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1. 如图所示的图象中，可能是一次函数$y=-mx+m(m≠0)$的图象的是（
B
）答案
1.B 【点拨】当 $m＞0$ 时,一次函数 $y=-mx+m(m≠0)$的图象经过第一、二、四象限; 当 $m＜0$ 时,一次函数 $y=-mx+m(m≠0)$的图象经过第一、三、四象限,故选项B符合题意.故选B.
解析
【分析】
解决本题首先要回忆一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的图象性质：$k$的正负决定直线的倾斜方向，$k＞0$时直线从左下向右上上升，$k＜0$时直线从左上向右下下降；$b$的正负决定直线与$y$轴的交点位置，$b＞0$时交于$y$轴正半轴，$b＜0$时交于$y$轴负半轴。本题中一次函数的系数含参数$m$，因此需要分$m＞0$和$m＜0$两种情况，分别判断对应$k$、$b$的正负，再推导图象经过的象限，最后和选项匹配即可得到答案。
【解析】
对于一次函数$y=-mx+m$（$m≠0$），其一次项系数$k=-m$，常数项（截距）$b=m$，分两种情况讨论：
1. 当$m＞0$时：
$k=-m＜0$，直线从左上向右下倾斜；
$b=m＞0$，直线与$y$轴交于正半轴；
此时函数图象经过第一、二、四象限，和选项B的图象一致。
2. 当$m＜0$时：
$k=-m＞0$，直线从左下向右上倾斜；
$b=m＜0$，直线与$y$轴交于负半轴；
此时函数图象经过第一、三、四象限，题目给出的选项中无符合该情况的图象。
综上，只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象性质；一次函数系数与象限关系；分类讨论思想
【点评】
本题是一次函数图象判断的基础常考题，核心考查一次函数的系数与图象特征的对应关系，需要熟练掌握$k$、$b$分别对图象的影响，遇到含参数的问题要注意分类讨论参数的取值。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要回忆一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的图象性质：$k$的正负决定直线的倾斜方向，$k＞0$时直线从左下向右上上升，$k＜0$时直线从左上向右下下降；$b$的正负决定直线与$y$轴的交点位置，$b＞0$时交于$y$轴正半轴，$b＜0$时交于$y$轴负半轴。本题中一次函数的系数含参数$m$，因此需要分$m＞0$和$m＜0$两种情况，分别判断对应$k$、$b$的正负，再推导图象经过的象限，最后和选项匹配即可得到答案。
【解析】
对于一次函数$y=-mx+m$（$m≠0$），其一次项系数$k=-m$，常数项（截距）$b=m$，分两种情况讨论：
1. 当$m＞0$时：
$k=-m＜0$，直线从左上向右下倾斜；
$b=m＞0$，直线与$y$轴交于正半轴；
此时函数图象经过第一、二、四象限，和选项B的图象一致。
2. 当$m＜0$时：
$k=-m＞0$，直线从左下向右上倾斜；
$b=m＜0$，直线与$y$轴交于负半轴；
此时函数图象经过第一、三、四象限，题目给出的选项中无符合该情况的图象。
综上，只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象性质；一次函数系数与象限关系；分类讨论思想
【点评】
本题是一次函数图象判断的基础常考题，核心考查一次函数的系数与图象特征的对应关系，需要熟练掌握$k$、$b$分别对图象的影响，遇到含参数的问题要注意分类讨论参数的取值。
【难度系数】
0.7
2. 新考法整体代入法 点$P(a,b)$在函数$y=4x+3$的图象上，则代数式$8a-2b+1$的值等于
-5
。答案
2.-5
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一次函数图象上点的坐标的性质：一次函数图象上的任意一点的坐标都满足对应的函数解析式。首先把点P(a,b)代入函数y=4x+3，得到a和b的数量关系，再观察所求代数式8a-2b+1的结构，发现可以变形为含有刚才得到的a、b关系式的形式，用整体代入法就能直接求出代数式的值，不需要单独求解a、b的具体数值。
【解析】
解：
∵点P(a,b)在函数y=4x+3的图象上
∴将x=a，y=b代入函数解析式，得：
$b = 4a + 3$
移项整理可得：$4a - b = -3$
对代数式$8a - 2b + 1$变形，提取公因式2得：
$8a - 2b + 1 = 2(4a - b) + 1$
将$4a - b = -3$整体代入上式：
原式$= 2×(-3) + 1 = -6 + 1 = -5$
【答案】
-5
【知识点】
1.一次函数点坐标特征
2.代数式求值
3.整体代入法
【点评】
本题考查一次函数图象上点的坐标性质，解题核心是利用点坐标满足函数解析式得到a、b的关系，再运用整体代入思想简化计算，避免了单独求解未知数的繁琐。
【难度系数】
0.75
要解决这道题，首先回忆一次函数图象上点的坐标的性质：一次函数图象上的任意一点的坐标都满足对应的函数解析式。首先把点P(a,b)代入函数y=4x+3，得到a和b的数量关系，再观察所求代数式8a-2b+1的结构，发现可以变形为含有刚才得到的a、b关系式的形式，用整体代入法就能直接求出代数式的值，不需要单独求解a、b的具体数值。
【解析】
解：
∵点P(a,b)在函数y=4x+3的图象上
∴将x=a，y=b代入函数解析式，得：
$b = 4a + 3$
移项整理可得：$4a - b = -3$
对代数式$8a - 2b + 1$变形，提取公因式2得：
$8a - 2b + 1 = 2(4a - b) + 1$
将$4a - b = -3$整体代入上式：
原式$= 2×(-3) + 1 = -6 + 1 = -5$
【答案】
-5
【知识点】
1.一次函数点坐标特征
2.代数式求值
3.整体代入法
【点评】
本题考查一次函数图象上点的坐标性质，解题核心是利用点坐标满足函数解析式得到a、b的关系，再运用整体代入思想简化计算，避免了单独求解未知数的繁琐。
【难度系数】
0.75
