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7.某百货大楼服装专柜在销售中发现:某品
牌童装每件进价70元,现以每件100元销
售,平均每天可售出30件.暑假中,商场
决定采取适当的降价措施,以增大销售量,
增加盈利,尽量减少库存,市场调查反映:
该品牌童装如果每件降价1元,那么平均
每天就可多销售2件.要想使该品牌童装
平均每天盈利1000元,请你帮商场算一
算,每件童装应定价为多少元？
牌童装每件进价70元,现以每件100元销
售,平均每天可售出30件.暑假中,商场
决定采取适当的降价措施,以增大销售量,
增加盈利,尽量减少库存,市场调查反映:
该品牌童装如果每件降价1元,那么平均
每天就可多销售2件.要想使该品牌童装
平均每天盈利1000元,请你帮商场算一
算,每件童装应定价为多少元？
答案
解：设每件童装降价$x$元，则每件童装的售价为$(100 - x)$元，每天可销售$(30 + 2x)$件。
根据题意，得$(100 - x - 70)(30 + 2x) = 1000$
整理，得$x^2 - 15x + 50 = 0$
解得$x_1 = 5$，$x_2 = 10$
因为要尽量减少库存，所以$x = 10$
此时定价为$100 - 10 = 90$（元）
答：每件童装应定价为90元。
根据题意，得$(100 - x - 70)(30 + 2x) = 1000$
整理，得$x^2 - 15x + 50 = 0$
解得$x_1 = 5$，$x_2 = 10$
因为要尽量减少库存，所以$x = 10$
此时定价为$100 - 10 = 90$（元）
答：每件童装应定价为90元。
8.某糕点店生产的西点礼盒分为6个档次,
第1档次(即最低档次)的西点礼盒每天的
产量为76件,每件利润10元.市场调查
反映:西点礼盒每提高一个档次,该西点
礼盒每件利润增加2元.
(1)若生产的某批次西点礼盒每件利润为
14元,则此批次西点礼盒属于第几
档次？
(2)由于生产工序不同,西点礼盒每提高
一个档次,每天的产量会减少4件.若
生产的某批次西点礼盒一天的总利润
为1080元,则该批次西点礼盒属于
第几档次？
第1档次(即最低档次)的西点礼盒每天的
产量为76件,每件利润10元.市场调查
反映:西点礼盒每提高一个档次,该西点
礼盒每件利润增加2元.
(1)若生产的某批次西点礼盒每件利润为
14元,则此批次西点礼盒属于第几
档次？
(2)由于生产工序不同,西点礼盒每提高
一个档次,每天的产量会减少4件.若
生产的某批次西点礼盒一天的总利润
为1080元,则该批次西点礼盒属于
第几档次？
答案
【解析】：
(1)此题主要考察的是一元一次方程的建立与求解。
根据题意，第1档次的西点礼盒每件利润为10元，每提高一个档次，利润增加2元。
设此批次西点礼盒属于第$x$档次，则有方程：
$10 + 2(x - 1) = 14$
解这个方程，我们可以得到$x$的值。
(2)此题主要考察的是一元二次方程的建立与求解。
设该批次西点礼盒属于第$x$档次，则每件利润为$10 + 2(x - 1)$元，每天产量为$76 - 4(x - 1)$件。
根据题意，一天的总利润为1080元，所以有方程：
$[10 + 2(x - 1)][76 - 4(x - 1)] = 1080$
展开并整理，得到一个一元二次方程，解这个方程，我们可以得到$x$的值。
【答案】：
(1)
解：设此批次西点礼盒属于第$x$档次，
根据题意，有方程：
$10 + 2(x - 1) = 14$
移项并化简得：
$2x = 6$
解得：
$x = 3$
答：此批次西点礼盒属于第3档次。
(2)
解：设该批次西点礼盒属于第$x$档次，
根据题意，有方程：
$[10 + 2(x - 1)][76 - 4(x - 1)] = 1080$
展开并整理得：
$(2x + 8)(80 - 4x) = 1080$
$160x + 640 - 8x^2 - 32x = 1080$
$-8x^2 + 128x - 440 = 0$
$x^2 - 16x + 55 = 0$
因式分解得：
$(x - 5)(x - 11) = 0$
解得：
$x_1 = 5, \quad x_2 = 11$
由于$x$表示档次，且$1 \leq x \leq 6$，所以$x_2 = 11$不符合题意，舍去。
答：该批次西点礼盒属于第5档次。
(1)此题主要考察的是一元一次方程的建立与求解。
根据题意，第1档次的西点礼盒每件利润为10元，每提高一个档次，利润增加2元。
设此批次西点礼盒属于第$x$档次，则有方程：
$10 + 2(x - 1) = 14$
解这个方程，我们可以得到$x$的值。
(2)此题主要考察的是一元二次方程的建立与求解。
设该批次西点礼盒属于第$x$档次，则每件利润为$10 + 2(x - 1)$元，每天产量为$76 - 4(x - 1)$件。
根据题意，一天的总利润为1080元，所以有方程：
$[10 + 2(x - 1)][76 - 4(x - 1)] = 1080$
展开并整理，得到一个一元二次方程，解这个方程，我们可以得到$x$的值。
【答案】：
(1)
解：设此批次西点礼盒属于第$x$档次，
根据题意，有方程：
$10 + 2(x - 1) = 14$
移项并化简得：
$2x = 6$
解得：
$x = 3$
答：此批次西点礼盒属于第3档次。
(2)
解：设该批次西点礼盒属于第$x$档次，
根据题意，有方程：
$[10 + 2(x - 1)][76 - 4(x - 1)] = 1080$
展开并整理得：
$(2x + 8)(80 - 4x) = 1080$
$160x + 640 - 8x^2 - 32x = 1080$
$-8x^2 + 128x - 440 = 0$
$x^2 - 16x + 55 = 0$
因式分解得：
$(x - 5)(x - 11) = 0$
解得：
$x_1 = 5, \quad x_2 = 11$
由于$x$表示档次，且$1 \leq x \leq 6$，所以$x_2 = 11$不符合题意，舍去。
答：该批次西点礼盒属于第5档次。
【例题1】张大伯从市场上买回一块长为28 dm、宽为26 dm的矩形铁片. 他从矩形铁片的四个角中各剪去一个边长相等的小正方形后,剩余部分刚好能围成一个底面积为624 $dm^2$的长方体无盖盒子. 求长方体盒子的高.
