1. 在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle B = 30^{\circ}$,$AB = 6$,则$AC$的长是()
A.2
B.3
C.6
D.5

B

在直角三角形中，$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半。
已知$\angle B=30^{\circ}$，斜边$AB = 6$，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC$是$\angle B$所对的直角边，所以$AC=\frac{1}{2}AB$。
将$AB = 6$代入可得$AC = 3$。

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle ABC = 60^{\circ}$,$BD平分\angle ABC$,若$AD = 6$,则$CD$等于()

A.3



B.4
C.5
D.6
]

A

在$\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\angle ABC=60^{\circ}$，则$\angle A=180^{\circ}-\angle C-\angle ABC=30^{\circ}$。
$BD$平分$\angle ABC$，$\angle ABC=60^{\circ}$，故$\angle ABD=\angle DBC=30^{\circ}$。
在$\triangle ABD$中，$\angle A=\angle ABD=30^{\circ}$，$\therefore AD=BD$（等角对等边）。
已知$AD=6$，则$BD=6$。
在$Rt\triangle DBC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\angle DBC=30^{\circ}$，$\therefore CD=\frac{1}{2}BD$（30°角所对直角边等于斜边一半）。
$\because BD=6$，$\therefore CD=\frac{1}{2}×6=3$。

3. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle A = 15^{\circ}$,$\angle DBC = 60^{\circ}$,$BC = 4$,则$AD$长是()
A.2
B.4
C.6
D.8
]

D

在$\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\angle A=15^{\circ}$，则$\angle ABC=90^{\circ}-\angle A=75^{\circ}$。
$\because \angle DBC=60^{\circ}$，$\therefore \angle ABD=\angle ABC-\angle DBC=75^{\circ}-60^{\circ}=15^{\circ}$。
$\because \angle A=15^{\circ}$，$\therefore \angle A=\angle ABD$，故$\triangle ABD$为等腰三角形，$AD=BD$。
在$Rt\triangle DBC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\angle DBC=60^{\circ}$，$\therefore \angle BDC=30^{\circ}$。
$\because 30^{\circ}$角所对直角边等于斜边一半，$BC=4$，$\therefore BD=2BC=8$。
$\therefore AD=BD=8$。

4. 如图,等腰三角形$ABC的顶角为120^{\circ}$,腰长$AB为12\mathrm{cm}$,则底边上的高是()
A.$4\mathrm{cm}$
B.$6\mathrm{cm}$
C.$10\mathrm{cm}$
D.$12\mathrm{cm}$
]

B

作底边$BC$的高$AD$，垂足为$D$，$\angle BAC=120^\circ$，$AB = AC = 12\mathrm{cm}$，
$\therefore \angle B = \angle C =\frac{180^\circ-120^\circ}{2}= 30^\circ$。
在直角$\triangle ABD$中，
$\angle B=30^\circ$，$\therefore AD = \frac{1}{2}AB = 6\mathrm{cm}$。

5. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle ABC = 60^{\circ}$.用直尺和圆规作线段$AB的垂直平分线交AC于点D$,若$AD = 6$,则$CD$的长为()

A.1.5
B.3
C.4.5
D.6
]

B

连接BD。
∵D在AB的垂直平分线上，∴AD=BD=6。
∵∠C=90°，∠ABC=60°，∴∠A=30°。
∵AD=BD，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠CBD=∠ABC - ∠ABD=30°。
在Rt△BCD中，∠CBD=30°，∴CD=1/2 BD=3。

6. 在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle A = 30^{\circ}$,$BC = 3$,则$AB$的长为.

6

在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，根据直角三角形中$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半，可得$BC = \frac{1}{2}AB$。因为$BC = 3$，所以$AB = 2BC = 2×3 = 6$。

7. 在$\triangle ABC$中,$\angle A:\angle B:\angle C = 1:2:3$,$AB = 10$,则$BC = $.

【解析】：设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x。
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴x+2x+3x=180°，解得x=30°。
∴∠A=30°，∠C=90°，△ABC为直角三角形。
∵AB=10（斜边），∠A=30°，
∴BC=AB×$\frac{1}{2}$=5。
【答案】：5

8. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC = 12$,$\angle BAC = 120^{\circ}$,则底边上的中线$AD = $.
]

6

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD是底边上的中线。
∵AB=AC，AD是中线，
∴AD平分∠BAC，AD⊥BC（等腰三角形三线合一）。
∴∠BAD=∠CAD=60°，∠ADB=90°。
在Rt△ABD中，∠BAD=60°，AB=12，
∴∠ABD=30°，
∴AD=AB×cos60°=12×1/2=6（或AD=1/2AB=6，直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半）。