登录
1.(武汉中考)如图，$AB$是$\odot O$的直径，$AC$是弦，$\angle BAC$的平分线$AD$交$\odot O$于点$D$，$DE \perp AC$，交$AC$的延长线于点$E$，$OE$交$AD$于点$F$.
(1)求证$DE$是$\odot O$的切线.
(2)若$\frac{AC}{AB} = \frac{3}{5}$，求$\frac{AF}{DF}$的值.
解析：(1)连接$OD$，只要得出$OD \perp DE$即可.(2)属于圆外直角的问题，可以通过切点作半径构造矩形.连接$OD$，$BC$，相交于点$G$，如图，再根据已知条件，可求得$\frac{AF}{DF} = \frac{AE}{OD} = \frac{8}{5}$.
(1)求证$DE$是$\odot O$的切线.
(2)若$\frac{AC}{AB} = \frac{3}{5}$，求$\frac{AF}{DF}$的值.
解析：(1)连接$OD$，只要得出$OD \perp DE$即可.(2)属于圆外直角的问题，可以通过切点作半径构造矩形.连接$OD$，$BC$，相交于点$G$，如图，再根据已知条件，可求得$\frac{AF}{DF} = \frac{AE}{OD} = \frac{8}{5}$.
答案
(1) 证明见上；(2) 8/5。
解析
(1) 连接 OD。
∵ OA = OD，∴ ∠OAD = ∠ODA。
∵ AD 平分∠BAC，∴ ∠CAD = ∠OAD，∴ ∠CAD = ∠ODA，∴ OD // AE。
∵ DE ⊥ AC，∴ ∠AED = 90°，∵ OD // AE，∴ ∠ODE = ∠AED = 90°，即 OD ⊥ DE。
∵ OD 是⊙O 半径，∴ DE 是⊙O 的切线。
(2) 设 AC = 3k，AB = 5k（k ＞ 0）。
∵ AB 是直径，∴ ∠ACB = 90°，∴ BC = √(AB² - AC²) = 4k。
连接 OD，过 O 作 OH ⊥ AC 于 H，∴ AH = CH = 3k/2，OH = BC/2 = 2k（中位线）。
∵ OD // AE，DE ⊥ AC，OD ⊥ DE，∴ 四边形 OHED 是矩形，∴ HE = OD = 5k/2。
∴ AE = AH + HE = 3k/2 + 5k/2 = 4k。
∵ OD // AE，∴ △AFE ∽ △DFO，∴ AF/DF = AE/OD = 4k/(5k/2) = 8/5。
∵ OA = OD，∴ ∠OAD = ∠ODA。
∵ AD 平分∠BAC，∴ ∠CAD = ∠OAD，∴ ∠CAD = ∠ODA，∴ OD // AE。
∵ DE ⊥ AC，∴ ∠AED = 90°，∵ OD // AE，∴ ∠ODE = ∠AED = 90°，即 OD ⊥ DE。
∵ OD 是⊙O 半径，∴ DE 是⊙O 的切线。
(2) 设 AC = 3k，AB = 5k（k ＞ 0）。
∵ AB 是直径，∴ ∠ACB = 90°，∴ BC = √(AB² - AC²) = 4k。
连接 OD，过 O 作 OH ⊥ AC 于 H，∴ AH = CH = 3k/2，OH = BC/2 = 2k（中位线）。
∵ OD // AE，DE ⊥ AC，OD ⊥ DE，∴ 四边形 OHED 是矩形，∴ HE = OD = 5k/2。
∴ AE = AH + HE = 3k/2 + 5k/2 = 4k。
∵ OD // AE，∴ △AFE ∽ △DFO，∴ AF/DF = AE/OD = 4k/(5k/2) = 8/5。
2.(武汉中考)如图，$PA$是$\odot O$的切线，$A$是切点，$AC$是直径，$AB$是弦，连接$PB$，$PC$，$PC$交$AB$于点$E$，且$PA = PB$.
(1) 求证$PB$是$\odot O$的切线.
(2) 若$\angle APC = 3\angle BPC$，求$\frac{PE}{CE}$的值.
(1) 求证$PB$是$\odot O$的切线.
(2) 若$\angle APC = 3\angle BPC$，求$\frac{PE}{CE}$的值.