3. 已知直线$y=kx+b$经过第一、二、四象限，那么直线$y=-bx+k$经过第
二、三、四
象限.答案
3.二、三、四
解析
【分析】
要判断直线$y=-bx+k$经过的象限，首先要明确一次函数图象经过的象限由一次项系数和常数项的符号共同决定。解题第一步先根据已知直线$y=kx+b$经过第一、二、四象限，结合一次函数图象性质推出$k$、$b$的正负；第二步再推导直线$y=-bx+k$的一次项系数$-b$和常数项$k$的符号；第三步根据系数符号判断该直线经过的象限即可。
【解析】
∵ 直线$y=kx+b$经过第一、二、四象限，
根据一次函数图象性质：当$k＜0$，$b＞0$时，直线经过第一、二、四象限，
∴ 可得$k＜0$，$b＞0$。
对于直线$y=-bx+k$：
一次项系数为$-b$，
∵$b＞0$，
∴$-b＜0$，说明直线从左上向右下倾斜，必过第二、四象限；
常数项为$k$，
∵$k＜0$，说明直线与$y$轴交于负半轴，还会经过第三象限。
因此直线$y=-bx+k$经过第二、三、四象限。
【答案】
二、三、四
【知识点】
一次函数图象与系数的关系
【点评】
本题是一次函数图象性质的基础应用题，解题核心是掌握一次函数的斜率（一次项系数）、截距（常数项）的符号与图象经过象限的对应关系，做题时要注意系数的符号变化，避免符号判断错误。
【难度系数】
0.75
要判断直线$y=-bx+k$经过的象限，首先要明确一次函数图象经过的象限由一次项系数和常数项的符号共同决定。解题第一步先根据已知直线$y=kx+b$经过第一、二、四象限，结合一次函数图象性质推出$k$、$b$的正负；第二步再推导直线$y=-bx+k$的一次项系数$-b$和常数项$k$的符号；第三步根据系数符号判断该直线经过的象限即可。
【解析】
∵ 直线$y=kx+b$经过第一、二、四象限，
根据一次函数图象性质：当$k＜0$，$b＞0$时，直线经过第一、二、四象限，
∴ 可得$k＜0$，$b＞0$。
对于直线$y=-bx+k$：
一次项系数为$-b$，
∵$b＞0$，
∴$-b＜0$，说明直线从左上向右下倾斜，必过第二、四象限；
常数项为$k$，
∵$k＜0$，说明直线与$y$轴交于负半轴，还会经过第三象限。
因此直线$y=-bx+k$经过第二、三、四象限。
【答案】
二、三、四
【知识点】
一次函数图象与系数的关系
【点评】
本题是一次函数图象性质的基础应用题，解题核心是掌握一次函数的斜率（一次项系数）、截距（常数项）的符号与图象经过象限的对应关系，做题时要注意系数的符号变化，避免符号判断错误。
【难度系数】
0.75
4. 新题型动手操作题 已知一次函数$y=2x+4$.
(1)在如图所示的平面直角坐标系中,画出该一次函数的图象;
(2)该一次函数的图象与$x$轴的交点为$A$,与$y$轴的交点为$B$,求$△ AOB$的面积.
(1)在如图所示的平面直角坐标系中,画出该一次函数的图象;
(2)该一次函数的图象与$x$轴的交点为$A$,与$y$轴的交点为$B$,求$△ AOB$的面积.
答案
4.【解】(1)如图所示.
(2)如图,因为 $A(-2,0),B(0,4)$,所以 $AO=2,BO=4$.
所以 $S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OA· OB=\frac{1}{2}×2×4=4$.
解析
【分析】
(1) 一次函数的图象是直线，根据“两点确定一条直线”，只需找到函数图象上的两个点即可画图，通常选取与x轴、y轴的交点，计算更简便：令y=0可求出与x轴交点的横坐标，令x=0可求出与y轴交点的纵坐标，描出两点后连线即可得到函数图象。
(2) 要求△AOB的面积，首先需要确定A、B两点的坐标，进而得到直角边OA、OB的长度，由于x轴与y轴垂直，△AOB是直角三角形，利用直角三角形面积公式即可计算面积。
【解析】
(1) 对于一次函数$y=2x+4$：
令$x=0$，得$y=4$，即与y轴交点为$B(0,4)$；
令$y=0$，得$2x+4=0$，解得$x=-2$，即与x轴交点为$A(-2,0)$；
在平面直角坐标系中描出点$A(-2,0)$和点$B(0,4)$，过这两点画直线，即为$y=2x+4$的图象。
(2) 由(1)可知$A(-2,0)$，$B(0,4)$，因此$OA=|-2|=2$，$OB=|4|=4$；
又因为x轴⊥y轴，即$∠ AOB=90°$，所以$△ AOB$是直角三角形，
则$S_{△ AOB}=\frac{1}{2} × OA × OB = \frac{1}{2} × 2 × 4 = 4$。
【答案】
(1)如图所示.
(2)△AOB的面积为4
【知识点】
一次函数图象绘制，一次函数与坐标轴交点，三角形面积计算
【点评】
本题是基础的一次函数应用类题目，重点考查一次函数图象的画法和与坐标轴交点的求解，只要掌握两点法画一次函数图象的方法，能正确代入求交点坐标，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
(1) 一次函数的图象是直线，根据“两点确定一条直线”，只需找到函数图象上的两个点即可画图，通常选取与x轴、y轴的交点，计算更简便：令y=0可求出与x轴交点的横坐标，令x=0可求出与y轴交点的纵坐标，描出两点后连线即可得到函数图象。
(2) 要求△AOB的面积，首先需要确定A、B两点的坐标，进而得到直角边OA、OB的长度，由于x轴与y轴垂直，△AOB是直角三角形，利用直角三角形面积公式即可计算面积。
【解析】
(1) 对于一次函数$y=2x+4$：
令$x=0$，得$y=4$，即与y轴交点为$B(0,4)$；
令$y=0$，得$2x+4=0$，解得$x=-2$，即与x轴交点为$A(-2,0)$；
在平面直角坐标系中描出点$A(-2,0)$和点$B(0,4)$，过这两点画直线，即为$y=2x+4$的图象。
(2) 由(1)可知$A(-2,0)$，$B(0,4)$，因此$OA=|-2|=2$，$OB=|4|=4$；
又因为x轴⊥y轴，即$∠ AOB=90°$，所以$△ AOB$是直角三角形，
则$S_{△ AOB}=\frac{1}{2} × OA × OB = \frac{1}{2} × 2 × 4 = 4$。
【答案】
(1)如图所示.
