登录
A 级
1. 如图，已知直线$MN$与以$AB$为直径的半圆相切于点$C$，在$MN$上是否存在点$D$，使$AB · CD = AC · BC$？下列说法中正确的是(
A.这样的点不存在
B.这样的点存在$1$个
C.这样的点存在$2$个
D.这样的点存在无数个
1. 如图，已知直线$MN$与以$AB$为直径的半圆相切于点$C$，在$MN$上是否存在点$D$，使$AB · CD = AC · BC$？下列说法中正确的是(
C
).A.这样的点不存在
B.这样的点存在$1$个
C.这样的点存在$2$个
D.这样的点存在无数个
答案
1.C
解析
证明：设半圆的圆心为$O$，连接$OC$。
因为$MN$是半圆的切线，所以$OC\perp MN$，即$\angle OCD=90°$。
已知$AB$是直径，故$\angle ACB=90°$。
由$AB· CD = AC· BC$，得$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BC}$。
在$Rt\triangle ACB$中，$\sin\angle ABC=\frac{AC}{AB}$；在$Rt\triangle OCD$（或相关直角三角形）中，$\sin\angle ABC=\frac{CD}{BC}$。
以$C$为顶点，在$MN$上作$\angle BCD=\angle BAC$和$\angle BCD'=\angle ABC$（两种方向），可构造两个满足条件的$Rt\triangle BCD$和$Rt\triangle ACD'$。
因此，这样的点$D$存在$2$个。
C
因为$MN$是半圆的切线，所以$OC\perp MN$，即$\angle OCD=90°$。
已知$AB$是直径，故$\angle ACB=90°$。
由$AB· CD = AC· BC$，得$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BC}$。
在$Rt\triangle ACB$中，$\sin\angle ABC=\frac{AC}{AB}$；在$Rt\triangle OCD$（或相关直角三角形）中，$\sin\angle ABC=\frac{CD}{BC}$。
以$C$为顶点，在$MN$上作$\angle BCD=\angle BAC$和$\angle BCD'=\angle ABC$（两种方向），可构造两个满足条件的$Rt\triangle BCD$和$Rt\triangle ACD'$。
因此，这样的点$D$存在$2$个。
C
2. 如图，四边形$ABCD$内接于$\odot O$，$AB = AC$，$AD$，$BC$的延长线交于点$E$.
求证$\triangle AEC \backsim \triangle ACD$.
求证$\triangle AEC \backsim \triangle ACD$.
答案
2.如图，
∵∠2是⊙O内接四边形ABCD的外角，
∴∠2+∠ADC=∠B+∠ADC=180°.
∴∠2=
∠B.又
∵AB=AC,
∴∠3=∠B=∠2.又
∵∠3+
∠ACE=∠2+∠ADC=180°,
∴∠ACE=
∠ADC.又
∵∠1=∠1,
∴△AEC∽△ACD.
3. 如图，在$ Rt \triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle ABC$的平分线$BD$交$AC$于点$D$，$DE \perp DB$交$AB$于点$E$，$\triangle BDE$的外接圆$\odot O$交$BC$于点$F$.若$\odot O$的半径为$5\ cm$，$BC = 8\ cm$，求$AC$的长.
答案
3.$\frac{32}{3}$cm.
解析
证明：连接$OD$，$EF$。
∵$DE \perp DB$，
∴$\angle EDB = 90°$，
∴$BE$是$\odot O$的直径，$BE = 2 × 5 = 10\ cm$，$O$为$BE$中点。
∵$BD$平分$\angle ABC$，
∴$\angle ABD = \angle DBC$。
∵$OB = OD$，
∴$\angle OBD = \angle ODB$，
∴$\angle ODB = \angle DBC$，
∴$OD // BC$。
∵$\angle ACB = 90°$，
∴$\angle ADO = 90°$，即$OD \perp AC$。
设$AD = x$，$DC = y$，则$AC = x + y$。
∵$OD // BC$，$O$为$BE$中点，
∴$OD$为$\triangle ABE$的中位线，$OD = \frac{1}{2}BC = 4\ cm$（此处错误，应为$AE = 2AD$，$OD = \frac{1}{2}BC$不成立，正确过程如下：）
设$AD = x$，$DC = y$，则$AC = x + y$。
∵$OD // BC$，
∴$\triangle AOD \sim \triangle ABC$，
∴$\frac{OD}{BC} = \frac{AD}{AC}$，即$\frac{5}{8} = \frac{x}{x + y}$，得$5(x + y) = 8x$，$5y = 3x$，$y = \frac{3}{5}x$。
在$Rt\triangle BCD$中，$BD^2 = BC^2 + DC^2 = 8^2 + y^2 = 64 + y^2$。
∵$\angle EDB = \angle ACB = 90°$，$\angle EBD = \angle DBC$，
∴$\triangle EBD \sim \triangle DBC$，
∴$\frac{BE}{BD} = \frac{BD}{BC}$，$BD^2 = BE × BC = 10 × 8 = 80$。
∴$64 + y^2 = 80$，$y^2 = 16$，$y = 4$（$y ＞ 0$）。
∵$y = \frac{3}{5}x$，
∴$4 = \frac{3}{5}x$，$x = \frac{20}{3}$。
∴$AC = x + y = \frac{20}{3} + 4 = \frac{32}{3}\ cm$。
解：$AC$的长为$\frac{32}{3}\ cm$。
∵$DE \perp DB$，
∴$\angle EDB = 90°$，
∴$BE$是$\odot O$的直径，$BE = 2 × 5 = 10\ cm$，$O$为$BE$中点。
∵$BD$平分$\angle ABC$，
∴$\angle ABD = \angle DBC$。
∵$OB = OD$，
∴$\angle OBD = \angle ODB$，
∴$\angle ODB = \angle DBC$，
∴$OD // BC$。
∵$\angle ACB = 90°$，
∴$\angle ADO = 90°$，即$OD \perp AC$。
设$AD = x$，$DC = y$，则$AC = x + y$。
∵$OD // BC$，$O$为$BE$中点，
∴$OD$为$\triangle ABE$的中位线，$OD = \frac{1}{2}BC = 4\ cm$（此处错误，应为$AE = 2AD$，$OD = \frac{1}{2}BC$不成立，正确过程如下：）
设$AD = x$，$DC = y$，则$AC = x + y$。
∵$OD // BC$，
∴$\triangle AOD \sim \triangle ABC$，
∴$\frac{OD}{BC} = \frac{AD}{AC}$，即$\frac{5}{8} = \frac{x}{x + y}$，得$5(x + y) = 8x$，$5y = 3x$，$y = \frac{3}{5}x$。
在$Rt\triangle BCD$中，$BD^2 = BC^2 + DC^2 = 8^2 + y^2 = 64 + y^2$。
∵$\angle EDB = \angle ACB = 90°$，$\angle EBD = \angle DBC$，
∴$\triangle EBD \sim \triangle DBC$，
∴$\frac{BE}{BD} = \frac{BD}{BC}$，$BD^2 = BE × BC = 10 × 8 = 80$。
∴$64 + y^2 = 80$，$y^2 = 16$，$y = 4$（$y ＞ 0$）。
∵$y = \frac{3}{5}x$，
∴$4 = \frac{3}{5}x$，$x = \frac{20}{3}$。
∴$AC = x + y = \frac{20}{3} + 4 = \frac{32}{3}\ cm$。
解：$AC$的长为$\frac{32}{3}\ cm$。
