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1. 一个直角三角形的两条直角边长的和为7,面积为6,则斜边长为(
A.$\sqrt{37}$
B.5
C.$\sqrt{38}$
D.7
B
).A.$\sqrt{37}$
B.5
C.$\sqrt{38}$
D.7
答案
【解析】：
本题主要考查一元二次方程的应用以及直角三角形的性质。
设其中一条直角边为$x$，则另一条直角边为$7 - x$。
根据直角三角形的面积公式，面积$S = \frac{1}{2} × 直角边1 × 直角边2$，
由题意得：
$\frac{1}{2}x(7 - x) = 6$，
展开并整理得：
$x^2 - 7x + 12 = 0$，
因式分解该一元二次方程：
$(x - 3)(x - 4) = 0$，
解得$x_1 = 3, x_2 = 4$。
所以，两条直角边的长度分别为3和4。
接下来，利用勾股定理求斜边的长度。勾股定理公式为：
$c = \sqrt{a^2 + b^2}$，
其中$c$是斜边，$a$和$b$是直角边。
代入$a = 3, b = 4$，得：
$c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$。
所以，斜边的长度为5。
【答案】：B.5。
本题主要考查一元二次方程的应用以及直角三角形的性质。
设其中一条直角边为$x$，则另一条直角边为$7 - x$。
根据直角三角形的面积公式，面积$S = \frac{1}{2} × 直角边1 × 直角边2$，
由题意得：
$\frac{1}{2}x(7 - x) = 6$，
展开并整理得：
$x^2 - 7x + 12 = 0$，
因式分解该一元二次方程：
$(x - 3)(x - 4) = 0$，
解得$x_1 = 3, x_2 = 4$。
所以，两条直角边的长度分别为3和4。
接下来，利用勾股定理求斜边的长度。勾股定理公式为：
$c = \sqrt{a^2 + b^2}$，
其中$c$是斜边，$a$和$b$是直角边。
代入$a = 3, b = 4$，得：
$c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$。
所以，斜边的长度为5。
【答案】：B.5。
2. 有一个面积为54 $m^2$的长方形,将它的一边剪短5 m,另一边剪短2 m,恰好得到一个正方形,这个正方形的边长是______ m.
4
答案
解：设正方形的边长为$x$ m，则原长方形的长为$(x + 5)$ m，宽为$(x + 2)$ m。
根据题意，得$(x + 5)(x + 2) = 54$
展开并整理，得$x^2 + 7x - 44 = 0$
因式分解，得$(x - 4)(x + 11) = 0$
解得$x_1 = 4$，$x_2 = -11$（边长不能为负，舍去）
所以正方形的边长是$4$ m。
4
根据题意，得$(x + 5)(x + 2) = 54$
展开并整理，得$x^2 + 7x - 44 = 0$
因式分解，得$(x - 4)(x + 11) = 0$
解得$x_1 = 4$，$x_2 = -11$（边长不能为负，舍去）
所以正方形的边长是$4$ m。
4
3. 从一块长40 cm、宽30 cm的长方形铁片中间截取一个小长方形,使剩下的方框四周的宽度一样,并且原来长方形的面积是小长方形面积的2倍,则这个宽度为
5
.答案
【解析】：
本题主要考察一元二次方程的应用。
设这个宽度为$x$厘米。
首先，根据题意，小长方形的长为$40 - 2x$厘米，宽为$30 - 2x$厘米。
原来长方形的面积是$40 × 30 = 1200$平方厘米。
小长方形的面积是$(40 - 2x)(30 - 2x)$平方厘米。
根据题意，原来长方形的面积是小长方形面积的2倍，所以我们可以得到方程：
$2(40 - 2x)(30 - 2x) = 1200$
展开并整理得：
$x^{2} - 35x + 150 = 0$
通过因式分解或者使用求根公式，我们可以得到：
$(x-5)(x-30) = 0$
解得：$x_{1} = 5$，$x_{2} = 30$。
由于$x$表示的是宽度，且长方形的宽为30cm，所以$x$不可能等于30cm（否则小长方形的宽将为0，不符合题意）。
因此，$x = 5$。
【答案】：
$5$ cm。
本题主要考察一元二次方程的应用。
设这个宽度为$x$厘米。
首先，根据题意，小长方形的长为$40 - 2x$厘米，宽为$30 - 2x$厘米。
原来长方形的面积是$40 × 30 = 1200$平方厘米。
小长方形的面积是$(40 - 2x)(30 - 2x)$平方厘米。
根据题意，原来长方形的面积是小长方形面积的2倍，所以我们可以得到方程：
$2(40 - 2x)(30 - 2x) = 1200$
展开并整理得：
$x^{2} - 35x + 150 = 0$
通过因式分解或者使用求根公式，我们可以得到：
$(x-5)(x-30) = 0$
解得：$x_{1} = 5$，$x_{2} = 30$。
由于$x$表示的是宽度，且长方形的宽为30cm，所以$x$不可能等于30cm（否则小长方形的宽将为0，不符合题意）。
因此，$x = 5$。
【答案】：
$5$ cm。
4. 用长为24 m的篱笆,一面利用墙(墙长为11 m),围成如图所示的矩形花圃.
(1)如果要围成面积为64 $m^2$的矩形花圃,那么$AB$的长为多少米？
(2)能否围成面积为80 $m^2$的矩形花圃？若能,求出$AB$的长；若不能,请说明理由.
(1)如果要围成面积为64 $m^2$的矩形花圃,那么$AB$的长为多少米？
(2)能否围成面积为80 $m^2$的矩形花圃？若能,求出$AB$的长；若不能,请说明理由.