(2)△AOB的面积为4
【知识点】
一次函数图象绘制，一次函数与坐标轴交点，三角形面积计算
【点评】
本题是基础的一次函数应用类题目，重点考查一次函数图象的画法和与坐标轴交点的求解，只要掌握两点法画一次函数图象的方法，能正确代入求交点坐标，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
5. 关于函数$y=-x+1$的图象与性质，下列说法错误的是（
A.图象不经过第三象限
B.当$-2≤ x≤1$时，函数$y$有最小值3
C.$y$随$x$的增大而减小
D.图象是与直线$y=-x-1$平行的一条直线
B
）A.图象不经过第三象限
B.当$-2≤ x≤1$时，函数$y$有最小值3
C.$y$随$x$的增大而减小
D.图象是与直线$y=-x-1$平行的一条直线
答案
5.B 【点拨】因为 $y=-x+1,k=-1＜0,b=1＞0$,所以该函数图象经过第一、二、四象限,不经过第三象限,故 A选项正确,不符合题意;因为 $k=-1＜0$,所以 $y$ 随 $x$ 的增大而减小,所以当$-2≤x≤1$时,函数 $y$ 有最小值,为$-1+1=0$,故 B 选项错误,符合题意,C 选项正确,不符合题意;$y=-x+1$ 与 $y=-x-1$ 中一次项系数都为 $-1$,所以 $y=-x+1$ 的图象是与直线 $y=-x-1$ 平行的一条直线,故 D 选项正确,不符合题意,故选 B.
解析
【分析】
这是一道一次函数图象与性质的判断题，解题时先明确函数解析式中k、b的取值，再结合一次函数的相关性质逐一判断各选项正误即可。具体思路：1.先提取一次函数$y=-x+1$的一次项系数$k=-1$，常数项$b=1$；2.结合k、b的符号判断函数经过的象限，验证A选项；3.根据k的符号判断函数增减性，验证C选项，再结合增减性计算给定区间内的函数最值，验证B选项；4.根据两一次函数平行的条件（k值相等）验证D选项，最终选出错误的选项。
【解析】
对于一次函数$y=-x+1$，其中$k=-1＜0$，$b=1＞0$。
A选项：$k＜0$，$b＞0$，函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，该选项说法正确，不符合题意；
C选项：$k=-1＜0$，所以$y$随$x$的增大而减小，该选项说法正确，不符合题意；
B选项：因为$y$随$x$的增大而减小，所以当$-2≤x≤1$时，$x$取最大值1时$y$取得最小值，最小值为$y=-1+1=0$，不是3，该选项说法错误，符合题意；
D选项：一次函数图象平行的条件是一次项系数$k$相等，$y=-x+1$与$y=-x-1$的$k$值均为$-1$，所以两直线平行，该选项说法正确，不符合题意。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象与性质，一次函数的增减性，两直线平行的判定
【点评】
本题考查一次函数基础性质的综合应用，属于常考基础题型，解题的关键是熟练掌握k、b对一次函数图象、增减性的影响，求解区间内最值时要结合增减性判断最值对应的自变量取值，避免混淆大小关系出错。
【难度系数】
0.7
这是一道一次函数图象与性质的判断题，解题时先明确函数解析式中k、b的取值，再结合一次函数的相关性质逐一判断各选项正误即可。具体思路：1.先提取一次函数$y=-x+1$的一次项系数$k=-1$，常数项$b=1$；2.结合k、b的符号判断函数经过的象限，验证A选项；3.根据k的符号判断函数增减性，验证C选项，再结合增减性计算给定区间内的函数最值，验证B选项；4.根据两一次函数平行的条件（k值相等）验证D选项，最终选出错误的选项。
【解析】
对于一次函数$y=-x+1$，其中$k=-1＜0$，$b=1＞0$。
A选项：$k＜0$，$b＞0$，函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，该选项说法正确，不符合题意；
C选项：$k=-1＜0$，所以$y$随$x$的增大而减小，该选项说法正确，不符合题意；
B选项：因为$y$随$x$的增大而减小，所以当$-2≤x≤1$时，$x$取最大值1时$y$取得最小值，最小值为$y=-1+1=0$，不是3，该选项说法错误，符合题意；
D选项：一次函数图象平行的条件是一次项系数$k$相等，$y=-x+1$与$y=-x-1$的$k$值均为$-1$，所以两直线平行，该选项说法正确，不符合题意。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象与性质，一次函数的增减性，两直线平行的判定
【点评】
本题考查一次函数基础性质的综合应用，属于常考基础题型，解题的关键是熟练掌握k、b对一次函数图象、增减性的影响，求解区间内最值时要结合增减性判断最值对应的自变量取值，避免混淆大小关系出错。
【难度系数】
0.7
6.若点$A(x_1,-1),B(x_2,-2),C(x_3,3)$在一次函数$y=-2x+m$（$m$是常数）的图象上，则$x_1,x_2,x_3$的大小关系是（
A.$x_1＞x_2＞x_3$
B.$x_2＞x_1＞x_3$
C.$x_1＞x_3＞x_2$
D.$x_3＞x_2＞x_1$
B
）A.$x_1＞x_2＞x_3$
B.$x_2＞x_1＞x_3$
C.$x_1＞x_3＞x_2$
D.$x_3＞x_2＞x_1$
答案
6.B 【点拨】因为一次函数 $y=-2x+m$($m$ 是常数)中,$-2＜0$,所以 $y$ 随 $x$ 的增大而减小. 因为 $A(x_1,-1)$,$B(x_2,-2),C(x_3,3)$在一次函数 $y=-2x+m$($m$ 是常数)的图象上,$-2＜-1＜3$,所以 $x_2＞x_1＞x_3$.