答案
思路导引 面积问题和体积问题是一元二次方程应用题的常见问题,关键要找出长、宽、高之间的关系,正确运用公式,还要注意检验答案是否与实际问题相符.
解：设盒子的高为$x$ dm,则盒子的底边长为$(28 - 2x)$ dm,宽为$(26 - 2x)$ dm. 由题意,得$(28 - 2x)(26 - 2x) = 624$. 解得$x_1 = 1$,$x_2 = 26$(不合题意,舍去). 故长方体盒子的高为1 dm.
解：设盒子的高为$x$ dm,则盒子的底边长为$(28 - 2x)$ dm,宽为$(26 - 2x)$ dm. 由题意,得$(28 - 2x)(26 - 2x) = 624$. 解得$x_1 = 1$,$x_2 = 26$(不合题意,舍去). 故长方体盒子的高为1 dm.
【例题2】用12 m长的一根铁丝围成长方形. (1)如果长方形的面积为5 $m^2$,那么此时长方形的长、宽各为多少？如果面积为8 $m^2$呢？(2)能否围成面积为10 $m^2$的长方形？为什么？(3)围成的长方形的最大面积为多少？
答案
思路导引 长方形的面积等于长乘宽,因而用含有未知数的代数式表示长方形的长和宽,可列出方程. 通常先设其中的一条边长为$x$,然后用含$x$的代数式表示另一边长. 当面积不确定时,只要方程有解,这样的长方形就存在.
解：(1)设长方形的宽为$x$ m,则长为$\frac{12 - 2x}{2} = (6 - x)$ m. 由题意,得$x(6 - x) = 5$,即$x^2 - 6x + 5 = 0$. 解得$x_1 = 1$,$x_2 = 5$(不合题意,舍去). ∴当长方形的宽为1 m,长为6 - 1 = 5(m)时,面积为5 $m^2$. 同样,当面积为8 $m^2$时,有$x(6 - x) = 8$,即$x^2 - 6x + 8 = 0$. 解得$x_1 = 2$,$x_2 = 4$(不合题意,舍去). ∴当长方形的宽为2 m,长为6 - 2 = 4(m)时,面积为8 $m^2$.
(2)若围成的长方形的面积为10 $m^2$,则$x(6 - x) = 10$,即$x^2 - 6x + 10 = 0$. 此时,$\Delta = b^2 - 4ac = 36 - 40 ＜ 0$,故此方程无实数根. 所以不能围成面积为10 $m^2$的长方形.
(3)设围成的长方形的面积为$k$,则有$x(6 - x) = k$,即$x^2 - 6x + k = 0$. 要使方程有解,必须$\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4k \geqslant 0$,即$k \leqslant 9$. ∴$k$的最大值只能取9,即围成的长方形的最大面积为9 $m^2$. 此时$x = 3$,6 - $x = 3$(m),这时所围成的图形是正方形.
解：(1)设长方形的宽为$x$ m,则长为$\frac{12 - 2x}{2} = (6 - x)$ m. 由题意,得$x(6 - x) = 5$,即$x^2 - 6x + 5 = 0$. 解得$x_1 = 1$,$x_2 = 5$(不合题意,舍去). ∴当长方形的宽为1 m,长为6 - 1 = 5(m)时,面积为5 $m^2$. 同样,当面积为8 $m^2$时,有$x(6 - x) = 8$,即$x^2 - 6x + 8 = 0$. 解得$x_1 = 2$,$x_2 = 4$(不合题意,舍去). ∴当长方形的宽为2 m,长为6 - 2 = 4(m)时,面积为8 $m^2$.
(2)若围成的长方形的面积为10 $m^2$,则$x(6 - x) = 10$,即$x^2 - 6x + 10 = 0$. 此时,$\Delta = b^2 - 4ac = 36 - 40 ＜ 0$,故此方程无实数根. 所以不能围成面积为10 $m^2$的长方形.
(3)设围成的长方形的面积为$k$,则有$x(6 - x) = k$,即$x^2 - 6x + k = 0$. 要使方程有解,必须$\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4k \geqslant 0$,即$k \leqslant 9$. ∴$k$的最大值只能取9,即围成的长方形的最大面积为9 $m^2$. 此时$x = 3$,6 - $x = 3$(m),这时所围成的图形是正方形.
