例 2 (1) 比较$\frac{\sqrt{3} - 1}{5}与\frac{1}{5}$的大小；
(2) 比较$1 - \sqrt{2}与1 - \sqrt{3}$的大小。
[解答](1) 因为$\frac{\sqrt{3} - 1}{5} - \frac{1}{5} = \frac{\sqrt{3} - 2}{5} ＜ 0$,
所以$\frac{\sqrt{3} - 1}{5} ＜ \frac{1}{5}$。
(2) 因为$(1 - \sqrt{2}) - (1 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - \sqrt{2} ＞ 0$,
所以$1 - \sqrt{2} ＞ 1 - \sqrt{3}$。

(1)
$\begin{aligned}\frac{\sqrt{3} - 1}{5} - \frac{1}{5} &= \frac{\sqrt{3} - 1 - 1}{5} \\&= \frac{\sqrt{3} - 2}{5} \\因为 \sqrt{3} &\lt \sqrt{4} = 2\\所以 \sqrt{3}-2&\lt0\\所以 \frac{\sqrt{3} - 2}{5} &\lt 0 \\因此 \frac{\sqrt{3} - 1}{5} &\lt \frac{1}{5} \end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(1 - \sqrt{2}) - (1 - \sqrt{3}) &= 1 - \sqrt{2} - 1 + \sqrt{3} \\&= \sqrt{3} - \sqrt{2} \\因为 \sqrt{3} &\gt \sqrt{2} \\所以 \sqrt{3} - \sqrt{2} &\gt 0 \\因此 1 - \sqrt{2} &\gt 1 - \sqrt{3}\end{aligned}$

1. 若数轴上表示数$a$的点在原点的左边,则$|2a + \sqrt{a^{2}}|$的化简结果是()。
A.$-a$
B.$-3a$
C.$a$
D.$3a$

A

因为数轴上表示数$a$的点在原点左边，所以$a ＜ 0$。
$\sqrt{a^{2}} = |a| = -a$（因为$a ＜ 0$）。
则$2a + \sqrt{a^{2}} = 2a - a = a$。
又因为$a ＜ 0$，所以$|2a + \sqrt{a^{2}}| = |a| = -a$。
A

2. 如图,数轴上$A$,$B两点分别表示实数1$,$\sqrt{5}$,点$B关于点A的对称点为点C$,则点$C$所表示的实数为()。

A.$\sqrt{5} - 2$
B.$2 - \sqrt{5}$
C.$\sqrt{5} - 3$
D.$3 - \sqrt{5}$

B

解：设点$C$所表示的实数为$x$。
因为点$B$关于点$A$的对称点为点$C$，所以点$A$是线段$BC$的中点。
根据中点坐标公式，可得$\frac{x + \sqrt{5}}{2} = 1$。
解得$x = 2 - \sqrt{5}$。
B

3. 文文设计了一个关于实数运算的程序,按此程序,输入一个数后,输出的数比输入的数的平方小$1$。若输入$\sqrt{7}$,则输出的结果为()。
A.$5$
B.$6$
C.$7$
D.$8$

B

输入$\sqrt{7}$，输出的数为$(\sqrt{7})^2 - 1$
$(\sqrt{7})^2 - 1 = 7 - 1 = 6$
B