答案
【解析】：本题主要考查一元二次方程的应用。
(1) 设$AB$的长为$x$米，由于篱笆总长为24米，且一面靠墙，所以$BC$的长为$(24 - 2x)$米。
根据矩形的面积公式：$面积 = 长 × 宽$。
可列方程：$x(24 - 2x) = 64$。
展开并整理得：$x^2 - 12x + 32 = 0$。
通过因式分解，我们得到：$(x - 8)(x - 4) = 0$。
解得：$x_1 = 8$，$x_2 = 4$。
当$x = 4$时，$24 - 2x = 16$，但墙的长度只有11米，所以不符合题意，应舍去。
当$x = 8$时，$24 - 2x = 8$，符合题意。
所以，$AB$的长为8米。
(2) 假设可以围成面积为80平方米的矩形花圃，同样设$AB$的长为$x$米，则$BC$的长为$(24 - 2x)$米。
根据矩形的面积公式，可列方程：$x(24 - 2x) = 80$。
展开并整理得：$x^2 - 12x + 40 = 0$。
接下来，我们需要判断这个一元二次方程是否有实数解。计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 × 1 × 40 = 144 - 160 = -16$。
由于$\Delta ＜ 0$，所以这个一元二次方程没有实数解。
因此，不能围成面积为80平方米的矩形花圃。
【答案】：
(1)$AB$的长为8米；
(2)不能围成面积为80平方米的矩形花圃。
(1) 设$AB$的长为$x$米，由于篱笆总长为24米，且一面靠墙，所以$BC$的长为$(24 - 2x)$米。
根据矩形的面积公式：$面积 = 长 × 宽$。
可列方程：$x(24 - 2x) = 64$。
展开并整理得：$x^2 - 12x + 32 = 0$。
通过因式分解，我们得到：$(x - 8)(x - 4) = 0$。
解得：$x_1 = 8$，$x_2 = 4$。
当$x = 4$时，$24 - 2x = 16$，但墙的长度只有11米，所以不符合题意，应舍去。
当$x = 8$时，$24 - 2x = 8$，符合题意。
所以，$AB$的长为8米。
(2) 假设可以围成面积为80平方米的矩形花圃，同样设$AB$的长为$x$米，则$BC$的长为$(24 - 2x)$米。
根据矩形的面积公式，可列方程：$x(24 - 2x) = 80$。
展开并整理得：$x^2 - 12x + 40 = 0$。
接下来，我们需要判断这个一元二次方程是否有实数解。计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 × 1 × 40 = 144 - 160 = -16$。
由于$\Delta ＜ 0$，所以这个一元二次方程没有实数解。
因此，不能围成面积为80平方米的矩形花圃。
【答案】：
(1)$AB$的长为8米；
(2)不能围成面积为80平方米的矩形花圃。
1. 我国数学家杨辉提出这样一个问题：直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二步,问阔及长各几步. 大概意思是：矩形的面积为864平方步,宽比长少12步,问宽和长各几步. 设长为$x$步,则可列方程为(
A.$x(x - 12) = 864$
B.$x(x + 12) = 864$
C.$x(12 - x) = 864$
D.$2(2x - 12) = 864$
A
).A.$x(x - 12) = 864$
B.$x(x + 12) = 864$
C.$x(12 - x) = 864$
D.$2(2x - 12) = 864$
答案
解：设长为$x$步，因为宽比长少12步，所以宽为$(x - 12)$步。矩形面积=长×宽，已知面积为864平方步，可列方程为$x(x - 12) = 864$。
A
A
2. 如图(见下页),昆明某小区规划在一个长20 m、宽9 m的矩形花园$ABCD$上修建3条同样宽的景观小路,使其中两条与$AB$平行,另一条与$AD$平行,其余部分种花草. 如果使花园种植部分的总面积为112 $m^2$,设小路的宽为$x$ m,那么$x$满足的方程是(
A.$(20 - x)(9 - 2x) = 112$
B.$(20 - 2x)(9 - 2x) = 112$
C.$(20 - 2x)(9 - x) = 112$
D.$(20 - x)(9 - x) = 112$
C
).A.$(20 - x)(9 - 2x) = 112$
B.$(20 - 2x)(9 - 2x) = 112$
C.$(20 - 2x)(9 - x) = 112$
D.$(20 - x)(9 - x) = 112$
答案
【解析】：本题考查了一元二次方程的应用，利用平移得出花草的种植面积是解题关键。
根据矩形面积公式，
已知矩形花园$ABCD$的长为$20m$、宽为$9m$，
则其面积为$20× 9 = 180m^2$。
因为要修建三条同样宽的小路，其中两条与$AB$平行，一条与$AD$平行，小路宽为$x m$。
通过平移，可将种花草的部分拼成一个新的矩形，
新矩形的长为原矩形的长减去两条与$AB$平行的小路的宽度，
即$(20 - 2x)m$；
宽为原矩形的宽减去与$AD$平行的小路的宽度，
即$(9 - x)m$。
已知花园种植部分的总面积为$112m^2$，
根据矩形面积公式$S = 长×宽$，
可列出方程$(20 - 2x)(9 - x) = 112$。
【答案】：C
根据矩形面积公式，
已知矩形花园$ABCD$的长为$20m$、宽为$9m$，
则其面积为$20× 9 = 180m^2$。
因为要修建三条同样宽的小路，其中两条与$AB$平行，一条与$AD$平行，小路宽为$x m$。
通过平移，可将种花草的部分拼成一个新的矩形，
新矩形的长为原矩形的长减去两条与$AB$平行的小路的宽度，
即$(20 - 2x)m$；
宽为原矩形的宽减去与$AD$平行的小路的宽度，
即$(9 - x)m$。
已知花园种植部分的总面积为$112m^2$，
根据矩形面积公式$S = 长×宽$，
可列出方程$(20 - 2x)(9 - x) = 112$。
【答案】：C