解析
【分析】
要比较一次函数图象上三个点横坐标的大小，可根据一次函数的增减性判断：第一步先观察一次函数解析式中k的符号，确定y随x的变化规律；第二步整理三个点纵坐标的大小关系；第三步结合增减性，将纵坐标的大小关系对应转换为横坐标的大小关系即可。
【解析】
解：在一次函数$y=-2x+m$中，$k=-2＜0$，
∴$y$随$x$的增大而减小，即纵坐标$y$的值越小，对应的横坐标$x$的值越大。
已知点A、B、C的纵坐标分别为$-1$、$-2$、$3$，易得$-2＜-1＜3$，
结合函数增减性可得横坐标大小关系为：$x_2＞x_1＞x_3$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一次函数增减性的应用，解题的关键是准确根据k的符号判断函数的增减规律，再结合点的坐标特征推导横坐标的大小关系。
【难度系数】
0.8
要比较一次函数图象上三个点横坐标的大小，可根据一次函数的增减性判断：第一步先观察一次函数解析式中k的符号，确定y随x的变化规律；第二步整理三个点纵坐标的大小关系；第三步结合增减性，将纵坐标的大小关系对应转换为横坐标的大小关系即可。
【解析】
解：在一次函数$y=-2x+m$中，$k=-2＜0$，
∴$y$随$x$的增大而减小，即纵坐标$y$的值越小，对应的横坐标$x$的值越大。
已知点A、B、C的纵坐标分别为$-1$、$-2$、$3$，易得$-2＜-1＜3$，
结合函数增减性可得横坐标大小关系为：$x_2＞x_1＞x_3$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一次函数增减性的应用，解题的关键是准确根据k的符号判断函数的增减规律，再结合点的坐标特征推导横坐标的大小关系。
【难度系数】
0.8
7. 一次函数$y=mx+|m-1|$的图象过点$(0,2)$，且$y$随$x$的增大而增大，则$m=$
3
.答案
7.3 【点拨】因为一次函数 $y=mx+|m-1|$ 的图象过点$(0,2)$,所以$|m-1|=2$,解得 $m=3$ 或 $-1$. 因为 $y$ 随 $x$ 的增大而增大,所以 $m＞0$,所以 $m=3$.
解析
【分析】
解题可分两步进行：第一步，根据函数图象经过已知点的特征，把点的坐标代入函数解析式，得到关于m的绝对值方程，求解出m的所有可能取值；第二步，结合一次函数的增减性规律：当一次项系数大于0时，y随x的增大而增大，筛选出符合条件的m值即可。
【解析】
∵ 一次函数$y=mx+|m-1|$的图象过点$(0,2)$，
∴ 将$x=0$，$y=2$代入解析式，得：
$2=m×0+|m-1|$，即$|m-1|=2$，
去绝对值得：$m-1=2$或$m-1=-2$，
解得：$m=3$或$m=-1$。
又
∵ $y$随$x$的增大而增大，
∴ 一次项系数$m＞0$，
因此$m=-1$不符合要求，舍去，
∴ $m=3$。
【答案】
3
【知识点】
一次函数的增减性，函数图象上点的坐标特征，解绝对值方程
【点评】
本题是一次函数性质的基础应用题，解题核心是先利用点在函数图象上的坐标特征求出参数的可能值，再结合增减性的限制条件筛选正确结果，注意不要遗漏一次函数增减性对一次项系数的要求。
【难度系数】
0.7
解题可分两步进行：第一步，根据函数图象经过已知点的特征，把点的坐标代入函数解析式，得到关于m的绝对值方程，求解出m的所有可能取值；第二步，结合一次函数的增减性规律：当一次项系数大于0时，y随x的增大而增大，筛选出符合条件的m值即可。
【解析】
∵ 一次函数$y=mx+|m-1|$的图象过点$(0,2)$，
∴ 将$x=0$，$y=2$代入解析式，得：
$2=m×0+|m-1|$，即$|m-1|=2$，
去绝对值得：$m-1=2$或$m-1=-2$，
解得：$m=3$或$m=-1$。
又
∵ $y$随$x$的增大而增大，
∴ 一次项系数$m＞0$，
因此$m=-1$不符合要求，舍去，
∴ $m=3$。
【答案】
3
【知识点】
一次函数的增减性，函数图象上点的坐标特征，解绝对值方程
【点评】
本题是一次函数性质的基础应用题，解题核心是先利用点在函数图象上的坐标特征求出参数的可能值，再结合增减性的限制条件筛选正确结果，注意不要遗漏一次函数增减性对一次项系数的要求。
【难度系数】
0.7
8. [2026滁州期中] 在平面直角坐标系中，将正比例函数$y=-2x$的图象向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（
A.$y=-2x+3$
B.$y=-2x+6$
C.$y=-2x-3$
D.$y=-2x-6$
C
）A.$y=-2x+3$
B.$y=-2x+6$
C.$y=-2x-3$
D.$y=-2x-6$
答案
8.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确一次函数图象平移的基本规律：一次函数平移时，x的系数k保持不变，仅改变常数项的数值，其中上下平移遵循“上加下减”的规则，即图象向上平移n个单位，就在原函数表达式后加n；向下平移n个单位，就在原函数表达式后减n。本题是将正比例函数y=-2x向下平移3个单位，直接套用该规则计算即可。
【解析】
一次函数图象平移时，斜率k（即x的系数）不变，上下平移的规律为“上加下减”，即平移方向为下时，在原函数整体的基础上减去平移的单位长度。
原正比例函数为$y=-2x$，向下平移3个单位后，所得函数表达式为：
$y=-2x - 3$
因此对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一次函数平移规律
2. 正比例函数的概念
【点评】
本题是函数平移的基础考查题，核心是牢记上下平移“上加下减”的运算规则，注意不要与左右平移的规律混淆，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先需要明确一次函数图象平移的基本规律：一次函数平移时，x的系数k保持不变，仅改变常数项的数值，其中上下平移遵循“上加下减”的规则，即图象向上平移n个单位，就在原函数表达式后加n；向下平移n个单位，就在原函数表达式后减n。本题是将正比例函数y=-2x向下平移3个单位，直接套用该规则计算即可。
【解析】
一次函数图象平移时，斜率k（即x的系数）不变，上下平移的规律为“上加下减”，即平移方向为下时，在原函数整体的基础上减去平移的单位长度。
原正比例函数为$y=-2x$，向下平移3个单位后，所得函数表达式为：
$y=-2x - 3$
因此对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一次函数平移规律
2. 正比例函数的概念
【点评】
本题是函数平移的基础考查题，核心是牢记上下平移“上加下减”的运算规则，注意不要与左右平移的规律混淆，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.85
9.将一次函数$y=x-2$的图象向上平移$m$个单位长度后经过点$(1,4)$，则$m$的值为（
A.6
B.5
C.－5
D.－6
B
）A.6
B.5
C.－5
D.－6
答案
9.B 【点拨】因为将一次函数 $y=x-2$ 的图象向上平移 $m$ 个单位长度,所以平移后图象对应的表达式为 $y=x-2+m$. 因为平移后的图象经过点 $(1,4)$,所以 $4=1-2+m$,解得 $m=5$.
