B 级
4. 如图，$AB$为半圆$O$的直径，点$C$为$BA$延长线上一点，$CD$切半圆$O$于点$D$.连接$OD$，作$BE \perp CD$于点$E$，交半圆$O$于点$F$.已知$CE = 12$，$BE = 9$，求$OD$的长.

4.$\frac{45}{8}$.

解：
∵ $ BE \perp CD $，$ CE=12 $，$ BE=9 $，
∴ 在 $ Rt\triangle CEB $ 中，$ CB=\sqrt{CE^2+BE^2}=\sqrt{12^2+9^2}=15 $。
设 $ OD=r $（即半圆半径），则 $ OB=r $，$ CO=CB-OB=15-r $。
∵ $ CD $ 切半圆 $ O $ 于 $ D $，
∴ $ OD \perp CD $。
又 $ BE \perp CD $，
∴ $ OD // BE $，故 $ \triangle CDO \sim \triangle CEB $。
由相似三角形性质：$ \frac{OD}{BE}=\frac{CO}{CB} $，即 $ \frac{r}{9}=\frac{15-r}{15} $。
解得：$ 15r=9(15-r) $，$ 15r=135-9r $，$ 24r=135 $，$ r=\frac{45}{8} $。
∴ $ OD=\frac{45}{8} $。
答案：$\frac{45}{8}$

5. 如图，$PA$与$\odot O$相切于点$B$，$PO$的延长线与$\odot O$交于点$C$.若$\odot O$的半径为$3$，$PB = 4$，求$BC$的长.

5.$\frac{12\sqrt{5}}{5}$.

6. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，以$AC$为直径的$\odot O$交$BC$于点$D$，交$AB$于点$E$，过点$D$作$DF ⊥ AB$，垂足为$F$，连接$DE$.
(1)求证直线$DF$与$\odot O$相切.
(2)若$AE = 7$，$BC = 6$，求$AC$的长.

$(1)$证明：连接$OD，$$AD。$　　
∵$AC$为$⊙O$直径，　　
∴$∠ADC=90°。$　　
∵$AB=AC，$　　
∴$BD=CD。$　　
∵$OA=OC，$　　
∴$OD$为$△ABC$中位线，　　
∴$OD//AB。$　　
∵$DF⊥AB，$　　
∴$OD⊥DF。$　　
∵$OD$为$⊙O$半径，　　
∴直线$DF$与$⊙O$相切。　　
$(2)$解：设$AC=AB=x，$则$BE=x-7。$　　
∵$∠BED=∠BCA，$$∠EBD=∠CBA，$　　
∴$△BED∽△BCA。$　　
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{BD}{BA}。$　　
∵$BC=6，$$BD=3，$　　
∴$\frac{x-7}{6}=\frac{3}{x}。$　　
解得$x_1=9，$$x_2=-2（$舍去$）。$　　
∴$AC=9$