7. 如果 a,b,c 为三角形的三边长,且$(a - b)^2 + (a - c)^2 + $|b - c| = 0,则这个三角形是三角形。

等边

因为$(a - b)^2 \geq 0$，$(a - c)^2 \geq 0$，$|b - c| \geq 0$，且$(a - b)^2 + (a - c)^2 + |b - c| = 0$，所以$a - b = 0$，$a - c = 0$，$b - c = 0$，即$a = b = c$，所以这个三角形是等边三角形。

8. 如图,已知△ABC 是等边三角形,点 B,C,D,E 在同一直线上,且 CG = CD,DF = DE,则∠E = ______°。

15

∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°。
∵B，C，D，E共线，∴∠ACD=180°-∠ACB=120°。
∵CG=CD，∴△CGD是等腰三角形，∠CGD=∠CDG。
在△CGD中，∠CGD+∠CDG+∠ACD=180°，
∴2∠CDG=180°-120°=60°，∠CDG=30°。
∵DF=DE，∴△DFE是等腰三角形，∠DFE=∠E。
∵∠CDG是△DFE的外角，∴∠CDG=∠DFE+∠E=2∠E。
∴2∠E=30°，∠E=15°。

9. 如图,C 为线段 AE 上一动点(不与点 A,E 重合),在 AE 同侧分别作等边三角形 ABC 和等边三角形 CDE,AD 与 BE 交于点 O,AD 与 BC 交于点 P,BE 与 CD 交于点 Q,连接 PQ。以下五个结论：①AD = BE；②PQ//AE；③AP = BQ；④DE = DP；⑤∠AOB = 60°,其中正确的结论是______(填序号)。

①②③⑤

① 由题意，△ABC 和 △CDE 都是等边三角形，
所以 AC = BC，CD= CE，∠ACB = ∠DCE =$ 60^\circ$，
所以 ∠ACD= ∠BCE，
在△ACD 和△BCE 中，
$\begin{cases}AC = BC, \\ ∠ACD = ∠BCE, \\CD = CE,\end{cases}$
所以 △ACD ≌ △BCE (SAS)，
所以 AD = BE，∠CAD = ∠CBE，故①正确；
③ 在△ACP 和 △BCQ中，
$\begin{cases} ∠CAD = ∠CBE, \\AC = BC, \\∠ACB = ∠BCQ = 60^\circ,\end{cases}$
所以 △ACP ≌ △BCQ(ASA)，
所以 AP = BQ，故③正确；
② 由△ACP ≌ △BCQ 得，PC = QC，
所以 △PCQ 是等边三角形，
所以 ∠CPQ = ∠PCQ =$ 60^\circ$= ∠ACB，
所以 PQ//AE，故②正确；
⑤ 由△ACD ≌ △BCE 得，∠CBE = ∠CAD，
添加∠AQE= ∠BQC（对顶角），
根据三角形内角和定理得，
∠AOB = ∠BED + ∠ADE = ∠BCD + ∠CQB + ∠CDA = ∠BCD +（180°-∠BCD-∠CBE）+ ∠CDA，
因为 ∠CAD = ∠CBE，
所以 ∠AOB = 180°-∠BCD-∠CAD + ∠CDA = 180°-（∠ACB-∠DCE）= 120°-60°= 60°，
故⑤正确；
④ 而无法证明得出 DE = DP，
所以④ DE = DP 错误。

10. 如图,过边长为 4 的等边三角形 ABC 的边 AB 上一点 P,作 PE⊥AC,垂足为 E,Q 为 BC 延长线上一点,当 PA = CQ 时,连接 PQ 交边 AC 于点 D,则 DE 的长为。

2

过点P作PF//BC交AC于点F。
∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ACB=60°，
∵PF//BC，∴∠AFP=∠ACB=60°，∠APF=∠B=60°，
∴△APF是等边三角形，∴PF=PA=AF，PE⊥AC，由三线合一得E为AF中点，即AE=EF=AF/2。
∵PA=CQ，∴PF=CQ，
∵PF//BC，∴∠PFD=∠QCD，∠PDF=∠QDC，
∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD=CD，即D为FC中点，∴FD=CD=FC/2。
设PA=AF=x，则FC=AC-AF=4-x，FD=(4-x)/2，EF=x/2，
∴DE=EF+FD=x/2+(4-x)/2=2。

11. 在等边三角形 ABC 中,点 D 在边 AC 上(不与点 A,C 重合),延长 BC 至点 E,使 CE = AD,连接 DE。
(1)如图 1,当点 D 是边 AC 中点时,求证 DB = DE；
(2)如图 2,当点 D 是边 AC 上任意一点时,(1)中线段 DB 与 DE 的数量关系是否成立？若成立,请证明；若不成立,请说明理由。

(1) 证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=60°。
∵D是AC中点，∴AD=DC，BD平分∠ABC，∴∠DBC=30°。
∵CE=AD，∴CE=DC，△DCE是等腰三角形。
∵∠DCE=180°-∠ACB=120°，∴∠DEC=(180°-∠DCE)/2=30°。
∴∠DBC=∠DEC，∴DB=DE。
(2) 成立。证明：过点D作DF//AB交BC于F。
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=AC。
∵DF//AB，∴∠DFC=∠ABC=60°，∠FDC=∠BAC=60°，∴△DFC是等边三角形，∴DF=DC=FC，∠DFC=60°。
∴∠DFB=180°-∠DFC=120°。
∵∠DCE=180°-∠ACB=120°，∴∠DFB=∠DCE。
∵AD=CE，AD=AC-DC，BF=BC-FC，AC=BC，DC=FC，∴AD=BF，∴BF=CE。
在△DFB和△DCE中，DF=DC，∠DFB=∠DCE，BF=CE，∴△DFB≌△DCE(SAS)，∴DB=DE。