解析
【分析】
解题时首先回忆一次函数图象的平移规律，向上平移时只需在原函数表达式的常数项后加上平移的单位长度，即可得到平移后的函数表达式；再根据函数图象经过的点的坐标满足函数表达式，将点的坐标代入平移后的表达式，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
根据一次函数图象“上加下减”的平移规律，将$y=x-2$的图象向上平移$m$个单位长度后，得到的函数表达式为：
$y=x-2+m$
∵平移后的图象经过点$(1,4)$，将$x=1$，$y=4$代入上述表达式得：
$4=1-2+m$
计算等号右侧得$4=-1+m$，移项解得$m=5$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象平移规律；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，重点考查一次函数的平移规则以及函数图象上点的坐标与函数解析式的对应关系，熟练掌握“上加下减、左加右减”的平移口诀即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆一次函数图象的平移规律，向上平移时只需在原函数表达式的常数项后加上平移的单位长度，即可得到平移后的函数表达式；再根据函数图象经过的点的坐标满足函数表达式，将点的坐标代入平移后的表达式，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
根据一次函数图象“上加下减”的平移规律，将$y=x-2$的图象向上平移$m$个单位长度后，得到的函数表达式为：
$y=x-2+m$
∵平移后的图象经过点$(1,4)$，将$x=1$，$y=4$代入上述表达式得：
$4=1-2+m$
计算等号右侧得$4=-1+m$，移项解得$m=5$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象平移规律；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，重点考查一次函数的平移规则以及函数图象上点的坐标与函数解析式的对应关系，熟练掌握“上加下减、左加右减”的平移口诀即可快速解题。
【难度系数】
0.8
10. 一次函数 $ y=2x+b $ 的图象向上平移3个单位长度后经过原点，则 $ b= $
-3
。答案
10.-3 【点拨】直线 $y=2x+b$ 向上平移 3 个单位长度后对应的表达式为 $y=2x+b+3$. 因为平移后的直线经过原点 $(0,0)$,所以 $2×0+b+3=0$,解得 $b=-3$.
解析
【分析】
解决本题可按以下思路推导：首先回忆一次函数图象上下平移的规律，上下平移时仅调整常数项，遵循“上加下减”的规则，据此写出平移后的函数解析式；再根据平移后图象过原点的条件，原点坐标为(0,0)，将坐标代入平移后的解析式，得到关于b的方程，解方程即可求出b的值。
【解析】
第一步，求平移后的函数解析式：
一次函数$y=2x+b$向上平移3个单位长度，根据“上加下减”的平移规律，平移后对应的函数表达式为$y=2x+b+3$。
第二步，代入原点坐标列方程求解：
因为平移后的直线经过原点$(0,0)$，将$x=0$，$y=0$代入$y=2x+b+3$，可得：
$2×0 + b + 3 = 0$
解得$b=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
1.一次函数图象平移规律 2.一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查一次函数的平移性质及函数图象上点的坐标与解析式的关系，解题核心是熟练掌握一次函数平移“上加下减”的变化规则，属于基础类题目，牢记相关知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解决本题可按以下思路推导：首先回忆一次函数图象上下平移的规律，上下平移时仅调整常数项，遵循“上加下减”的规则，据此写出平移后的函数解析式；再根据平移后图象过原点的条件，原点坐标为(0,0)，将坐标代入平移后的解析式，得到关于b的方程，解方程即可求出b的值。
【解析】
第一步，求平移后的函数解析式：
一次函数$y=2x+b$向上平移3个单位长度，根据“上加下减”的平移规律，平移后对应的函数表达式为$y=2x+b+3$。
第二步，代入原点坐标列方程求解：
因为平移后的直线经过原点$(0,0)$，将$x=0$，$y=0$代入$y=2x+b+3$，可得：
$2×0 + b + 3 = 0$
解得$b=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
1.一次函数图象平移规律 2.一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查一次函数的平移性质及函数图象上点的坐标与解析式的关系，解题核心是熟练掌握一次函数平移“上加下减”的变化规则，属于基础类题目，牢记相关知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.9
11. 新考法假设分析法 在同一平面直角坐标系中，一次函数$y=ax+a^2$与$y=a^2x+a$的图象可能是（
A
B
C
D
D
）A
B
C
D
答案
11.D
解析
【分析】
解题时先利用一次函数$y=kx+b$的核心性质：$k$（斜率）决定直线升降（$k＞0$直线上升，$k＜0$直线下降），$b$（截距）决定直线与$y$轴的交点位置（$b＞0$交于$y$轴正半轴，$b＜0$交于$y$轴负半轴）。本题中两个函数都是一次函数，因此$a≠0$，可得$a^2$恒为正数，先通过第二个函数的斜率特征排除错误选项，再分类讨论$a$的正负，结合截距特征进一步排除，最后联立方程求交点横坐标，结合交点位置锁定正确选项。
【解析】
