4&＞0\\4k - 3&＞0\\4k&＞3\\k&＞\frac{3}{4}\end{aligned}$
$(2)$ 求$k$的值
解：由韦达定理可知，在一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a\neq0)$中，$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
所以在方程$x^2 + (2k + 1)x + k^2 + 1 = 0$中，$x_1 + x_2 = -(2k + 1)$，$x_1x_2 = k^2 + 1$。
因为$k＞\frac{3}{4}$，所以$x_1 + x_2 = -(2k + 1)＜0$，$x_1x_2 = k^2 + 1＞0$，则$x_1＜0$，$x_2＜0$。
那么$\vert x_1\vert + \vert x_2\vert = -x_1 - x_2 = -(x_1 + x_2)$。
已知$\vert x_1\vert + \vert x_2\vert = x_1x_2$，所以$-(x_1 + x_2) = x_1x_2$，即$2k + 1 = k^2 + 1$。
移项化为一元二次方程的标准形式：$k^2 - 2k = 0$，因式分解得$k(k - 2)=0$。
解得$k = 0$或$k = 2$。
又因为$k＞\frac{3}{4}$，所以$k = 2$。
综上，答案为$(1)k＞\frac{3}{4}$；$(2)k = 2$。

11. 已知关于$x$的一元二次方程$8x^2 - (m - 1)x + m - 7 = 0$，求：
(1) 当$m$为何实数时，方程的两个根互为相反数？
(2) 当$m$为何实数时，方程的一个根为 0？
(3) 是否存在实数$m$，使方程的两个根互为倒数？

$(1)$ 当$m$为何实数时，方程的两个根互为相反数？
解：对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其两根$x_1$，$x_2$有$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
在方程$8x^{2}-(m - 1)x + m - 7 = 0$中，$a = 8$，$b=-(m - 1)$，$c = m - 7$。
若两根互为相反数，则$x_{1}+x_{2}=0$，即$-\frac{-(m - 1)}{8}=0$，
解得$m = 1$。
当$m = 1$时，原方程为$8x^{2}-6 = 0$，$\Delta=b^{2}-4ac=[-(1 - 1)]^{2}-4×8×(-6)=192\gt0$，方程有两个不同的实数根。
所以当$m = 1$时，方程的两个根互为相反数。
$(2)$ 当$m$为何实数时，方程的一个根为$0$？
解：把$x = 0$代入方程$8x^{2}-(m - 1)x + m - 7 = 0$，得$m - 7 = 0$，
解得$m = 7$。
当$m = 7$时，原方程为$8x^{2}-6x = 0$，$\Delta=b^{2}-4ac=[-(7 - 1)]^{2}-4×8×0 = 36\gt0$，方程有两个实数根。
所以当$m = 7$时，方程的一个根为$0$。
$(3)$ 是否存在实数$m$，使方程的两个根互为倒数？
解：若两根互为倒数，则$x_{1}x_{2}=1$，由韦达定理$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{m - 7}{8}=1$，
解得$m = 15$。
当$m = 15$时，原方程为$8x^{2}-14x + 8 = 0$，即$4x^{2}-7x + 4 = 0$。
此时$\Delta=b^{2}-4ac=(-7)^{2}-4×4×4=49 - 64=-15\lt0$，方程无实数根。
所以不存在实数$m$，使方程的两个根互为倒数。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{m = 1}$；$(2)$$\boldsymbol{m = 7}$；$(3)$不存在。