答案
(1) 证明：连接 $ OB $。
∵ $ PA $ 是 $ \odot O $ 的切线，
∴ $ \angle OAP = 90° $。
∵ $ PA = PB $，$ OA = OB $，$ OP = OP $，
∴ $ \triangle OAP \cong \triangle OBP $（SSS）。
∴ $ \angle OBP = \angle OAP = 90° $。
∵ $ OB $ 是半径，
∴ $ PB $ 是 $ \odot O $ 的切线。
(2) 连接 $ BC $，设 $ OP $ 交 $ AB $ 于点 $ F $。
∵ $ PA = PB $，$ OA = OB $，
∴ $ OP $ 垂直平分 $ AB $，即 $ \angle AFP = 90° $。
∵ $ AC $ 是直径，
∴ $ \angle ABC = 90° $，
∴ $ OP // BC $，
∴ $ \angle OPC = \angle BCP $。
设 $ \angle BPC = \alpha $，则 $ \angle APC = 3\alpha $，$ \angle APB = 4\alpha $。
∵ $ PA = PB $，$ OP \perp AB $，
∴ $ OP $ 平分 $ \angle APB $，$ \angle APO = \angle BPO = 2\alpha $。
∴ $ \angle OPC = \angle BPO - \angle BPC = 2\alpha - \alpha = \alpha $，
∴ $ \angle BCP = \alpha = \angle BPC $，
∴ $ BC = BP $。
设 $ OF = t $，$ PF = x $，$ OB = r $。
∵ $ OP // BC $，$ O $ 是 $ AC $ 中点，
∴ $ BC = 2OF = 2t $，$ BP = BC = 2t $。
∵ $ \angle OBP = 90° $，$ BF \perp OP $，
∴ $ PB^2 = PF · PO $，即 $ (2t)^2 = x(x + t) $。
整理得 $ x^2 + tx - 4t^2 = 0 $，解得 $ x = \frac{-t + \sqrt{17}t}{2} $（负值舍去）。
∵ $ OP // BC $，
∴ $ \triangle PFE \sim \triangle CBE $，
∴ $ \frac{PE}{CE} = \frac{PF}{BC} = \frac{\frac{-t + \sqrt{17}t}{2}}{2t} = \frac{\sqrt{17} - 1}{4} $。
答案：$ \frac{\sqrt{17} - 1}{4} $
∵ $ PA $ 是 $ \odot O $ 的切线，
∴ $ \angle OAP = 90° $。
∵ $ PA = PB $，$ OA = OB $，$ OP = OP $，
∴ $ \triangle OAP \cong \triangle OBP $（SSS）。
∴ $ \angle OBP = \angle OAP = 90° $。
∵ $ OB $ 是半径，
∴ $ PB $ 是 $ \odot O $ 的切线。
(2) 连接 $ BC $，设 $ OP $ 交 $ AB $ 于点 $ F $。
∵ $ PA = PB $，$ OA = OB $，
∴ $ OP $ 垂直平分 $ AB $，即 $ \angle AFP = 90° $。
∵ $ AC $ 是直径，
∴ $ \angle ABC = 90° $，
∴ $ OP // BC $，
∴ $ \angle OPC = \angle BCP $。
设 $ \angle BPC = \alpha $，则 $ \angle APC = 3\alpha $，$ \angle APB = 4\alpha $。
∵ $ PA = PB $，$ OP \perp AB $，
∴ $ OP $ 平分 $ \angle APB $，$ \angle APO = \angle BPO = 2\alpha $。
∴ $ \angle OPC = \angle BPO - \angle BPC = 2\alpha - \alpha = \alpha $，
∴ $ \angle BCP = \alpha = \angle BPC $，
∴ $ BC = BP $。
设 $ OF = t $，$ PF = x $，$ OB = r $。
∵ $ OP // BC $，$ O $ 是 $ AC $ 中点，
∴ $ BC = 2OF = 2t $，$ BP = BC = 2t $。
∵ $ \angle OBP = 90° $，$ BF \perp OP $，
∴ $ PB^2 = PF · PO $，即 $ (2t)^2 = x(x + t) $。
整理得 $ x^2 + tx - 4t^2 = 0 $，解得 $ x = \frac{-t + \sqrt{17}t}{2} $（负值舍去）。
∵ $ OP // BC $，
∴ $ \triangle PFE \sim \triangle CBE $，
∴ $ \frac{PE}{CE} = \frac{PF}{BC} = \frac{\frac{-t + \sqrt{17}t}{2}}{2t} = \frac{\sqrt{17} - 1}{4} $。
答案：$ \frac{\sqrt{17} - 1}{4} $