两个函数为一次函数，因此$a≠0$，故$a^2＞0$：
1. 分析$y=a^2x+a$的斜率：$k=a^2＞0$，该直线一定呈上升趋势，选项A中两条直线均为下降趋势，排除A；
2. 分类讨论$a$的符号：
① 若$a＞0$：$y=ax+a^2$的斜率$a＞0$（直线上升），截距$a^2＞0$（交$y$轴正半轴）；$y=a^2x+a$的截距$a＞0$（交$y$轴正半轴），两条直线都上升且都交$y$轴正半轴，无对应选项，排除该情况；
② 若$a＜0$：$y=ax+a^2$的斜率$a＜0$（直线下降），截距$a^2＞0$（交$y$轴正半轴），直线过一、二、四象限；$y=a^2x+a$的截距$a＜0$（交$y$轴负半轴），直线过一、三、四象限，选项B中上升直线交于$y$轴正半轴，不符合，排除B；
3. 求两函数交点：联立$\begin{cases}y=ax+a^2\\y=a^2x+a\end{cases}$，整理得$ax+a^2=a^2x+a$，即$x(a-a^2)=a-a^2$，因$a≠0$且$a≠1$（若$a=1$两直线重合，选项中无重合图像），故$x=1$，即交点横坐标为1。
此时交点纵坐标$y=a+a^2$：当$a＜-1$时，$a+a^2=a(a+1)＞0$，交点在$x$轴上方；当$-1＜a＜0$时，$a+a^2＜0$，交点在$x$轴下方。
选项C中交点在$x$轴上方，但下降直线与$x$轴交点在0~1之间，对应$-1＜a＜0$，此时交点应在$x$轴下方，矛盾，排除C；选项D符合$a＜-1$的所有特征。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图像与性质，一次函数交点求解
【点评】
本题需要结合一次函数的斜率、截距性质，通过分类讨论参数范围、联立求交点的方法逐一排除错误选项，重点考查数形结合和分类讨论的数学思想，是一次函数性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
解题时先利用一次函数$y=kx+b$的核心性质：$k$（斜率）决定直线升降（$k＞0$直线上升，$k＜0$直线下降），$b$（截距）决定直线与$y$轴的交点位置（$b＞0$交于$y$轴正半轴，$b＜0$交于$y$轴负半轴）。本题中两个函数都是一次函数，因此$a≠0$，可得$a^2$恒为正数，先通过第二个函数的斜率特征排除错误选项，再分类讨论$a$的正负，结合截距特征进一步排除，最后联立方程求交点横坐标，结合交点位置锁定正确选项。
【解析】
两个函数为一次函数，因此$a≠0$，故$a^2＞0$：
1. 分析$y=a^2x+a$的斜率：$k=a^2＞0$，该直线一定呈上升趋势，选项A中两条直线均为下降趋势，排除A；
2. 分类讨论$a$的符号：
① 若$a＞0$：$y=ax+a^2$的斜率$a＞0$（直线上升），截距$a^2＞0$（交$y$轴正半轴）；$y=a^2x+a$的截距$a＞0$（交$y$轴正半轴），两条直线都上升且都交$y$轴正半轴，无对应选项，排除该情况；
② 若$a＜0$：$y=ax+a^2$的斜率$a＜0$（直线下降），截距$a^2＞0$（交$y$轴正半轴），直线过一、二、四象限；$y=a^2x+a$的截距$a＜0$（交$y$轴负半轴），直线过一、三、四象限，选项B中上升直线交于$y$轴正半轴，不符合，排除B；
3. 求两函数交点：联立$\begin{cases}y=ax+a^2\\y=a^2x+a\end{cases}$，整理得$ax+a^2=a^2x+a$，即$x(a-a^2)=a-a^2$，因$a≠0$且$a≠1$（若$a=1$两直线重合，选项中无重合图像），故$x=1$，即交点横坐标为1。
此时交点纵坐标$y=a+a^2$：当$a＜-1$时，$a+a^2=a(a+1)＞0$，交点在$x$轴上方；当$-1＜a＜0$时，$a+a^2＜0$，交点在$x$轴下方。
选项C中交点在$x$轴上方，但下降直线与$x$轴交点在0~1之间，对应$-1＜a＜0$，此时交点应在$x$轴下方，矛盾，排除C；选项D符合$a＜-1$的所有特征。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图像与性质，一次函数交点求解
【点评】
本题需要结合一次函数的斜率、截距性质，通过分类讨论参数范围、联立求交点的方法逐一排除错误选项，重点考查数形结合和分类讨论的数学思想，是一次函数性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
12. ★★[武汉自主招生] 已知 $ k = \frac{a + b - c}{c} = \frac{a - b + c}{b} = \frac{-a + b + c}{a} $，且 $ \sqrt{m - 5} + n^2 + 9 = 6n $，则关于自变量x的一次函数 $ y = kx - mn $ 的图象一定经过的象限是（
A.一、二象限
B.三、四象限
C.二、三象限
D.一、四象限
B
）A.一、二象限
B.三、四象限
C.二、三象限
D.一、四象限
答案
12.B 【点拨】因为 $k = \frac{a + b - c}{c} = \frac{a - b + c}{b} = \frac{-a + b + c}{a}$,所以当 $a+b+c≠0$ 时,$k=\frac{a+b-c+a-b+c-a+b+c}{c+b+a}=1$,当 $a+b+c=0$ 时,$a+b=-c$,则 $k=\frac{-c-c}{c}=-2$. 因为 $\sqrt{m-5}+n^2+9=6n$,所以 $\sqrt{m-5}+(n-3)^2=0$,所以 $m-5=0,n-3=0$,解得 $m=5,n=3$. 当 $k=1$ 时,一次函数的表达式为 $y=x-15$,其图象经过第一、三、四象限;当 $k=-2$ 时,一次函数的表达式为 $y=-2x-15$,其图象经过第二、三、四象限. 所以一次函数 $y=kx-mn$ 的图象一定经过第三、四象限.
