【例题1】已知关于$x的一元二次方程(m+1)x^{m^{2}+1}+4x+2= 0$,其解为().
A. $x_1= 1,x_2= -1$
B. $x_1= x_2= 1$
C. $x_1= x_2= -1$
D. 无解
思路导引 掌握一元二次方程的概念是解答本题的关键,还要注意隐含的条件$a\neq0$.
由题意,得$\begin{cases}m^{2}+1= 2,\\m+1\neq0.\end{cases} 解得m= 1$.
原方程可化为$2x^{2}+4x+2= 0$,即$x^{2}+2x+1= 0$.
$\therefore x_1= x_2= -1$. 故选C.
答案：C.
A.$x_1= 1,x_2= -1$
B.$x_1= x_2= 1$
C.$x_1= x_2= -1$
D.无解

思路导引 掌握一元二次方程的概念是解答本题的关键,还要注意隐含的条件$a\neq0$.
由题意,得$\begin{cases}m^{2}+1= 2,\\m+1\neq0.\end{cases} 解得m= 1$.
原方程可化为$2x^{2}+4x+2= 0$,即$x^{2}+2x+1= 0$.
$\therefore x_1= x_2= -1$. 故选C.
答案：C.

【例题2】关于$x的方程kx^{2}+(k+2)x+\frac{k}{4}= 0$有两个不相等的实数根.
(1)求$k$的取值范围.
(2)是否存在实数$k$,使方程的两个实数根的倒数之和等于0？请说明理由.

思路导引 (1)由方程有两个不相等的实数根可推出二次项系数不等于0且$\Delta=b^{2}-4ac＞0$.(2)根据根与系数的关系确定$k$,并得出结论.
解：(1)由题意,得$\begin{cases}\Delta=(k+2)^{2}-4\cdot\frac{k}{4}＞0,\\k\neq0.\end{cases} 解得\begin{cases}k＞-1,\\k\neq0.\end{cases} $
$\therefore k＞-1$,且$k\neq0$.
(2)不存在符合条件的实数$k$.
理由：设方程的两个根为$x_1,x_2$.
由根与系数的关系,得$x_1+x_2= -\frac{k+2}{k}$,$x_1x_2= \frac{1}{4}$.
又$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}= 0$,则$-\frac{k+2}{k}= 0$,$\therefore k= -2$.
由(1)知,当$k= -2$时,$\Delta＜0$,原方程无实数根.
$\therefore不存在符合条件的实数k$.

【例题3】某水果经销商上个月销售一种新上市的水果,售价为10元/kg,月销量为1000kg.若将该种水果的售价调低至$x$元/kg,则本月的销量$y$(单位：kg)与$x$(单位：元/kg)之间满足一次函数$y= kx+b$.当$x= 7$时,$y= 2000$；当$x= 5$时,$y= 4000$.
(1)求$y与x$之间的函数解析式.
(2)已知该种水果上个月的成本价为5元/kg,本月的成本价为4元/kg,要使本月销售该种水果所获利润比上个月增加20%,同时又要让顾客得到实惠,那么该种水果的售价应降低至每千克多少元？

思路导引 (1)代入$x,y$的两组值,解方程组求出$k,b$,即得$y与x$之间的函数解析式.(2)根据“销量×(售价-成本价)= 利润”列方程求解.
解：(1)由题意,得$\begin{cases}2000= 7k+b,\\4000= 5k+b.\end{cases} 解得\begin{cases}k= -1000,\\b= 9000.\end{cases} $
$\therefore y= -1000x+9000$.
(2)由题意,得$(x-4)y= (10-5)×1000×(1+20\%)$,即$(x-4)(-1000x+9000)= 6000$. 整理,得$x^{2}-13x+42= 0$.
解得$x_1= 6,x_2= 7$. 因为要让顾客得到实惠,所以$x= 6$,即该种水果的售价应降低至每千克6元.