3. 某中学准备建一个面积为375 $m^2$的矩形游泳池,且游泳池的宽比长短10 m. 设游泳池的长为$x$ m,则可列方程为.

解：设游泳池的长为$x$ m，因为宽比长短$10$ m，所以宽为$(x - 10)$ m。
矩形面积 = 长×宽，已知面积为$375 m^2$，则可列方程为：$x(x - 10) = 375$。
答案：$x(x - 10) = 375$

4. 要用一根长为24 cm的铁丝围成一个斜边长是10 cm的直角三角形,则两条直角边的长分别为.

解：设一条直角边的长为$x$cm，则另一条直角边的长为$(24 - 10 - x)$cm，即$(14 - x)$cm。
根据勾股定理，得$x^2 + (14 - x)^2 = 10^2$。
展开并整理，得$x^2 - 14x + 48 = 0$。
因式分解，得$(x - 6)(x - 8) = 0$。
解得$x_1 = 6$，$x_2 = 8$。
当$x = 6$时，$14 - x = 8$；当$x = 8$时，$14 - x = 6$。
则两条直角边的长分别为6 cm和8 cm。
答案：6 cm，8 cm

5. 如图,公园里有一块正方形空地,后来从这块空地上划出部分区域(图中阴影部分)栽种鲜花. 原空地一边减少了1 m,另一边减少了2 m,剩余空地的面积为18 $m^2$,求原正方形空地的边长. 设原正方形空地的边长为$x$ m,则可列方程为.

【解析】：
本题主要考查一元二次方程的应用。
设原正方形的边长为$x$m，则原空地的面积为$x^2$ $m^2$。
由于一边减少了1m，另一边减少了2m，所以剩余空地的长为$(x-1)$m，宽为$(x-2)$m。
根据长方形的面积公式：$面积 = 长 × 宽$。
所以，剩余空地的面积为：
$(x-1)(x-2)$ $m^2$，
根据题意，这个面积等于$18m^2$，所以可以列出方程：
$(x-1)(x-2) = 18$。
【答案】：
$(x-1)(x-2) = 18$

6. 如图,有一块矩形硬纸板,长50 cm,宽30 cm. 在其四角各剪去一个同样大小的正方形,然后将四周突出部分折起,可制成一个无盖长方体盒子. 当剪去正方形的边长取何值时,所得长方体盒子的侧面积为600 $cm^2$？

【解析】：本题考查一元二次方程的应用，关键在于根据长方体盒子侧面积的组成，找出等量关系列出方程。
设剪去正方形的边长为$x cm$。
折起后长方体盒子底面的长为$(50 - 2x)cm$，宽为$(30 - 2x)cm$，高为$x cm$。
长方体盒子的侧面积由两个长为$(50 - 2x)cm$、宽为$x cm$的侧面和两个长为$(30 - 2x)cm$、宽为$x cm$的侧面组成。
根据长方体侧面积公式可列出方程：$2× x×(50 - 2x)+2× x×(30 - 2x)=600$。
接下来求解这个一元二次方程：
$\begin{aligned}2× x×(50 - 2x)+2× x×(30 - 2x)&=600\\100x-4x^{2}+60x - 4x^{2}&=600\\-8x^{2}+160x - 600&=0\\x^{2}-20x + 75&=0\\(x - 5)(x - 15)&=0\end{aligned}$
则$x - 5 = 0$或$x - 15 = 0$，解得$x_1 = 5$，$x_2 = 15$。
当$x = 15$时，$30 - 2x=30 - 2×15 = 0$，此时不能折成无盖长方体盒子，所以舍去$x = 15$。
【答案】：当剪去正方形的边长为$5 cm$时，所得长方体盒子的侧面积为$600 cm^2$，即$x_1= 5，x_2= 15(舍去)$。

7. 如图,在等腰直角三角形$ABC$中,$\angle B = 90^\circ$,$AB = BC = 8$ cm,动点$P从点A出发沿AB向点B$移动,通过点$P作PQ // AC$,$PR // BC$,当$AP$等于多少时,平行四边形$PQCR$的面积等于16 $cm^2$？

解：设 $AP = x$ cm。
因为 $PQ // AC$，$PR // BC$，所以四边形 $PQCR$ 是平行四边形，$\triangle APR$ 是等腰直角三角形，$\triangle PBQ$ 是等腰直角三角形。
所以 $PR = AP = x$ cm，$PB = AB - AP = (8 - x)$ cm，$PQ = PB = (8 - x)$ cm。
平行四边形 $PQCR$ 的面积为 $PR × PQ = x(8 - x)$。
依题意得：$x(8 - x) = 16$
整理得：$x^2 - 8x + 16 = 0$
解得：$x_1 = x_2 = 4$
答：当 $AP$ 等于 4 cm 时，平行四边形 $PQCR$ 的面积等于 $16$ $cm^2$。

8. 下图是一个矩形花园,花园的长为100 m,宽为50 m,在它的四角各建一个同样大小的正方形观光休息亭,四周建有与观光休息亭等宽的观光大道,其余部分(图中阴影部分)种植的是不同种类的花草. 已知种植花草部分的面积为3600 $m^2$,那么花园四个角上的正方形观光休息亭的边长为多少米？

【解析】：本题考查一元二次方程的应用，关键在于根据矩形面积公式列出方程。
设正方形观光休息亭的边长为$x$米。
矩形花园长为$100$米，宽为$50$米，四个角建边长为$x$米的正方形观光休息亭，且观光大道与观光休息亭等宽，那么种植花草部分的长为$(100 - 2x)$米，宽为$(50 - 2x)$米。
已知种植花草部分的面积为$3600m^2$，根据矩形面积公式$S = 长×宽$，可列出方程$(100 - 2x)(50 - 2x) = 3600$。
【答案】：
解：设正方形观光休息亭的边长为$x$米。
$(100 - 2x)(50 - 2x) = 3600$
$5000-200x-100x + 4x^2=3600$
$4x^2-300x + 5000 - 3600 = 0$
$4x^2-300x + 1400 = 0$
$x^2-75x + 350 = 0$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\neq0)$，求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，在方程$x^2-75x + 350 = 0$中，$a = 1$，$b=-75$，$c = 350$，则：
$x=\frac{75\pm\sqrt{(-75)^2 - 4×1×350}}{2×1}=\frac{75\pm\sqrt{5625 - 1400}}{2}=\frac{75\pm\sqrt{4225}}{2}=\frac{75\pm65}{2}$
解得$x_1=\frac{75 + 65}{2}=70$，$x_2=\frac{75 - 65}{2}=5$。
因为矩形花园宽为$50$米，若$x = 70$，则$50-2x=50 - 2×70=-90\lt0$，不符合实际情况，应舍去。
所以$x = 5$。
答：花园四个角上的正方形观光休息亭的边长为$5$米。