解析
【分析】
本题需分三步思考求解：第一步求k的值，看到连等的比例式，可运用等比性质计算，但要注意等比性质成立的前提是所有分母之和不为0，因此需分$a+b+c≠0$和$a+b+c=0$两种情况讨论，避免漏解；第二步求m、n的值，先将含m、n的等式变形为两个非负数相加的形式，再根据“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的性质求出m、n，即可得到mn的值；第三步将k的两个可能值和mn分别代入一次函数解析式，分析两个函数图象经过的象限，取两种情况都经过的象限即为答案。
【解析】
1. 计算k的取值：
已知$k = \frac{a + b - c}{c} = \frac{a - b + c}{b} = \frac{-a + b + c}{a}$，
① 当$a+b+c≠0$时，根据等比性质可得：
$k=\frac{(a + b - c)+(a - b + c)+(-a + b + c)}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$；
② 当$a+b+c=0$时，$a+b=-c$，代入比例式得：
$k=\frac{(a+b)-c}{c}=\frac{-c-c}{c}=-2$；
因此k的取值为1或-2。
2. 计算mn的值：
对$\sqrt{m - 5} + n^2 + 9 = 6n$移项变形，得$\sqrt{m - 5} + (n-3)^2 = 0$。
因为$\sqrt{m-5}≥0$，$(n-3)^2≥0$，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，因此：
$\begin{cases}m-5=0 \\ n-3=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=5 \\ n=3\end{cases}$，故$mn=5×3=15$。
3. 分析一次函数经过的象限：
① 当$k=1$时，函数为$y=x-15$，$k＞0$，$b=-15＜0$，图象经过第一、三、四象限；
② 当$k=-2$时，函数为$y=-2x-15$，$k＜0$，$b=-15＜0$，图象经过第二、三、四象限。
对比两种情况，函数图象一定经过第三、四象限。
【答案】
B
【知识点】
等比性质；非负数的性质；一次函数的图象性质
【点评】
本题综合考查了比例计算、非负数性质和一次函数图象的相关知识，解题的关键是掌握分类讨论思想求k的值，易错点是容易漏掉$a+b+c=0$的情况导致错解。
【难度系数】
0.6
本题需分三步思考求解：第一步求k的值，看到连等的比例式，可运用等比性质计算，但要注意等比性质成立的前提是所有分母之和不为0，因此需分$a+b+c≠0$和$a+b+c=0$两种情况讨论，避免漏解；第二步求m、n的值，先将含m、n的等式变形为两个非负数相加的形式，再根据“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的性质求出m、n，即可得到mn的值；第三步将k的两个可能值和mn分别代入一次函数解析式，分析两个函数图象经过的象限，取两种情况都经过的象限即为答案。
【解析】
1. 计算k的取值：
已知$k = \frac{a + b - c}{c} = \frac{a - b + c}{b} = \frac{-a + b + c}{a}$，
① 当$a+b+c≠0$时，根据等比性质可得：
$k=\frac{(a + b - c)+(a - b + c)+(-a + b + c)}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$；
② 当$a+b+c=0$时，$a+b=-c$，代入比例式得：
$k=\frac{(a+b)-c}{c}=\frac{-c-c}{c}=-2$；
因此k的取值为1或-2。
2. 计算mn的值：
对$\sqrt{m - 5} + n^2 + 9 = 6n$移项变形，得$\sqrt{m - 5} + (n-3)^2 = 0$。
因为$\sqrt{m-5}≥0$，$(n-3)^2≥0$，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，因此：
$\begin{cases}m-5=0 \\ n-3=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=5 \\ n=3\end{cases}$，故$mn=5×3=15$。
3. 分析一次函数经过的象限：
① 当$k=1$时，函数为$y=x-15$，$k＞0$，$b=-15＜0$，图象经过第一、三、四象限；
② 当$k=-2$时，函数为$y=-2x-15$，$k＜0$，$b=-15＜0$，图象经过第二、三、四象限。
对比两种情况，函数图象一定经过第三、四象限。
【答案】
B
【知识点】
等比性质；非负数的性质；一次函数的图象性质
【点评】
本题综合考查了比例计算、非负数性质和一次函数图象的相关知识，解题的关键是掌握分类讨论思想求k的值，易错点是容易漏掉$a+b+c=0$的情况导致错解。
【难度系数】
0.6
13. ★★[2026无锡期末]函数$y=5-|x-3|$，当$-1≤ x≤ a$时，这个函数的最大值为$3a$，则$a$的值为
1
.答案
13.1 【点拨】当 $x＜3$ 时,$y=5-|x-3|=5+x-3=x+2$,当 $x≥3$ 时,$y=5-|x-3|=5-x+3=-x+8$,函数图象如图所示.又因为当 $-1≤x≤a$ 时,这个函数的最大值为 $3a$,所以当 $a＜3$ 时,$a+2=3a$,解得 $a=1$;当 $a≥3$ 时,$5=3a$,解得 $a=\frac{5}{3}$(舍去).综上所述,$a$ 的值为 1.
解析
【分析】
本题是含绝对值的一次函数最值问题，解题思路如下：首先根据绝对值的性质，以x=3为分界点将函数拆分为两段一次函数；接着分析两段函数的增减性，明确函数的最大值位置；最后结合自变量的取值范围$-1≤x≤a$，分$a＜3$和$a≥3$两种情况讨论最大值的对应表达式，列方程求解后验证结果是否符合分类前提，舍去不符合的解即可。
【解析】
先对函数去绝对值分段化简：
1. 当$x＜3$时，$x-3＜0$，因此$|x-3|=3-x$，代入得$y=5-(3-x)=x+2$，此时$y$随$x$的增大而增大；
2. 当$x≥3$时，$x-3≥0$，因此$|x-3|=x-3$，代入得$y=5-(x-3)=-x+8$，此时$y$随$x$的增大而减小；
由此可知函数在$x=3$处取得最大值，最大值为$5$。
结合$-1≤x≤a$时最大值为$3a$，分两种情况讨论：
① 若$a＜3$，在$-1≤x≤a$范围内$y$随$x$增大而增大，最大值在$x=a$处取得，可得方程：
$a+2=3a$，解得$a=1$，符合$a＜3$的前提，成立；
② 若$a≥3$，在$-1≤x≤a$范围内函数最大值为$5$，可得方程：
$5=3a$，解得$a=\frac{5}{3}$，但$\frac{5}{3}＜3$，不符合$a≥3$的前提，舍去。
综上，$a$的值为$1$。
【答案】
1
【知识点】
一次函数增减性，绝对值化简，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查含绝对值的一次函数的最值求解，解题的核心是通过去绝对值将函数转化为分段一次函数，明确各段增减性和整体最高点，再结合自变量范围分类讨论，求解后注意验证结果是否符合分类前提，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
本题是含绝对值的一次函数最值问题，解题思路如下：首先根据绝对值的性质，以x=3为分界点将函数拆分为两段一次函数；接着分析两段函数的增减性，明确函数的最大值位置；最后结合自变量的取值范围$-1≤x≤a$，分$a＜3$和$a≥3$两种情况讨论最大值的对应表达式，列方程求解后验证结果是否符合分类前提，舍去不符合的解即可。
【解析】
先对函数去绝对值分段化简：
1. 当$x＜3$时，$x-3＜0$，因此$|x-3|=3-x$，代入得$y=5-(3-x)=x+2$，此时$y$随$x$的增大而增大；
2. 当$x≥3$时，$x-3≥0$，因此$|x-3|=x-3$，代入得$y=5-(x-3)=-x+8$，此时$y$随$x$的增大而减小；
由此可知函数在$x=3$处取得最大值，最大值为$5$。
结合$-1≤x≤a$时最大值为$3a$，分两种情况讨论：
① 若$a＜3$，在$-1≤x≤a$范围内$y$随$x$增大而增大，最大值在$x=a$处取得，可得方程：
$a+2=3a$，解得$a=1$，符合$a＜3$的前提，成立；
② 若$a≥3$，在$-1≤x≤a$范围内函数最大值为$5$，可得方程：
$5=3a$，解得$a=\frac{5}{3}$，但$\frac{5}{3}＜3$，不符合$a≥3$的前提，舍去。
综上，$a$的值为$1$。
【答案】
1
【知识点】
一次函数增减性，绝对值化简，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查含绝对值的一次函数的最值求解，解题的核心是通过去绝对值将函数转化为分段一次函数，明确各段增减性和整体最高点，再结合自变量范围分类讨论，求解后注意验证结果是否符合分类前提，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
14. [芜湖一中自主招生]如图,有一种动画程序,屏幕上方正方形区域ABCD表示黑色物体甲,其中$A(1,1),B(2,1),C(2,2),D(1,2)$,用信号枪沿直线$y=2x+b$发射信号.当信号遇到区域甲时,甲由黑变白,则当b的取值范围为
$-3≤b≤0$
时,甲能由黑变白.答案
14.$-3≤b≤0$ 【点拨】根据题意可知,当直线 $y=2x+b$ 的图象过正方形 $ABCD$ 区域上的点时,即可得到满足条件的 $b$ 值. 当 $b=0$ 时,直线 $y=2x+b$ 过原点,对 $b=0$ 时的函数图象进行平移可知,当直线 $y=2x+b$ 的函数图象过点 $B$ 时所得的 $b$ 值最小,过点 $D$ 时所得的 $b$ 值最大. 将点 $B$ 的坐标 $(2,1)$ 和点 $D$ 的坐标 $(1,2)$ 分别代入 $y=2x+b$,得 $1=2×2+b,2=2×1+b$,解得 $b$ 的最小值为 $-3$,$b$ 的最大值为 $0$,所以 $b$ 的取值范围是 $-3≤b≤0$.
解析
【分析】
观察直线解析式$y=2x+b$，斜率$k=2$固定，说明这是一组互相平行的直线，$b$是直线与y轴的交点纵坐标，直线上下平移时$b$随之变化：向上平移$b$增大，向下平移$b$减小。题目要求信号碰到正方形区域时甲变白，即直线与正方形$ABCD$有公共点时符合要求，因此只需找到直线刚好接触正方形的两个临界状态，也就是直线经过正方形顶点时对应的$b$的最大值和最小值，就能得到$b$的取值范围。
【解析】
解：已知直线解析式为$y=2x+b$，斜率$k=2$固定，属于平行直线系，平移时仅截距$b$发生变化。
要使直线与正方形$ABCD$有公共点，计算临界状态的$b$值：
1. 当直线经过顶点$D(1,2)$时，$b$取得最大值：
将$x=1,y=2$代入$y=2x+b$，得$2=2×1+b$，解得$b=0$。
2. 当直线经过顶点$B(2,1)$时，$b$取得最小值：
将$x=2,y=1$代入$y=2x+b$，得$1=2×2+b$，解得$b=-3$。
因为直线经过边界点时也符合“碰到区域甲”的要求，因此$b$的取值范围是$-3≤b≤0$。
【答案】
$-3≤b≤0$
【知识点】
1.一次函数的图象与性质
2.待定系数法求解析式
3.一次函数平移规律
【点评】
本题是一次函数与几何结合的典型题型，核心是抓住固定斜率的直线平移时截距的变化规律，准确找到直线与正方形有交点的两个临界顶点代入计算，解题时要注意边界点属于有效范围，不等号需添加等号。
【难度系数】
0.6
观察直线解析式$y=2x+b$，斜率$k=2$固定，说明这是一组互相平行的直线，$b$是直线与y轴的交点纵坐标，直线上下平移时$b$随之变化：向上平移$b$增大，向下平移$b$减小。题目要求信号碰到正方形区域时甲变白，即直线与正方形$ABCD$有公共点时符合要求，因此只需找到直线刚好接触正方形的两个临界状态，也就是直线经过正方形顶点时对应的$b$的最大值和最小值，就能得到$b$的取值范围。
【解析】
解：已知直线解析式为$y=2x+b$，斜率$k=2$固定，属于平行直线系，平移时仅截距$b$发生变化。
要使直线与正方形$ABCD$有公共点，计算临界状态的$b$值：
1. 当直线经过顶点$D(1,2)$时，$b$取得最大值：
将$x=1,y=2$代入$y=2x+b$，得$2=2×1+b$，解得$b=0$。
2. 当直线经过顶点$B(2,1)$时，$b$取得最小值：
将$x=2,y=1$代入$y=2x+b$，得$1=2×2+b$，解得$b=-3$。
因为直线经过边界点时也符合“碰到区域甲”的要求，因此$b$的取值范围是$-3≤b≤0$。
【答案】
$-3≤b≤0$
【知识点】
1.一次函数的图象与性质
2.待定系数法求解析式
3.一次函数平移规律
【点评】
本题是一次函数与几何结合的典型题型，核心是抓住固定斜率的直线平移时截距的变化规律，准确找到直线与正方形有交点的两个临界顶点代入计算，解题时要注意边界点属于有效范围，不等号需添加等号。
【难度系数】
0.6
